Навигация
Методика нахождения процентного отношения
93189
знаков
0
таблиц
0
изображений
2.6 Методика нахождения процентного отношения.
Так же мы рассмотрели последнее, но не мание важное в для нахождение процентов при решение задач – это нахождение процентного отношения. В этом разделе рассмотрим алгоритм нахождения процентного отношения.
Так вот встречаются задачи, в которых даны два числа и нужно найти их процентное отношение, для этого нужно взять первое число назовем его а и разделим его на второе число назовем его число в , а затем результат умножим на сто процентов . То мы получим процентное отношение первого числа на второе.
( а / в ) * 100 % (*)
Чтобы найти процентное отношение двух чисел а и в, надо отношение этих чисел умножить на сто процентов, тоесть получить формулу (*)
.
2.7 Задачи на проценты для младших классов.
(надо сразу отметить, что такие задачи очень важны в курсе изучения не только процентов, но и всей математике, так как здесь, как и числа, так и процентное содержание, а это, как правило, пугает детей, так как их приучили работать с чем-то одним при решении задач.)
Задача 1: Винипух очень любил мед и стал разводить пчел в первый год пчелы дали 10 кг меда, но Винипуху этого было мало во второй год пчелы увеличили производства меда на 10 % , но и этого было мало Винипуху он подсчитал, что ему надо примерно 13 кг меда. Вопрос сколько лет должен ждать Винипух чтобы удовлетворить свои потребности при условии, что пчелы каждый год будут увеличена производство меда на 10 %.
Решение:
Для того чтобы узнать, сколько надо ждать Винипуху надо узнать, сколько у него будет через год, а будет 11 кг, через два года 12,1 кг, и только на третий год он удовлетворит свои потребности.
Ответ: 3 года.
Задача 2: Когда Том Соер наше клад он решил часть денег отдать тетушке, а часть оставить себе, так чтобы, положив их в банк при 5 % годовых каждый год получать эти проценты на личные расходы, он даже подсчитал что ему примерно надо в год 300 долларов. Сколько он должен положить в банк?
Решение:
Если 5 % это 300 долларов, то 100 % будет равно 6000 долларов.
Ответ: 6000 долларов.
2.8 Задачи на проценты для старших классов.
Задача 1: В библиотеке имеются книги на английскомги на английскомнемецком языках. Английские книги составляют 36 % всех книг, французские - 75 % английских книг, а остальные 185 книг – немецкие. Сколько всего книг в библиотеке?
Решение:
75 % = 3/4 значит 36 % * 3/4 = 27 % французские, книги от всего количества.
36 % + 27 % = 63 % это английские и французские книги вместе.
100 % – 63 % = 37 % всего немецких книг.
185 / 37 % = 5 книг это 1 %.
Всего книг в библиотеки 100 % * 5 = 500 книг.
Ответ: 500 книг.
Задача 2: За килограмм одного продукта и 10 кг другого заплачено 20 рублей. Если при сезоном изменении цен первый продукт подорожал на 15 %, а второй подешевел на 25 % , то за тоже количество этих продуктов будет заплачено 18,2 рублей. Сколько стоит 1 кг каждого продукта?
Решение:
Составим уравнение.
1 * Х + 10 * Y = 20
1 * X( 1 + 0,15 ) + 10 * Y ( 1 – 0,25 ) = 18,2
решив это систему уравнений получим .
Y = 1,2 X = 8 рублей
Ответ: 8 руб. и 1,2 руб.
Задача 3: Пшеницы и ржи колхоз собрал вместе 500 тонн. После того как была повышена урожайность пшеницы не 30 % и ржи на 20 %, колхоз собрал 630 тонн пшеницы и ржи. Сколько тон пшеницы и ржи собрал колхоз после повышения урожайности?
Решение:
Составим уравнение.
Х + Y = 500
X( 1 + 0,3 ) + Y ( 1 + 0,2 ) = 630
решив это систему уравнений получим .
Y = 240 X = 390 тон.
Ответ: 390 тон пшеницы, 240 тон ржи.
Задача 4: Вклад, положенный в сбербанк два года назад, достиг суммы, равной 1312,5 рублей. Каков был первоначальный вклад при 25 % годовых?
Решение:
Для решение этой задачи нужно понимать, что результат 1312,5 это сумма за первый год и плюс 25 % или 125 % или 100 % = 1050 рублей.
