Устойчивость линейных САР. Если какое-либо решение линейного

1. Устойчивость линейных САР. Если какое-либо решение линейного

дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами асимптотичес-

ки устойчиво, то асимптотически устойчиво любое его решение. Поэтому в

случае непрерывных линейных стационарных систем, т.е. систем, описыва-

емых линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициен-

тами, можно рассматривать их устойчивость, не указывая конкретного

движения. Непрерывная линейная стационарная САР называется устойчивой,

если асимптотически устойчиво какое-либо ее невозмущенное (заданное)

движение.

Если заданы внешние воздействия, то уравнение линейных стационар-

ных САР можно представить в виде (A 4o 0P 5n 0+A 41 0P 5n-1 0+...+A 4n 0)x=F(t) (55). В

уравнении A 4i 0, i=0,1,...,n - заданные постоянные коэффициенты, F(t) -

заданная функция времени. Общее решение уравнения имеет вид

X(t)=X 4в 0(t)+X 4c 0(t) (56), где X 4в 0(t) - частное решение неоднородного урав-

нения, X 4c 0(t) - общее решение однородного уравнения

- 57 -

(A 4o 0P 5n 0+A 41 0P 5n-1 0+...+A 4n 0)X=0 (57). Частное решение X 4в 0(t) определяет вынуж-

денное движение, решение X 4c 0(t) - свободное движение, т.е. движение,

которое, не зависит от внешних воздействий и определяется только на-

чальными условиями.

Невозмущенное движение задается внешним воздействием и при от-

сутствии внешних возмущающих воздействий совпадает с вынужденным дви-

жением X 4в 0(t). Поэтому линейная система устойчива, когда limX 4c 0(t)=0.

Это соотношение можно принять за определение устойчивости t->oo

линейных непрерывных систем.

Характеристическое уравнение. Устойчивость линейной системы, т.е.

выполнение условия, зависит от ее характеристического уравнения

A 4o 0L 5n 0+A 41 0L 5n-1 0+...+A 4n 0=0 (58). Левая часть характеристического уравнения

называется характеристическим полиномом. Характеристический полином

системы (с точностью до постоянного множителя и обозначений перемен-

ной) совпадает с ее собственным оператором и знаменателем ее переда-

точной функции. Характеристический полином замкнутой системы также ра-

вен (при отрицательной обратной связи) сумме P(p)+Q(p) полиномов чис-

лителя и знаменателя передаточной функции W(p)=P(p)/Q(p) (59) разомк-

нутой системы. Необходимое и достаточное условие устойчивости опреде-

ляется по корням характеристического уравнения. Если L 4i 0, i=1,...,q -

корни характеристического уравнения кратности k 4i 0, то общее решение од-

нородного уравнения имеет вид X 4c 0(t)= 7S 0Q 4i 0(t)e 5lit 0 (60), где

Q 4i 0(t)=C 41 5(i) 0+...+C 4ki 5(i) 0 - постоянные интегрирования. В частном случае,

когда все корни l 4i 0, i=1,...,n, простые, решение такого: X 4c 0(t)= 7S 0C 4i 0e 5lt

(61).

Свободное движение при t 76$ 0 стремится к нулю при произвольных пос-

тоянных интегрирования в том случае, когда все корни характеристичес-

кого уравнения имеют отрицательные вещественные части. Таким образом,

для того, чтобы линейная непрерывная система была устойчива, необходи-

мо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения име-

ли отрицательные вещественные части: Rel 4i 0<0, i=1,...,q.

Необходимое условие устойчивости. Для того, чтобы система была

устойчива, необходимо, чтобы коэффициенты ее характеристического урав-

нения были одного знака: A 4o 0>0,...,A 4n 0>0 или A 4o 0<0,...,A 4n 0<0. Если необхо-

димое условие не выполняется, система неустойчива.

Критерий Гурвица. Для того, чтобы система была устойчива, необ-

ходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица, составленные из

коэффициентов ее характеристического уравнения, были больше нуля. Это

алгебраический критерий устойчивости.

2. Устойчивость нелинейных САР.

