≈ 23

2 ≈ 23.

Ответ: Через 23 года.

Формула ( 4 ) имеет интересное приложение. Во многих областях практики имеются величины, которые испытывают приращение не скачкообразным образом, а меняется непрерывно, так их изменение за этап составляет Р %.

Нетрудно определить, как меняется эти величины, если начисление процентов производить в течение каждого этапа не один раз, a m раз из расчета р % за этап ( т. е. каждый раз начислять по р/m % ). Легко понять, что за n этапов начисление процентов произойдет m * n раз.

Воспользовавшись формулой ( 4 ), получаем

An * ( m ) = А0 * (1 + Р/( m * 100 ) )^n*m.

Здесь An * ( m ) – значение величины А в конце n-го этапа при условии, что в течение каждого этапа проценты начислялись m раз.

Неограниченно увеличивая число m, мы переходим к рассмотрению непроизвольного изменения величины А. Тогда предельное значение А в конце n-го этапа определяется формулой

An = lim[А0 * (1 + Р/( m * 100 ) )^n*m]. при m → ∞

Таким образом, задача о непрерывном начислении процентов приводит к необходимости вычислить один из знаменитых пределов математики. Этот предел обозначается буквой е и называется основанием натуральных логарифмов:

е = lim (1 + 1/х )^х = 2,7182... при х → ∞

Окончательный вид рассматриваемой формулы имеет вид:

An = А0 * е^{(( n * р )/100 )}.

Показательная функция, стоящая в правой части последней формулы, называется экспонентой.

В заключение приведем обобщение формулы ( 4 ) на случай, когда прирост величины А на каждом этапе свой.

Пусть величина А в конце первого этапа испытывает изменение на Р1 %, в конце второго этапа – на Р2 %, в конце третьего этапа – на Р3% и т. д. Если Pk > 0, то величина А на этом этапе возрастает; если Pk < 0, то величина А на этом этапе убывает.

Как говорилось выше изменение величины А на Р % равносильно умножению этой величины на множитель 1 + Р/100. Поэтому окончательный вид искомый формулы такой:

An = А0 * ( 1 +Р1/100 ) * ( 1 +Р2/100 ) * … * ( 1 +Р n /100 ).

( 5 )

Здесь А0 - первоначальное значение величины А.

Иногда в задачах на составление уравнений встречаются понятия « средний процент прироста ». Под этим термином понимают такой постоянный процент прироста, который за n этапов задал бы такое же изменение величины А, которое она получает в действительности, при неравных поэтапных изменениях.

Средний процент прироста q % определяется формулой

А0 * ( 1 +Р1/100 ) * ( 1 +Р2/100 )* … *( 1 +Р n /100 ) = А0* ( 1 + q/100 )ⁿ

или

q/100 =ⁿ√(( 1 +Р1/100 ) * ( 1 +Р2/100 )* … *( 1 +Р n /100 )) – 1

Отсюда видно, что средний процент прироста не равен среднему арифметическому величин P1, P2, Р3,..., Рn. Здесь существует полная аналогия с определением известно из физики понятия « средняя скорость движения ».

Пример: Выработка продукции за год работы предприятия возросла на 4%. На следующий год она увеличилась на 8 %. Определить средний ежегодный процент прироста продукции за этот период.

Решение: Обозначим средний ежегодный прирост продукции через q %. Тогда

( 1 + 4/100 ) * (1 + 8/100 ) = (1 + q/100 )²

Отсюда находим

q = √( 104 * 108 ) – 100 ≈ 5,98.

Ответ: q ≈ 5,98.

3.3 Приложение.

Задача 1: У Алисы было 2000 рублей, а ей нужно 2500 рублей. Она положила их в банк по 3 % годовых, сколько ей нужно ждать, чтобы у ней получилась нужная сумма.

Решение:

Воспользуемся формулой для сложных процентов

Аn = А0 * ( 1 + Р/100)ⁿ

Подставим значения

2500 = 2000 *( 1 + 3/100 )ⁿ

выразим n ( количество лет )

n = log _1,03 1,25 ≈ 8 ( ответ только в натуральных числах )

Ответ: 8 лет.

