Основные понятия теории вероятности

3.3. Основные понятия теории вероятности.

Нормальное распределение, математическое ожидание,

дисперсия, среднеквадратическое отклонение.

Доверительный интервал.

Методы проверки гипотез о распределении.

Предметом теории вероятности является математический анализ слу-

чайных явлений, т.е. таких эмпирических феноменов, которые, при опре-

деленном комплексе условий, могут быть охарактеризованы тем, что для

них отсутствует детерминистическая регулярность (наблюдения за ними не

всегда приводят к одним и тем же результатам) и в то же время они об-

ладают некоторой статистической регулярностью (проявляющейся в статис-

тической устойчивости частот).

Смысл статистической устойчивости частот заключается в том, что,

если результаты отдельных наблюдений носят нерегулярный характер, то

большое количество экспериментов позволяют получить некоторые законо-

мерности, связанные с этими экспериментами. Статистическая устойчи-

вость частот делает весьма правдоподобной гипотезу о возможности коли-

чественной оценки "случайности" того или другого события А, осущест-

вляемого в результате экспериментов. Исходя из этого, теория вероят-

ности постулирует существование у события А определенной числовой ха-

рактеристики Р(А), называемой вероятностью этого события, естественное

свойство которой должно состоять в том, что с ростом числа "независи-

мых" испытаний (экспериментов) частота появления события А должна

приближаться к Р(А).

Частотой события называется отношение числа его появлений к числу

произведенных опытов. Таким образом, если в n опытах событие А появи-

лось m раз, то его частота равна m/n. lim(m/n)=P(A).

n 76$

Предположим, что в результате n опытов случайная величина Х при-

няла значения х 41 0,х 42 0,...,х 4n 0, тогда выборочное среднее определяется фор-

мулой:  4n 0  4n

х 4ср 0=( 7S 0x 4i 0)/n; lim(x 4ср 0)=M(X); d 5* 0=( 7S 0(x 4i 0-х 4ср 0) 52 0)/n; lim(d 5* 0)=D(X); где

 5i=1 0 n 76$ 0  5i=1 0 n 76$

- 94 -

M(X) - математическое ожидание величины Х; d 5* 0 - выборочная дисперсия

величины Х; D(X) - дисперсия величины Х, корень квадратный из диспер-

сии называется среднеквадратическим отклонением величины Х.

Большое значение в теории вероятности, особенно при обработке ре-

зультатов экспериментов играет распределение Гаусса (нормальное расп-

ределение, нормальный закон, нормальная кривая, закон Гаусса), оно ха-

рактеризуется двумя параметрами: m 4x 0 - математическим ожиданием и s 4x 0 -

среднеквадратическим отклонением, которые полностью определяют все его

характеристики. При m 4x 0=0, s 4x 0=1 f(x)=(2 7p 0) 5-1/2 0exp{-x 52 0/2 } (88) нормаль-

ная кривая называется нормированной.

──────────────────────────────────────────────────────────────────────

f(x)

m 4x 0=0 . m 4x 0=0 . . m 4x 0=1 s 4x 0=2

s 4x 0=2. /|\. s 4x 0=1. .

. . | . . / \

. . | . / . \

. .. . . . .|../. . . . . .

________________0_|__________1_____________ x

Рис. 12. Примеры нормального распределения.

──────────────────────────────────────────────────────────────────────

Как показывает практика, такое распределение характерно для расп-

ределения погрешностей устойчивых, стабильных технологических процес-

сов производства РЭА.

Любая функция результатов опытов, которая не зависит от неизвест-

ных статистических характеристик, называется статистикой. Оценкой ста-

тистической характеристики Q называется статистика, реализация кото-

рой, полученная в результате опытов, принимается за неизвестное истин-

ное значение параметра Q. Оценка называется состоятельной, если она

сходится по вероятности к Q при неограниченном увеличении числа опытов

n. Чтобы оценка была состоятельной, достаточно, чтобы ее дисперсия

стремилась к нулю при неограниченном увеличении числа опытов n.

Случайный интервал, полностью определяемый результатами опытов и

независящий от неизвестных характеристик, который с заданной вероят-

ностью а накрывает неизвестную скалярную статистическую характеристику

Q, называется доверительным интервалом для этой характеристики, соот-

ветствующим коэффициенту доверия а. Величина 1-а называется уровнем

значимости отклонения оценки. Концы доверительного интервала называют-

ся доверительными границами.

