Экономико-математические методы изучения взаимосвязей факторных и результативных показателей

11. Экономико-математические методы изучения взаимосвязей факторных и результативных показателей

Использование экономико-математических методов в аналитической работе повышает эффективность анализа хозяйственной деятельности предприятий и их подразделений. Это достигается за счет сокращения сроков проведения анализа, более полного охвата влияния факторов на результаты коммерческой деятельности, замены приближенных или упрощенных расчетов точными вычислениями, постановки и решения многомерных задач анализа, практически не выполняемых традиционными методами.

Экономико-математические методы включают в себя следующие группы методов, объединенных по определенному признаку:

• методы элементарной математики;

• классические методы математического анализа, к которым относят дифференцирование, интегрирование и вариационное исчисление;

• методы математической статистики, к которым относят методы изучения одномерных и многомерных статистических совокупностей. Они не дают управленческого решения, а лишь показывают влияние одномерной или многомерной совокупности на какой-либо показатель;

• эконометрические методы, включающие в себя производственные функции, методы «затраты — выпуск», к которым относят матричный технический промышленный финансовый план предприятия, межотраслевой баланс, национальное счетоводство. Матричный технический промышленный финансовый план предприятия и межотраслевой баланс государства базируются на модели «затраты — выпуск». Анализ четырех квадрантов модели матричного техпромфинплана и межотраслевого баланса на уровне проектов и выполнения их дает ценную экономическую информацию для формирования будущей стратегии плана развития предприятия и соответственно государства. Производственные функции используются для качественного анализа на различных уровнях управления. При этом очень важно определение составляющих при разложении функции, отражающей соответствующий анализируемый экономический показатель;

• методы математического программирования. К ним относят линейное, нелинейное, целочисленное, блочное и динамическое программирование;

• методы исследования операций включают в себя управление запасами; методы определения технического износа и замены оборудования; теорию игр; теорию расписаний; теорию массового обслуживания; сетевые методы планирования и управления; марковские цепи;

• методы экономической кибернетики, включающие в себя теорию систем и системный анализ, методы имитации, методы моделирования, деловые игры, методы распознавания образов;

• математическая теория оптимальных процессов. Она состоит из максимума Пантрягина для управления технико-экономическими процессами, максимума Пантрягина для управления ресурсами. Носит более теоретический характер, чем прикладная его часть. Тем не менее при создании технологических линий, сложных технических систем математическая теория оптимальных процессов Пантрягина нашла широкое применение. Экономистов интересует в первую очередь экономический анализ подобных систем. Например, соотношение отдельных звеньев технических систем по мощности, по надежности и по другим параметрам.

12. Детерминированное и стохастическое моделирование. Анализ факторных моделей хозяйственной деятельности

Под экономическим факторным анализом понимаются постепенный переход от исходной факторной модели (результативный показатель) к конечной факторной модели (или наоборот), раскрытие полного набора количественно измеримых факторов, влияющих на изменение результативного показателя.

Сущность детерминированного моделирования заключается в том, что взаимосвязь исследуемого показателя с факторными передается в форме конкретного математического уравнения.

При моделировании детерминированных факторных систем необходимо выполнять ряд требований.

1.Факторы, которые включаются в модель, и сами модели должны иметь определенно выраженный характер, реально существовать, а не быть придуманными абстрактными величинами или явлениями.

2.Факторы, которые входят в систему, должны быть не только необходимыми элементами формулы, но и находиться в причинно-следственной связи с изучаемыми показателями.

3.Все показатели факторной модели должны быть количественно измеримыми, т.е. должны иметь единицу измерения и необходимую информационную обеспеченность.

4.Факторная модель должна обеспечивать возможность измерения влияния отдельных факторов, это значит, что в ней должна учитываться соразмерность изменений результативного и факторных показателей, а сумма влияния отдельных факторов должна равняться общему приросту результативного показателя.

В детерминированном анализе выделяют следующие типы наиболее часто встречающихся факторных моделей.

1.Аддитивные модели:

Y= ∑ X_i= X₁ + X₂ + X₃ +…+X_n

Они используются в тех случаях, когда результативный показатель представляет собой алгебраическую сумму нескольких факторных показателей.

2.Мультипликативные модели:

Y=Π X_i= X₁ * X₂ * X₃ *…*X_n

Этот тип моделей применяется тогда, когда результативный показатель представляет собой произведение нескольких факторов.

3.Кратные модели:

Y = X₁/X₂

Они применяются тогда, когда результативный показатель получают делением одного факторного показателя на величину другого.

4.Смешанные модели – это сочетание в различных комбинациях предыдущих моделей:

Y = (a + b)/c ; Y=A/(b + c) Y=(a * b)/c и т.д.

В детерминированном анализе используются следующие способы: цепной подстановки, абсолютных разниц, относительных разниц, индексный, пропорционального деления и интегральный метод.

Наиболее универсальным из них является способ цепной подстановки. Он используется для расчета влияния факторов во всех типах детерминированных факторных моделей: аддитивных, мультипликативных, кратных и смешанных (комбинированных).

Этот способ позволяет определить влияние отдельных факторов на изменение величины результативного показателя путем постепенной замены базисной величины каждого факторного показателя в объеме результативного показателя на фактическую в отчетном периоде.