САР называется нелинейной, если она описывается нелинейными урав-

нениями. Линейные системы являются идеализированными моделями реальных

САР. Если нелинейность допускает обычную линеаризацию, то такая нели-

нейность называется несущественной. В противном случае нелинейность

называется существенной. Для нелинейных систем несправедлив принцип

суперпозиции. В случае нелинейных систем из устойчивости какого-либо

невозмущенного движения не следует устойчивость любого возмущенного

движения: одни возмущенные движения могут быть устойчивы, а другие

нет. Кроме того, не любое возмущенное движение при t 76$ 0 стремится к

асимптотически устойчивому невозмущенному движению.

Вид кривой переходного процесса в линейных системах не зависит от

величины начального отклонения. В нелинейных системах кривые переход-

ного процесса, соответствующие различным начальным отклонениям, могут

сильно отличаться. Более того, в зависимости от величины начального

отклонения от исходного состояния система может стремиться к разным

состояниям. В нелинейных системах наблюдаются такие установившиеся пе-

риодические режимы (автоколебания), которые в линейных системах невоз-

можны.

- 58 -

Универсальных методов исследования нелинейных систем нет. Имеются

различные методы, которые пригодны или удобны для решения определенно-

го класса задач. Довольно широко используются следующие методы: метод

фазового пространства, прямой метод Ляпунова, частотный метод Попова,

метод гармонической линеаризации и др. Суть метода фазового пространс-

тва заключается в построении параметрических уравнений фазовой траек-

тории с целью получения фазового портрета. По фазовому портрету систе-

мы можно построить соответствующую кривую переходного процесса. Фазо-

вые портреты нелинейных систем могут содержать изолированные замкнутые

траектории, соответствующие периодическим режимам. Эти кривые называ-

ются предельным циклом. Если изнутри и снаружи фазовые траектории схо-

дятся к предельному циклу, то такой предельный цикл называется устой-

чивым. Устойчивому предельному циклу соответствует устойчивый периоди-

ческий режим (автоколебания). Если движение начинается внутри предель-

ного цикла, то процесс расходится, если вне - то сходится. Если фазо-

вые траектории изнутри и снаружи предельного цикла удаляются от него,

то такой предельный цикл называется неустойчивым.

Метод гармонической линеаризации разработан и обоснован для исс-

ледования периодических режимов. Этот метод является приближенным и

применим, если линейная часть, которая следует за нелинейным элемен-

том, обладает свойством фильтра низких частот. Сущность метода заклю-

чается в том, что система представляется в виде линейной и нелинейной

части. Делается допущение о наличии в системе колебательного режима,

пренебрегаются высшие гармоники и выходной сигнал представляется в ви-

де ряда Фурье и получается гармонизированная система вместо нелиней-

ной, которая и исследуется с использованием частотных характеристик.

Похожие работы

Технологія та автоматизація виробництва блока живлення БП 9/4

Скачать

55995

8

0

... гарантійного ремонту). В конструкції кришки для цього передбачено пломбувальний "стакан", що під час складання виробу на виробництві заповнюється пломбувальною пастою перед загвинчуванням гвинта. 2.2 Технологічний аналіз елементної бази В своєму складі блок живлення БП-9/4 має таку елементну базу: мікросхема, транзистор, діоди, конденсатори, резистори постійні та змінні. Усі перелічені ЕРЕ ...

Анализ технологии изготовления модуля сопряжения цифрового мультиметра с компьютером

Скачать

10356

2

1

... выполнения норм времени, принимаем равным 1. Результаты расчета показателей поточной линии сборки приведены в таблице 1.2. Маршрутное описание технологического процесса производства модуля сопряжения цифрового мультиметра с компьютером представлено в приложении в виде маршрутных карт. Таблица 1.2 – Результаты расчета показателей поточной линии сборки Операция Оборудование Производит

Автоматизация и моделирование технологического процесса

Скачать

36129

1

4

... 0mil 0.0deg (0.0mil,0.0mil) Flash"* Выполнив сверление отверстий в ПП, робот выполняет установку ЭРЭ. После установки ЭРЭ, плату отправляют на пайку волной припоя. 2 МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА   Моделирование – это метод исследования сложных систем, основанный на том, что рассматриваемая система заменяется на модель и проводится исследование модели с целью получения информации об ...

Совершенствование организации управленческого труда в организации

Скачать

128462

1

16

... приведен полный перечень и расчетные формулы используемых для оценки ТК РЭА количественных показателей. 3.2 Разработка информационного обеспечения системы показателей эффективной организации управленческого труда в организации и технологичности конструкции изделий и их составных частей Стандартами ЕСТПП введена система количественных оценок технологичности конструкций, охватывающая всю ...