Тоже самое делаем суммой 1050, так как вклад был на два года 125% = 1050 рублей или 100 % = 840 рублей.
Можно решить вторым способом используя формулу для сложных процентов
1312,5 = Х * ( 1+ 0,25)2 Х = 840 рублей.
Ответ: 840 рублей.
Глава 3. Методика изучения процентов для старших классов и поступающих в ВУЗы.
3.1 Примеры задач на понятие, « концентрация » и « процентное содержание » которые могут встретиться на вступительных экзаменах.
Для решения задач такого уровня нужно определить некоторые переменные, для того чтобы у нас не возникли затруднения при использования формул.
Во-первых, все сплавы и смеси однородны, если объем смеси равен V0, а объем веществ содержащихся в нем равен V1 и V2 то тогда;
V1 / V0 – процентное содержания вещества в смеси,
V2 / V0 – процентное содержания второго вещества в смеси.
Во-вторых, d1 и d2 удельный вес компонентов в смеси.
В-третьих, вес смеси обозначим q и будем находить его по формуле
q = V1 * d1 + V2 * d2
Задача 1: В пустой резервуар по двум трубам одновременно начинают поступать чистая вода и раствор кислоты постоянной концентрации. После наполнения резервуара в нем получился 5 %-ный раствор кислоты. Если бы в тот момент, когда резервуар был наполнен до половины, подачу воды прекратили, то после наполнения резервуара получили бы 10 %-ный раствор кислоты. Определить, какая труба подает жидкость быстрее и во сколько раз?
Решение: Здесь необходимо использовать такую формулу.
V1 * d1 + V2 * d2
= d3
V1 + V2
Так как наполненный на половину резервуар имеет концентрацию 5 %. А, доливая вторую половину раствора кислоты, получим концентрацию 10 %. Подставим эти значения.
V1 * 0,05 + V1 * d2
= 0,1
V1 + V1
Объемы сокращаются и концентрация раствора кислоты равна 15 %, это значит, вода поступает быстрее. Так как смесь имеет концентрацию 5 %, а смесь половины резервуара с этой концентрацией с растворам кислоты равна 10 %, то вода поступает в два раза быстрее.
Ответ: Первая труба подает жидкости в два раза быстрее.
Задача 2: Смесь равных объемов двух веществ имеет массу 80/13 г. Масса второго вещества в смеси равна массе 52/7 см3 первого вещества, а плотность второго вещества равна 1 г/см3. найдите объем каждого вещества в смеси.
Решение: Здесь необходимо использовать такую формулу.
q = V1 * d1 + V2 * d2
известно
V2 * d2 =52/7 * d1
или
d1 = V2 * d2 * 7/52
теперь подставим значения
80/13 = V1 * V2 * d2 * 7/52 + V2 * d2 по условию V2 = V1
или
7 V22 + 52 V2 = 320
в этом квадратном уравнении существует один корень, который удовлетворяет условию это V2 = V1 = 4см3.
Ответ: Объем каждого из веществ равен 4см3.
Задача 3: В сосуде емкостью 6л. налито 4 л. 70%-ного раствора серной кислоты. Во второй сосуд той же емкостью налито 3 л. 90%-ного раствора серной кислоты. Сколько литров раствора нужно перелить из второго сосуда в первый, чтобы в нем получился r%-ный раствор серной кислоты? Найти все r, при которых задача имеет решение.
Решение: Здесь необходимо использовать такую формулу.
X * P/100 + Y * q/100
= r/100
X + Y
или
X * P+ Y * q
= r ( * )
X + Y
теперь выражаем Y
Y = ( P * X – X * r )/( r – q ) или ( X * r – P * X)/( q – r )
Подставим значение
Y = ( 4r – 280 )/( 90 – r )
Так как сосуд емкостью шесть литров то долить в него можно только два литра 90% кислоты. Подставим эти значения в формулу ( * ) получим. 70 ≤ r ≤ 230/3.
Ответ: ( 4r – 280 )/( 90 – r ), 70 ≤ r ≤ 230/3.