Задача 2: Прирост продукции на заводе по сравнению с предыдущим годом за первый год составляет 5 %, а за второй по сравнению с первым – 3 %. Каким оказался процент прироста продукции за три года, если процент прироста продукции за третий год по сравнению со вторым был равен 2 %?

Решение:

В конце первого года продукции выпускалось 105%, в конце второго года процент прироста стал равен 105 % + 105 % * 0,03 = 108,15 % в конце третьего года стал равен 108,15 % + 108,15 % * 0,02 = 110,313 %. Отсюда следует, что процент прироста за три года равен 10,313 %.

Ответ: 10,313 %

Задача 3: В двух банках в конце года на каждый счет начисляется прибыль: в первом банке – 50 % к текущей сумме на счете, во втором – 75 % к текущей сумме на счете. Бил и Боб в начале года часть имеющихся у них денег положили в первый банк, а остальные деньги – во второй банк, с таким расчетом, чтобы через два года суммарное количество денег на обоих счетах утроилось. Какую долю денег они положил в первый банк?

Решение:

Составим систему уравнений;

А2 = А0 * ( 1 + 0,5 )²

А3 = А1 * ( 1 + 0,75 )²

А2 + А3 = 3 * ( А1 + А0)

Подставим вместо А2 и А3 их равноценное значение.

А0 * ( 1 + 0,5 )² + А1 * ( 1 + 0,75 )² = 3 * А1 + 3 * А0

Преобразуем

А0 = 1/12 А1 или А1 = 12 * А0 подставим в А1 + А0 = Х

12 * А0 + А0 = Х или 13 * А0 = Х или А0 = 1/13 * Х

отсюда следует, что в первый банк нужно положить 1/13 часть суммы.

Ответ: 1/13.

Задача 4: Объем конуса увеличился на 11,91 % , а его высота увеличилась на 24 %. На сколько процентов уменьшился радиус основания конуса?

Решение:

Объем конуса равен V = 1/3 * π *R² *h

Подставим наши значения

V*( 1 + 0,1191 ) = 1/3 * ( R * ( 1 – X ))² * h * ( 1 + 0,24 )

или

( 1 + 0,1191 ) = (1 – X)² * ( 1 + 0,24 )

или

(1 – X)² = ( 1 + 0,1191 )/( 1 + 0,24 )

(1 – X)² = 0,9025

(1 – X) = 0,95

Х = 1 – 0,95

Х = 0,05

Х = 5 %

Ответ: R увеличился на 5 %.

Задача 5: Высота прямоугольного цилиндра увеличилась на 25 %, а объем цилиндра уменьшилась на 20 %. На сколько процентов уменьшился радиус цилиндра?

Решение:

Объем цилиндра V = π * R² * h . Так как высота увеличилась на 25 % или на 1/4 и стала равна 5/4*h значит, радиус должен уменьшится на 1/5 и стать 4/5*R . А так как R в квадрате то √4/5*R . Но также и объем уменьшился на 20 % или на 1/5 и стал 4/5*V значит радиус должен уменьшится на 1/5, то есть на √4/5*R . Так как уменьшение произошло дважды на одно и тоже число √4/5*R или в результате на 4/5* R . То радиус уменьшился на 1/4 или на 25 %.

Ответ: R уменьшился на 25 %.

Задача 6: Длина двух противоположных сторон правильного прямоугольного параллелепипеда уменьшилась на 5 % , а двух других увеличилась на 10 %. На сколько процентов увеличился объем параллелепипеда, если его высоту увеличили на 4 %.

Решение:

Объем прямоугольного параллелепипеда равен V = a³ по условию длина двух противоположных сторон правильного прямоугольного параллелепипеда уменьшилась на 5 % или на 1/20, а двух других увеличилась на 10 % или на 1/10 также известно, что высоту увеличили на 4 % или на 1/25. Теперь запишем это все формулой.

V = a³* (( 1 – 1/20 ) * ( 1 + 1/10 ) * ( 1 + 1/25 ))

V = a³* 19/20 * 11/10 *26/25 = a³* 5434/5000 = a³* 1,0868

Объем увеличится в 1,0868 или на 0,0868 или на 8,68 %

Ответ: Объем увеличится на 8,68 %.

Задача 7: В коробки было 25 % белых кубиков, и 75 % черных. В коробку добавили 10 черных кубиков, соотношение белых и черных стало 20 % к 80 %, сколько было черных кубиков в коробке в начале?