Способ абсолютных разниц является одной из модификаций элиминирования. Как и способ цепной подстановки, он применяется для расчета влияния факторов на прирост результативного показателя в детерминированном анализе, но только в мультипликативных и смешных моделях типа:

Y=(a-b)c и Y=a(b-c).

При его использовании величина влияния факторов рассчитывается умножением абсолютного прироста исследуемого фактора на базовую (плановую) величину факторов, которые находятся справа от него, и на фактическую величину факторов, расположенных слева от него в модели.

Способ относительных разниц, как и предыдущий, применяется для измерения влияния факторов на прирост результативного показателя только в мультипликативных моделях и комбинированных типа: Y= (a-b)/c

Согласно этому правилу, для расчета влияния первого фактора необходимо базисную (плановую) величину результативного показателя умножить на относительный прирост первого фактора, выраженного в процентах, и результат разделить на 100. Чтобы рассчитать влияние второго фактора, нужно к плановой величине результативного показателя прибавить изменение его за счет первого фактора и затем полученную сумму умножить на относительный прирост второго фактора в процентах и результат разделить на 100.

Индексный метод основан на относительных показателях динамики, пространственных сравнений, выполнения плана, выражающих отношение фактического уровня анализируемого показателя в отчетном периоде к его уровню в базисном периоде (или к плановому или по другому объекту).

В интегральном методе пользуется определенными формулами. Приведем основные из них для разных моделей.

1 F = XY, ΔF_x =ΔXY₀ + 1/2ΔXΔY, ΔF_y =ΔY₀X + 1/2ΔXΔY

2 F = XYZ, ΔF_x=1/2ΔX(Y₀Z₁+ Y₁Z₀) + 1/3ΔXΔYΔZ, ΔF_y=1/2ΔY(X₀Z₁+ X₁Z₀) + 1/3ΔXΔYΔZ, ΔF_Z=1/2ΔZ(X₀Y₁+ X₁Y₀) + 1/3ΔXΔYΔZ

Чаще в экономических исследованиях встречаются стохастические зависимости, которые отличаются приблизительностью, неопределенностью. Они проявляются только в среднем по значительному количеству объектов (наблюдений). Здесь каждой величине факторного показателя (аргумента) может соответствовать несколько значений результативного показателя (функции). Например, увеличение фондовооруженности труда рабочих дает разный прирост производительности труда на разных предприятиях даже при очень выровненных прочих условиях. Это объясняется тем, что все факторы, от которых зависит производительность труда, действуют в комплексе, взаимосвязано. В зависимости от того, насколько оптимально сочетаются разные факторы, будет неодинаковой степень воздействия каждого из них на величину результативного показателя.

Взаимосвязь между исследуемыми факторами и результативным показателем проявится, если взять для исследования большое количество наблюдений (объектов) и сравнить их значения. Тогда в соответствии с законом больших чисел влияние других факторов на результативный показатель сглаживается, нейтрализуется. Это дает возможность установить связь, соотношения между изучаемыми явлениями.

Значит, корреляционная (стохастическая) связь – это неполная, вероятностная зависимость между показателями, которая проявляется только в массе наблюдений. Отличают парную и множественную корреляцию. Парная корреляция – это связь между двумя показателями, один из которых является факторным, а другой – результативным. Множественная корреляция возникает от взаимодействия нескольких факторов с результативным показателем.

 Для исследования стохастических соотношений используются следующие способы экономического анализа: сравнение параллельных и динамических рядов, аналитические группировки, графики. Однако они позволяют выявить только общий характер и направление связи. Основная же задача факторного анализа – определить степень влияния каждого фактора на уровень результативного показателя. Для этой цели применяются способы корреляционного, дисперсионного, компонентного, современного многомерного факторного анализа и т.д.

Наиболее широкое применение в экономических исследованиях нашли приемы корреляционного анализа, которые позволяют количественно выразить взаимосвязь между показателями.

Необходимые условия применения корреляционного анализа.

1.Наличие достаточно большого количества наблюдений о величине исследуемых факторных и результативных показателей (в динамике или за текущий год по совокупности однородных объектов).

2.Исследуемые факторы должны иметь количественное измерение и отражение в тех или иных источниках информации.

Применение корреляционного анализа позволяет решить следующие задачи:

1.определить изменение результативного показателя под воздействием одного или нескольких факторов (в абсолютном измерении), это значит, определить, на сколько единиц изменяется величина результативного показателя при изменении факторного на единицу;

2.установить относительную степень зависимости результативного показателя от каждого фактора.

Исследование корреляционных соотношений проявляется в том, что значительно углубляется факторный анализ, устанавливаются место и роль каждого фактора в формировании уровня исследуемых показателей, углубляются знания об изучаемых явлениях, определяются закономерности их развития и как итог – точнее обосновываются планы и управленческие решения, более объективно оцениваются итоги деятельности предприятий и более полно определяются внутрихозяйственные резервы.

Наиболее простым уравнением, которое характеризует прямолинейную зависимость между двумя показателями, является уравнение прямой: Y_x= a+bx., Где x- факторный показатель;Y-результативный показатель; a и b – параметры уравнения регрессии, которые требуется отыскать.

При криволинейной зависимости между изучаемыми явлениями. Если при увеличении одного показателя значения другого возрастают до определенного уровня, а потом начинают снижаться (например, зависимость производительности труда рабочих от их возраста), то для записи такой зависимости лучше всего подходит парабола второго порядка: Y_x= a+bx+cx².