Задача 4: Из двух жидкостей, плотности которых равны 2 г/см3 и 3 г/см3 соответственно, составлена смесь. Сколько граммов каждой жидкости взято и какова плотность смеси, если 4 см3 смеси весят в десять раз меньше, чем вся первая жидкость, а 50 см3 смеси весят столько же, сколько вся вторая жидкость, входящая в ту смесь?
Решение: Здесь необходимо использовать такую формулу.
q = V1 * d1 + V2 * d2
где q вес полученной смеси или q = V3 * d3 нам известно что
V1 * d1 = 40 * d3 d3 = (V1 * d1)/40
Можно выразить, ( * )
V2 * d2 = 50 * d3 d3 = (V2 * d2)/50
или
V2 * d2 = 5/4 * ( V1 * d1 ) или V2 =( 5/4 * ( V1 * d1 ))/ d2 (1)
V1 * d1 = 4/5 * ( V2 * d2 ) или V1 =( 4/5 * ( V2 * d2 ))/ d1 (2)
Нам известно что,
X * P + Y * q
= r
X +Y
Подставим наши значения в формулу:
V1 * d1 + V2 * d2
= d3
V1 + V2
Давайте подставим в эту формулу значения из ( 1 ) формулы.
V1 * d1 + 5/4 * ( V1 * d1 )
= ( V1 * d1 )/40
V1 + (5/4 * (V1 * d1))/d2
Отсюда выражаем V1:
V1 = 540/11
Проделаем тоже самое для V2 , для этого надо в формулу подставить уже ( 2 ) формулу, отсюда следует.
V1 = 540/11
А теперь подставим любое из этих значений в формулу ( * ) и получим равенство:
d3 = 27/11
Таким образом, мы пришли к решению задачи и теперь можно записать ответ.
Ответ: V1 = 540/11 г, V1 = 540/11 г, d3 = 27/11 г/см3.
Задача 5: Имеются два раствора одной той же соли в воде. Для получения смеси, содержащей 10 г. соли и 90 г. воды, берут первого раствора вдвое больше по массе, чем второго раствора. Через неделю из каждого килограмма первого и второго раствора испарилась по 200 г. воды и для получения такой же смеси, как раньше, требуется первого раствора уже вчетверо больше по массе, чем второго раствора. Сколько граммов соли содержалось первоначально в 100 г. каждого раствора?
Решение: Воспользуемся формулой
V1* d1 + V2* d2
= d3
V1 + V2
Известно, что первой смеси нужно в два раза больше значит можно записать.
2*V2* d1 + V2* d2
= d3
2 *V2 + V2
через неделю с литра испарится по 200 г. воды значит, концентрация в растворах возрастет в 5/4 и для того же раствора нужно четыре части первого раствора и одна второго раствора.
4*V2*5/4*d1 + V2*5/4*d2
= d3
4 * V2 + V2
можно записать систему:
2d1+ d2=3 d3
известно d3=0,1
20d1+ 5d2=20d3
2d1+ d2=0,3
20d1+ 5d2=2
отсюда можно выразить
d2= 0,2 а d1=0,05
Ответ: 5 г. 20 г.
Задача 6: Три одинаковых сосуда наполнены спиртом. Из второго и третьего сосудов отливают по А л. ( строго больше половины ) спирта и доливают водой. Затем из третьего сосуда отливают А л. смеси и доливают его водой. После того объем спирта в первом и втором сосудах, вместе взятых, в 6/5 раза больше, чем объем спирта в первом и третьем сосудах, вместе взятых. Какую часть объема сосуда составляет величина А ?
Решение: Нам известна формула.
Cn = ( p/100 ) * ( 1 – A/V0 )n
Где Cn концентрация после N переливаний, а начальная концентрация спирта ( p/100 ) равна 1.
По условию можно составить выражение.
( 1 + ( 1 – A/V0 )) /( 1 + ( 1 – A/V0 )2) = 6/5
или
6(A/V0)2 – 7(A/V0) + 2 = 0
корни
A/V0 = 1/2 и A/V0 = 2/3
По условию задачи удовлетворяет только 2/3.
Ответ: A/V0 = 2/3.
Задача 7: Имеются три смеси, составленные из трех элементов А, В и С. В первую смесь входят только элементы А и В в весовом отношении 3:5, во вторую смесь входят только элементы В и С в весовом отношении 1:2, в третью смесь входят только элементы А и С в весовом отношении 2:3. В каком отношении нужно взять эти смеси, чтобы во вновь полученной смеси элементы А, В и С содержались в весовом отношении 3:5:2?