Решение:

Первоначально в коробки было 25 % белых и 75 % черных кубиков, и соотношение было 1/3, в коробку положили 10 черных кубиков, и в коробки стало 20 % белых и 80 % черных кубиков, и соотношение стало 1/4. От сюда следует пусть Х это белые кубики, а Y черные.

х/у = 1/3

или

х/( у + 10 ) = 1/4

от сюда следует

у = 3х

и

у + 10 = 4х

подставим

3х + 10 = 4х или 10 = х или у = 30.

Ответ: 30 черных кубиков было в начале.

Задача 8: Задуманы два числа, одно из которых на 18 больше другого. Известно, что 25 % одного из этих чисел равно 35 % другого числа. Найдите эти числа.

Решение:

Пусть А это большее число, а В меньшее. Тогда справедливо равенство А = В + 18 . Известно, что 25 % = 0,25 , а 35 % = 0,35. Из условия следует

А * 0,25 = В * 0,35

А = В +18

( В + 18 ) * 0,25 = В * 0,35

В * 0,1 = 4,5

В = 45

А = 63

Ответ: А = 63, В = 45.

Задача 9: Из сорока тон руды выплавляют двадцать тон металла, содержащего 6 % примесей. Каков процент примесей в руде?

Решение:

Сначала нужно найти, сколько чистого метала,

20/100 % = 0,2 тонны это один процент

100 % – 6 % = 94 % чистого металла в процентах

94 % * 0,2 = 18,8 тон чистого металла

40 – 18,8 = 21,2 примеси в тоннах

( 21,2/40 ) * 100 % = 53 % примеси в процентах

Ответ: 53 %.

Задача 10: Имеется три слитка. Первый слиток имеет массу 5 кг, второй 3 кг, и каждый из этих двух слитков содержит 30 % меди. Если первый слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 56 % меди, а если второй слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 60 % меди. Найти массу третьего слитка и процентное содержание меди в нем.

Решение:

Нам известна формула.

Р*Х +q*Y

= r

Х +У

Подставим значения и получим два уравнения:

5 * 0,3 + Y*q = 5 * 0,56 + Y*0,56

3 * 0,3 + Y*q = 3 * 0,6 + Y*0,6

если от второго отнимем первое, то получим:

Y*0,04=0,4

Y=10кг это вес третьего слитка.

Теперь возьмем формулу для нахождения концентрации.

V₁* d₁ + V₂* d₂

= d₃

V₁ + V₂

Подставим наши значения:

3*0,3 + 10 * d₂

= 0,6

3 + 10

выразим d₂

0,9 + 10*d₂ = 1,8 + 6или d₂= 0,69

d₂=69% концентрация меди в третьем слитке.

Ответ : 10 кг; 69 %.

Задача 11:

Имеются два раствора серной кислоты в воде: первый – 40 %, второй – 60 %. Эти два раствора смешали, после чего добавили 5 кг чистой воды и получили 20 % раствор. Если бы вместо чистой воды добавили 5 кг 80 % раствора, то получили бы 70 % раствор. Сколько было 40 % и 60 % растворов?

Решение:

Обозначим массу первого раствора Х, а массу второго раствора Y.отсюда следуя условию можно написать систему уравнений.

( 0,4 * Х + 0,6 * Y )/ ( Х + Y + 5 ) = 20 %

( 0,4 * Х + 0,6 * Y + 4 )/ ( Х + Y + 5 ) = 70 %

или

2 * Х + 3 * Y = Х + Y + 5

4 * Х + 6 * Y + 40 = 7 * Х + 7 * Y + 35

или

Х + 2 * Y = 5

3 * Х + Y = 5

или

Х = 5 – 2 * Y отсюда следует Y = 2 и Х = 1 кг.

Ответ: X = 1кг, Y = 2 кг.

Задача 12: Один раствор содержит 30 % по объему азотной кислоты, а второй 55 %. Сколько нужно взять первого и второго растворов, чтобы получить 100 л. 50 % раствора азотной кислоты?

Решение:

Обозначим массу первого раствора Х, а массу второго раствора Y.отсюда следуя условию можно написать систему уравнений.