Как показывает практика, распределение случайной величины невоз-

можно точно определить по результатам опытов. Полученные эксперимен-

тальные результаты дают возможность только строить различные гипотезы

о распределении случайной величины, например, гипотезу о том, что она

распределена нормально. Поэтому возникает задача проверки гипотез. Эта

задача состоит в том, чтобы определить, насколько согласуется та или

иная гипотеза о распределении случайной величины с полученными экспе-

риментальными данными. Эта задача тесно связана с задачей определения

доверительных областей для плотности или функции распределения. Однако

она имеет следующие особенности. Проверяя гипотезу о нормальном расп-

ределении, по той же выборке обычно оценивают математическое ожидание

и ковариационную матрицу (дисперсию в случае одномерного распределе-

ния) случайной величины. Вследствие этого гипотетическое распределение

оказывается само случайным - функцией случайных результатов опытов.

Это и отличает задачу проверки гипотез о распределении от задачи опре-

деления доверительных областей для распределений. И только в отдельных

случаях может возникнуть задача проверки гипотезы о том, что случайная

величина подчинена вполне определенному закону распределения, не зави-

сящему от неизвестных параметров.

Для проверки гипотез о распределении применяются различные крите-

- 95 -

рии согласия. Наиболее удобным и универсальным критерием является кри-

терий  7c 52 0 (хи-квадрат) К.Пирсона. Он совершенно не зависит от распреде-

ления случайной величины и от ее размерности. Критерий Пирсона основан

на использовании в качестве меры отклонения экспериментальных данных

от гипотетического распределения той же величины, которая служит для

построения доверительной области для неизвестной плотности, с заменой

неизвестных истинных значений вероятностей попадания в интервалы веро-

ятностями, вычисленными по гипотетическому распределению.

Посмотрим использование статистического метода на примере статис-

тического анализа производственных погрешностей. Данный метод анализа

позволяет устанавливать качественные взаимосвязи факторов, вызывающих

производственные погрешности, учитывать характер их влияния на суммар-

ную погрешность. Статистический анализ делят на два этапа. Первым эта-

пом является конкретный анализ исследуемого процесса, а вторым - выбор

объектов исследования, определение объема экспериментов и назначение

средств технического контроля. Средства технического контроля (измери-

тельные средства) должны выбираться такими, чтобы соотношение между

предельными погрешностями измерения и заданным допуском на определен-

ный параметр качества было порядка 1:10 и даже 1:20. Точные измери-

тельные средства назначаются для обеспечения надежности выводов. Необ-

ходимо тщательно соблюдать одни и те же условия проведения опытов и

измерений.

Непосредственно за этими подготовительными работами следует:

1. собственно наблюдения изучаемого узла (измерение параметров,

определение свойств и т.п.);

2. группировка полученного при наблюдениях статистического мате-

риала;

3. сводка результатов наблюдения и вычисление параметров распре-

деления изучаемого узла;

4. анализ параметров распределения изучаемого узла.

Изменение значений параметров деталей, узлов и т.д., колеблющихся

в определенных пределах, называется вариацией, а ряд значений парамет-

ров для всей партии выборки деталей - вариационным рядом. Этот ряд от-

ражает закономерность соответствующего технологического процесса. Ва-

риационный ряд, выраженный графически, позволяет получить кривую расп-

ределения производственных погрешностей параметров изучаемого узла.

Однако, вычисление характеристик распределения погрешностей проще

и удобнее производить не по данным вариационного ряда, а по данным,

предварительно сгруппированным в интервале значений интересующего нас

параметра. Возникает необходимость перехода от вариационного к интер-

вальному ряду распределения погрешностей. По протоколу измерения пара-

метров деталей находят два значения, соответствующие максимальным

крайним отклонениям от номинала, т.е. Х 4макс 0 и Х 4мин 0. Используя эти зна-

чения, находим размах варьирования: R=Х 4макс 0-Х 4мин 0 (89). Для перехода к

интервальному ряду необходимо определить количество интервалов и их

ширину. Количество интервалов выбирают таким, чтобы на каждый интервал

в среднем приходилось не менее 10 значений из общего количества наблю-

дений исследуемого параметра, т.е. р=0,1n. Ширина интервала определя-

ется из выражения: dx=R/(0,1n -1) (90), где n - количество деталей в

исследуемой партии.

При определении границ интервалов рекомендуется начинать ряд со

значения, величина которого на 0,5 интервала меньше Х 4мин 0 и заканчивать

ряд величиной, которая превышает Х 4макс 0 также на 0,5 интервала. Границы

и средние значения интервала распределения записываются в форме табли-

цы 5.