Решение: при решение этой задачи нужно подойти как к системе уравнений .
X * 3 * A + Z * 5 * A = 3
Y * B + X * 5 * B = 5
Z * 2 * C + 3 * Z * C = 2
Решаем систему из трех неизвестных только надо понимать, что все части равны по объему.
получаем X = 25, Y = 20, Z = 6.
Ответ: 25:20:6.
Задача 8: Выработка продукции за первый год работы предприятия возросла на Р %, а за следующий год по сравнению с первоначальной она выросла на 10 % больше, чем за первый год. Определите, на сколько процентов увеличилась выработка за первый год, если известно, что за два года она увеличилась в общей сложности на 24 %.
Решение: Здесь необходимо использовать такую формулу.
q/100 =n√(( 1 + Р1/100 ) * ( 1 + Р2/100 )* … *( 1 +Р n /100 )) – 1
так как по условию у нас тольк4о два года то это значит N = 2
q/100 =√(( 1 + Р1/100 ) * ( 1 + Р2/100 )) – 1
где q = 24 %, Р2 = 10 %.
Нужно найти Р1 выразим его
Р1 = (( 1 + 0,24 )2 – 1,1 )/1,1 ≈ 0,3978
Ответ: Выработка за первый год увеличилась на 39,78 %.
Задача 9: В оленеводческом совхозе стадо увеличивается в результате естественного прироста и приобретения новых олений. В начале первого года стадо составляло 3000 голов, в конце года совхоз купил 700 голов. В конце второго года стадо составляло 4400 голов. Определите процент естественного прироста.
Решение: Здесь необходимо использовать такую формулу.
An = А0 * ( 1 +Р1/100 ) * ( 1 +Р2/100 ) * … * ( 1 +Р n /100 ).
Теперь подставим значения в формулу.
4400 = ( 3000 * ( 1 + Р/100 ) + 700 ) = 0.
или
3Р2 + 670Р – 700 =0
в этом квадратном уравнении существует один корень, который удовлетворяет условию это Р = 10.
Ответ: Процент естественного прироста равен 10 %.
Задача 10: В течение года завод дважды увеличивал выпуск продукции на одно и то же число процентов. Найти это число, если известно, что в начале года завод ежемесячно выпускал 600 изделий, а в конце стал выпускать ежемесячно 726 изделий.
Решение: Здесь необходимо использовать такую формулу.
Аn = А0 * ( 1 + Р/100)n.
Где Аn = 726, А0 =600 , n = 2
Нам нужно найти Р для этого выразим,
Р = ( 726/600 ) – 1 или Р ( 1,21 ) – 1 или Р = 1,1 – 1
Р = 0,1 в процентах Р = 10 %.
Ответ: Процент увеличения выпуска равен 10 %.
Похожие работы
... анализа даются методические рекомендации по качественному осуществлению учебного процесса, вносятся комментарии, рекомендации по его усовершенствованию. Глава 2. Методика организации работы по разделу «техническое творчество 10 класс» 2.1 Методы, формы и средства изучения раздела (анализ традиционных и инновационных методов) Метод по-гречески — «путь», «способ поведения».Под методом ...
... и вытекают специфические черты методик обучения английскому языку, о которых пойдет речь в следующей главе. Глава 3. Сравнительная характеристика современных методик обучения английскому языку. 3.1 Как уже было сказано ранее, многие современные методики являются коммуникативно-ориентированными, и одной из важнейших их целей является обучение общению и владению речевыми ...
... и менеджмента Санкт-Петербургского Государственного технического университета соответствовал поставленной цели. Его результаты позволили автору разработать оптимальную методику преподавания темы: «Использование электронных таблиц для финансовых и других расчетов». Выполненная Соловьевым Е.А. дипломная работа, в частности разработанная теоретическая часть и план-конспект урока представляет ...
... иначе, и поэтому для закрепления навыков этого вида чтения также необходимы упражнения, аналогичные указанным выше. Помимо общих принципов, которые определяют все преподавание иностранного языка в средней школе, при обучении чтению следует также учитывать ряд более частных положений, обусловленных спецификой этого вида речевой деятельности[11]. 1. Обучение чтению должно ...
0 комментариев