0,3 * Х + 0,55 * Y = 0,5 * 100

X + Y = 100

Вторую строчку помножим на 0,3 и отнимем от первой то получим,

0,25 * Y = 20 или Y = 80 л. Отсюда следует 100 – 80 = 20 л.

или X = 20 л.

Ответ: X = 20 л, Y = 80 л.

Вывод.

Все поставленные первоначально цели в моей дипломной работе на тему « Методика изучения процентов. » нами достигнуты. В данной работе мы рассмотрел различные учебники, потому что именно с пятого класса проценты вводятся в школьный курс. В этих учебниках мы рассмотрел, как идет процесс изложения особенности изучения процентов. А так же составить свою методику изучения процентов в школьном курсе, опираясь на школьные учебнике и пособия для учителей.

Так же мы рассмотрели задачи на составление уравнений, что является важной частью изучение математики в старших классах. Здесь я рассмотрел задачи на составление « смесей » и на такое понятие как « концентрация ».

Мною так же были рассмотрены несколько интересных задач на разные темы, которые могут встретиться учащимся вызвать затруднения у них, так как некоторые задачи вызвали затруднения даже у нас.

Хочется отметить, что тема моей дипломной работы полезна и очень актуальна тем более в наше время, когда на первое место в отношениях становится экономика, а проценты приобрели широкое распространение в нашей жизни и, по-моему, в школах уделяется мало время на изучения процентов, а сам материал рассматривается скупа не полномасштабно.

Также при проведении обрабации в школе № 9 г. Кызыла по данной теме на спец курсе по математике мы заметили, что учащимся очень нравится данная тема. Они с удовольствие решают задачи на сложные проценты, точнее на сплавы и растворы. Так же можно отметить, что особое место у них занимали задачи связанные с экономикой, это задачи на банковские вклады, так как многие очень близко сталкиваются с этим в жизни и хотят об этом знать больше. Надо отметить что, интерес учащихся к этой теме и выбранная методика изучения процентов в школе дал хорошие результаты. Можно заделать вывод, что эту тему не только можно, но и нужно вводить на спец курсах по математике. А так же расширить курс изучения процентов в школьном курсе математике.

При написание данной дипломной работы я узнал много нового и интересного, и данный материал, я постараюсь использовать в дальнейшей работе в школе.

Литература.

Н.Я. Виленкин, А.С. Чесносков, и другие. « математика 5 » Москва «просвещение» 1992 г.

Л.Н. Шеврин, А.Г. Гейн, И.О. Коряков, и другие. « математика 5 » Москва «просвещение» 1989 г.

М.В. Лурье, Б.И. Александров. « Задачи на составление уравнений».

Г.В. Королькова. « Методическое пособие по математике » Волгоград 1996 г.

И.Я. Депмана и Н.Я. Виленкина « За страницами учебника математики »М., Просвещение, 1989 г.

Максимова В.Н. Проблемный подход к обучению в школе Методическое пособие по спецкурсу Л.1973.

Махмутов М.И. Организация проблемного обучения М. Педагогика 1977.

Матюшкин А.М. Проблемные ситуации в мышлении и обучении М. Педагогика 1972.

Скаткин М.Н. Проблемы современной дидактики М. Педагогика 1980.

Ю.Н. Владимиров «Вступительные испытания по математике в 1998 – 2000 годах » Новосибирск 2000 г.

Журнал « Математика » № 3 Москва 1998 г.

Журнал « Завуч » № 4 Москва 1999 г.

Р.С. Немов « ПСИХОЛОГИЯ » книга 2 Москва 1998 г.

«ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ РАЗВИТИЯ ШКОЛЬНИКА КАК СУБЪЕКТА УЧЕНИЯ» под редакцией Е.Д. Божович Москва – Воронеж 2000 г.

97

Отзыв

На выпускную квалификационную работу “Методика изучения процентов в школе ”, выполненную студентом 5 курса Физико-математического факультета Сергановым Иваном Геннадьевичем.

Тема дипломной работы и сама работа являются актуальными на сегодняшний день, т. к. в общеобразовательной школе этой теме уделяется мало внимания и мало времени, а в жизни с этим приходится встречаться – в экономике, на производстве, в финансовой сфере и т.д.

Сергановым И. Г. проделана большая работа – изучены материалы многих школьных учебников по данной теме, экзаменационные материалы некоторых вузов. В процессе выполнения работы Серганов И.Г. показал себя трудолюбивым, умеющим ставить цели и находить на них ответы.