Частота заполняется по данным протокола измерений с разнесением

всех частных значений исследуемого параметра по соответствующим интер-

валам. Количество значений исследуемого параметра, попавших в тот или

- 96 -

Таблица 5

┌────────┬────────────────────────────┬──────────────┬──────┬────────┐

│n интер-│Границы интервалов │Середина ин- │часто-│частость│

│вала │ │тервала │та mj │mj/n │

├────────┼────────────────────────────┼──────────────┼──────┼────────┤

│ 1 │Х 4мин 0-0,5dх - Х 4мин 0+0,5dх │Х 4мин 0 │ m 41 0 │ m 41 0/n │

│ 2 │Х 4мин 0+0,5dх - Х 4мин 0+1,5dх │Х 4мин 0+dх │ m 42 0 │ m 42 0/n │

│ 3 │Х 4мин 0+1,5dх - Х 4мин 0+2,5dх │Х 4мин 0+2dх │ m 43 0 │ m 43 0/n │

│........│............................│..............│......│........│

│ р │Х 4макс 0-0,5dх - Х 4макс 0+0,5dх │Х 4макс 0 │ m 4p 0 │ m 4p 0/n │

├────────┼────────────────────────────┼──────────────┼──────┼────────┤

│  7S 0 │Х 4мин 0-0,5dх - Х 4макс 0+0,5dх │(Х 4мин 0+Х 4макс 0)/2│ n │ 1 │

└────────┴────────────────────────────┴──────────────┴──────┴────────┘

иной интервал, составляет частоту m 4j 0. Соотношение m 4j 0/n называется час-

тостью и представляет собой частость значений исследуемого параметра и

определяется для каждого интервала как отношение количества и значений

интересующего нас параметра, попавших в данный интервал к общему коли-

честву значений параметра в исследуемой партии. Контроль правильности

заполнения граф по частотам и частостям производится суммированием

заключенных в них значений по всем интервалам. При этом сумма частот

должна быть равна n, а сумма частостей - единице.

Таким образом, исходный вариационный ряд, представляющий собой

результаты измерения параметров изделий (деталей или узлов) в коли-

честве n шт., заменяют интервальным рядом распределения, включающим в

конечном счете всего р значений (по числу интервалов) варьирующего

признака.

Для большей наглядности прибегают к графическому изображению ин-

тервальных рядов распределения в виде гистограммы или полигона. Пост-

роение интервального ряда в виде гистограммы основано на предположе-

нии, что плотность частоты (частости) остается постоянной внутри каж-

дого интервала и меняется скачками на краях интервалов. Строится гис-

тограмма следующим образом: на оси абсцисс откладываются интервалы

значений исследуемого параметра, над каждым из которых строится прямо-

угольник, площадь которого пропорциональна частоте (частости) в этом

интервале. Т.к. все интервалы имеют одинаковую ширину, то высоты пря-

моугольников оказываются пропорциональными частотами или частостями.

──────────────────────────────────────────────────────────────────────

│ m/n X 4ср

│<─────────────>│

│< 1-янв-1980>┌─┼─┐

│номинал по ┌┤ │ │

│ ТУ ││ │ ├───┐

│ ││ │ │ │

│ ││ │ │ │

│ ┌───┤│ │ │ │

│ │ ││ │ │ │

│ │ ││ │ │ ├──┬─┐

│ ┌────┤ ││ │ │ │ │ │

└┬┬─┴────┴───┴┴─┴─┴───┴──┴─┴──┬─┬─────────────── X

0││ Х 4мин 0 Х 4макс 0 │ │

││<─────────────────────────>│ │

│ поле допуска по ТУ │

│<────────────────────────────>│

поле отклонений

Рис. 13. Гистограмма и полигон распределения погрешностей

──────────────────────────────────────────────────────────────────────

Принятое выше допущение для построения гистограммы безусловно

- 97 -

исключает реальный характер закона распределения погрешностей исследу-

емого параметра и тем сильней, чем больше длина интервала.

Более близким к действительности является предположение о равно-

мерном изменении плотности частоты или частости от интервала к интер-

валу. Такое суждение приводит нас к необходимости изображения интер-

вальных рядов в виде полигонов распределения. Для построения полигона

необходимо из середины каждого интервала провести ординаты, высота ко-

торых пропорциональна частотам или частостям, и концы ординат соеди-

нить ломаной линией.

Ординаты гистограмм и полигонов в более общем случае при неравных

интервалах представляют собой отрезки, пропорциональные плотности час-

тоты или частости. Что касается частот (частостей), то они изображают

площади прямоугольников на гистограмме и, следовательно, площадь тра-

пеции с ломаной вершиной на полигоне распределения погрешностей.

На этом же графике отмечены номинал исследуемого параметра и поле

допуска относительно номинала, а также среднее значение (центр распре-

деления) и поле отклонений, представляющее собой величину  7+ 0 s 4x 0, отло-

женного относительно среднего значения. Этот график позволяет делать

многие выводы о ходе технологического процесса и качестве выпускаемой

продукции:

- отклонение среднего значения от номинального показывает систе-

матическую погрешность настройки технологического оборудования;

- s 4x 0 характеризует случайную составляющую погрешности и ее срав-

нение с полем допуска позволяет сделать вывод о правильности выбора

точностных характеристик используемого оборудования и необходимости их

корректировок;

- отношение площади той части гистограммы, которая находится за

пределами поля допуска, к общей площади гистограммы позволяет оценить

долю брака в выпускаемой продукции.