Иваном Геннадьевичем собран большой материал, которым могут пользоваться учителя и математики и химики. Проведена в работе классификация задач по данной теме ( задачи на сплавы, на растворы, экономические задачи, задачи на формулы сложных процентов и некоторые другие ).

Для учащихся младших классов приведены задачи в виде рассказов, картинок.

При выполнении работы студент показал достаточно высокий уровень знаний по данной теме; умение анализировать факты.

К сожалению, в тексте работы встречаются грамматические ошибки.

Считаю, что выполнена интересная и нужная работа.

Работа заслуживает отличной оценки.

Научный руководитель: Сат Л.А.

Учитель ТГЛ, учитель вышей категории. __________

Рецензия

На выпускную квалификационную работу “Методика изучения процентов в школе ”, выполненную студентом 5 курса Физико-математического факультета Сергановым Иваном Геннадьевичем.

Работа выполнена на одну из актуальных проблем из школьной математике – проценты.

В работе содержатся методическая и практическая части. В работе заделан анализ педагогической и методической литературы по данной теме. Сделаны выводы для себя и студентов, занимающихся этой проблемой.

Ценным в работе является различные подходы к введению процентов в школе, изучение данной темы по различным учебникам. Удачно рассмотренные серии задач на нахождение нескольких процентов от числа; нахождение числа по его процентам; процентное отношение, задачи на формулы сложных процентов, задачи сплавы и т. д.

Имеется в работе небольшая историческая справка.

Считаю, что выполнена интересная и полезная работа.

Работа заслуживает отличной оценки.

Рецензент:

Доцент кафедры алгебры Попова Н.Г.

и геометрии ТГУ ____________

Тема моей дипломной работы является методика изучения процентов в школьном курсе математике. А так же методика решения задач для старших классов и поступающих в ВУЗы.

Данная тема является актуальной в современное время, так как сами проценты появились из практической необходимости. Они являются неотъемлемой экономически значимой частью общества. Но само понятие проценты включает в себя больше чем просто экономика. Проценты широко применяются в математике, химии, и других науках. Вообще само понятие проценты развилось до того го состояния, что стало абстрактным, им можно измерять буквально все.

Я уже отмечал, что проценты нужны и важны и при этом им мало уделяется внимания и времени в школе.

В этой работе мы провели краткий анализ современного состояния процентов в школьных учебниках. Как ведется преподавания в младших классах ( точнее сказать в 5 классах ), а также и старших классах. При разборе различных учебников по математике попытались выделить лучшее, что бы при не хватки учебных часов, учащиеся полноценно понимали, что есть проценты, это особенно важно в пятых классах, когда идет заложение основ по процентам.

Так же мы разобрали задачи на формулы сложных процентов для старших классов, и поступающих в ВУЗы. Этот материал лучше давать на спец курсах по математике. В этом пункте разобраны способы решения экономических задач, задач на смеси и сплавы точнее сказать задачи на составление уравнений. Так же надо отметить, что эти задачи вызывают интерес учащихся, так как некоторым приходится, сталкивается с процентами в наше время.

Надо отметить, что является предметом объектом и гипотезой, моей дипломной работы.

Предмет – процесс обучения учащихся алгоритму решения задач на проценты.

Объектом – является учебная деятельность, при которой учащиеся учатся решать задачи на проценты.

Гипотеза – разобрать дополнительные приемы изучения процентов в школе, попытается достигнуть золотой середины. Когда при не хватки учебных чесов, учащиеся в полной мере понимали и усваивали такую тему как проценты.

Так же необходимо перечислить цели моей дипломной работы

Цели моей дипломной работы являются:

1) Обшей анализ изучения процентов в школе.

2) Разбор методики изучения процентов в 5 классе по учебникам.

3) Обобщение методики изучения процентов в 5 классе.

4) Решение задач для вузов на проценты.

5) Разбор задач на составления уравнений в старших классах.

Дипломная работа состоит из введения трех глав заключения и списка

литературы.