Однако, с гистограммой работать не очень удобно, ее следует апп-

роксимировать. Для этого используется метод сплайн-интерполяции, кото-

рый заключается в использовании интервальных рядов. В этом методе

функция между каждыми двумя соседними точками аппроксимируется полино-

мом третьей степени: y=ax 53 0+bx 52 0+cx+d (91), а коэффициенты a, b, c, d

выбираются так, чтобы сходящийся в каждой точке "правый" и "левый" по-

лином имели равные первую и вторую производные. Другими словами, поли-

номы на отрезке [X 4мин 0,X 4макс 0] "сшиваются" по двум производным; в ре-

зультате получается единая гладкая кривая. Однако эта кривая еще не

является аппроксимацией функции плотности вероятности, поскольку еще

не выполнено условие нормирования. Поэтому следующим этапом является

вычисление интеграла:

Х 4макс 0-dx/2

J= 73 0f(x)dx (92)

X 4мин 0+dx/2

Если после вычисления произвести деление f(x) на J: w 5* 0(x)=f(x)/J (93),

то полученная функция будет иметь интеграл в в указанных пределах ин-

тегрирования равный единице и поэтому функция будет аппроксимировать

действительную плотность вероятности на отрезке, ограниченном пределом

интегрирования.

В качестве примера рассмотрим технологический процесс производс-

тва типовых элементов замены (ТЭЗов). Основным параметром, характери-

зующим качество, будем считать время наработки на отказ t 4o 0 в условиях

механических воздействий, которое, согласно техническим условиям, не

должно быть меньше t 4отмин 0. Следует решить задачу о серийнопригодности,

при этом, процент выхода годных ТЭЗов должен быть равен 90%. Решение

сводится к вычислению интеграла  7$

 J= 73 0w(t 4o 0)dt 4от 0 (94),

t 4отмин

- 98 -

где w(t 4о 0) - функция плотности вероятности отказов. Если J>0,9, делает-

ся вывод о серийнопригодности ТЭЗа. Если нет, то можно предпринять

следующие корректирующие действия:

1. Можно снизить требование к проценту выхода годных, однако, как

следствие, возрастет стоимость продукции, поэтому такая мера приемлема

только в условиях мелкосерийного производства.

2. В крупносерийном или массовом производстве следует произвести

регулировку и настройку технологического оборудования, либо замену его

части с целью уточнения параметров технологического процесса; при этом

должен увеличиваться процент выхода годных.

Похожие работы

Технологія та автоматизація виробництва блока живлення БП 9/4

Скачать

55995

8

0

... гарантійного ремонту). В конструкції кришки для цього передбачено пломбувальний "стакан", що під час складання виробу на виробництві заповнюється пломбувальною пастою перед загвинчуванням гвинта. 2.2 Технологічний аналіз елементної бази В своєму складі блок живлення БП-9/4 має таку елементну базу: мікросхема, транзистор, діоди, конденсатори, резистори постійні та змінні. Усі перелічені ЕРЕ ...

Анализ технологии изготовления модуля сопряжения цифрового мультиметра с компьютером

Скачать

10356

2

1

... выполнения норм времени, принимаем равным 1. Результаты расчета показателей поточной линии сборки приведены в таблице 1.2. Маршрутное описание технологического процесса производства модуля сопряжения цифрового мультиметра с компьютером представлено в приложении в виде маршрутных карт. Таблица 1.2 – Результаты расчета показателей поточной линии сборки Операция Оборудование Производит

Автоматизация и моделирование технологического процесса

Скачать

36129

1

4

... 0mil 0.0deg (0.0mil,0.0mil) Flash"* Выполнив сверление отверстий в ПП, робот выполняет установку ЭРЭ. После установки ЭРЭ, плату отправляют на пайку волной припоя. 2 МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА   Моделирование – это метод исследования сложных систем, основанный на том, что рассматриваемая система заменяется на модель и проводится исследование модели с целью получения информации об ...

Совершенствование организации управленческого труда в организации

Скачать

128462

1

16

... приведен полный перечень и расчетные формулы используемых для оценки ТК РЭА количественных показателей. 3.2 Разработка информационного обеспечения системы показателей эффективной организации управленческого труда в организации и технологичности конструкции изделий и их составных частей Стандартами ЕСТПП введена система количественных оценок технологичности конструкций, охватывающая всю ...