В первой главе рассмотрели основную методику изучения процентов в школе. Так же рассмотрим некоторые особенности методики, которая сейчас есть в школе. Рассмотрели, как изучение процентов влияет на развитие учащихся, на их математическое развитие, и не только. Так как сама тема проценты появилась из практической необходимости и остается актуальной и посей день. Значит, такая тема как проценты должна развивать некоторые практические аспекты мышления учащихся. Но не должна отрываться от других изучаемых тем школьного курса математики. Так как мы являемся сторонниками того, что в учебном процессе все должно быть взаимосвязанным. В обучение не должно быть скачков и разрывов, это приводит к тому, что учащиеся теряют последовательность, а значит, хуже усваивают изучаемый материал.

Во второй главе разобрали, как ведется преподавание процентов в различных учебниках математике, обобщили материал по изучению процентов в школьном курсу математике. Также обозначили три основных действия, которые необходимы при работе с процентами. Это методика нахождения нескольких процентов от числа, методика нахождения числа по его процентам и методика нахождения процентного отношения. Так же разобрали несколько задач для младших и старших классов.

В третьей главе прорешали задачи на проценты для старших классов, и тех, кто хочет поступать в ВУЗы. Это задачи на составление уравнений, на понятия концентрация, и процентное содержания. Так же разобрали методику решения задач по этим темам. И в приложение разобрали ряд интересных задач, где применяются проценты.

Для написания данной дипломной работы я использовал различную литературу это во-первых различные учебники по математике – 5 класс так же использовал методические пособия по математике, так же использовал различные журналы, и литературу психолого-педагогического характера.

Разрешите продемонстрировать вам пару интересных задач на проценты для 5 и для старших классов.

1 пример

2 пример.

В заключение могу сказать, что в своей дипломной работе, я достиг всех целей которые я себе ставив в начале работы. Я узнал много нового и интересного. Так же я считаю проведенную работу плодотворной, и необходимой в современное время.

Министерство общего и профессионального образования

Российской Федерации

Тувинский Государственный Университет

Кафедра физики и МПМ

Дипломная работа по теме:

Выпускная квалификационная работа:

студента 5 курса 1 группы,

физико-математического факультета

Серганова Ивана Геннадьевича

____________________

(подпись студента)

Работа допущена к защите Научный руководители:

«____»___________2003г. Сат Л.А. учитель Вышей категории

Эренчинова Т.А. К.П.Н.

_____________________________

(подпись)

Работа защищена в ГАКРецензент ______________________

(ф.и.о.)

«____»___________2003г. _________________________________

(должность, уч. Степень и звание)

с оценкой «____________»

Председатель ГАК __________________________

Члены ГАК __________ ___________________________________

(подпись)

Кызыл 2003 г.

Vo

СМЕСЬ А : В : С

VA = CA * V0

VC = CC * V0

VB = CB * V0

V0 =CA * V0 + CB * V0 + CC * V0 .

( 1 )

Концентрация вещества в растворе после n переливаний определяется формулой

Cn = ( Р/100) * ( l – A/V₀)ⁿ

( 2 )

Когда каждый раз в сосуд доливается не вода, а раствор той же соли с постоянной концентрацией q/100. Эта формула имеет вид

( 3 )

Cn = (p/100) + (( p – q )/100) * [( 1 – A/V0 )^n-1]

Аn = А0 * ( 1 + Р/100)ⁿ.

( 4 )

Пример: Сберкасса выплачивает 3% годовых. Через сколько лет внесенная сумма удвоится?

Решение: Пусть величина вклада составляв А0 руб. Тогда через n лет станет равной 2 А0 руб. Имеем

А0 * ( 1 + 3/100 )ⁿ = 2 * А0,

n = log _1,03 2 ≈ 23.

Ответ: Через 23 года.

( 5 )

An = А0 * ( 1 +Р1/100 ) * ( 1 +Р2/100 ) * … * ( 1 +Р n /100 ).

Здесь А0 - первоначальное значение величины А.

Пример: Выработка продукции за год работы предприятия возросла на 4%. На следующий год она увеличилась на 8 %. Определить средний ежегодный процент прироста продукции за этот период.

Решение: Обозначим средний ежегодный прирост продукции через q %. Тогда

( 1 + 4/100 ) * (1 + 8/100 ) = (1 + q/100 )²

Отсюда находим

q = √( 104 * 108 ) – 100 ≈ 5,98.

Ответ: q ≈ 5,9