Формальные свойства эквивалентности
Теорема
Теорема
Теорема
Лемма
Лемма
Отношения эквивалентности на числовой прямой
Пример
Операции над толерантностями
Определение
Лемма
Лемма
Лемма
Определение
Определение
Дальнейшее исследование структуры толерантностей
Теорема
Теорема
Та же ситуация для зацепленных циклических графов (см. рис. 6)
Приложение понятий эквивалентности и толерантности в различных областях знаний и практики человека
Навигация
Отношения эквивалентности на числовой прямой
Отношения эквивалентности и толерантности и их свойства
66989
знаков
0
таблиц
0
изображений
1.4 Отношения эквивалентности на числовой прямой
Пусть задано отношение 
на множестве 
. В случае, когда – числовая прямая, отношение отождествляется с некоторым подмножеством числовой плоскости, т.е. прямого произведения 
. В этом параграфе будут рассмотрены геометрические свойства множества на плоскости в случае, когда отношение есть эквивалентность.
Согласно определению 1.2.1 отношение называется эквивалентностью, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Каждое из этих свойств порождает некоторое геометрическое свойство множества . Координаты точки на плоскости будем обозначать 
.
1. Рефлексивность. Из того, что 
для всех 
, следует, что множество содержит главную диагональ (свойство 
).
2. Симметричность. Симметричность означает, что если 
, то и 
, т.е. что множество симметрично относительно главной диагонали (свойство 
).
3. Транзитивность. Транзитивность означает, что если и 
, то и 
. Точка 
является четвертой вершиной прямоугольника, три вершины которого находятся в точках 
и 
. Заметим, что вершина лежит на биссектрисе координатного угла – главной диагонали координатной плоскости. Поэтому геометрически свойство транзитивности можно сформулировать следующим образом:
Множество на плоскости определяет транзитивное отношение тогда и только тогда, когда для любого прямоугольника, одна вершина которого 
лежит на главной диагонали, а две соседние с вершины принадлежат , вершина 
, противоположная , также принадлежит (свойство 
).
Замечание. Если отношение является симметричным, то геометрическая формулировка транзитивности несколько упрощается. А именно:
Множество на плоскости, симметричное относительно главной диагонали, определяет транзитивное отношение тогда и только тогда, когда для любого прямоугольника, одна вершина которого лежит на главной диагонали, а две другие принадлежат , четвертая вершина также принадлежит (свойство 
).
Разница с предыдущим утверждением состоит в том, что вершины, принадлежащие , не обязаны быть соседними с вершиной, лежащей на диагонали. Покажем, что для симметричного свойство , влечет . Пусть, например, вершина, лежащая на диагонали, имеет координаты и и ; покажем, что . В самом деле, в силу симметрии, вместе с имеем 
. Если в качестве вершины на диагонали взять теперь 
, а в качестве соседних с ней вершин, принадлежащих , и 
, то, в силу свойства получаем .
Заметим, что класс эквивалентности, содержащий точку 
, есть проекция пересечения множества и прямой 
на ось ординат.
Сейчас мы приведем некоторые примеры множеств на плоскости, определяющих отношение эквивалентности.
1 Пример. (тривиальный). Множество вся плоскость. Выполнение свойств , , 
очевидно. Все точки исходной прямой отождествляются, т.е. входят в один класс эквивалентности.
Замечание. Для любого 
, если множество , определяющее отношение эквивалентности, содержит полосу 
, то оно совпадает со всей плоскостью. В самом деле, вместе с любой точкой множество содержит все внутренние точки квадрата с вершинами 
, , 
, 
, т.е. полосу 
. Ясно, что таким образом свойство "принадлежать " распространяется на все точки плоскости.
2 Пример. (периодичность). Возьмем которое число. Пусть множество состоит из прямых 
, где 
– произвольное целое число. Выполнение свойств и очевидно, и если 
, 
, то 
.
3 Пример. "Все константы равны единице, кроме нуля". (Такое утверждение высказал И.М. Гельфанд на одной из своих лекций.) В этом примере множество есть вся плоскость с выброшенными осями координат и добавленным началом координат. Иначе говоря, всегда, кроме случая 
, 
и ему симметричного. Если точки , 
принадлежат , то либо , и тогда 
, 
, либо 
, и тогда и 
. В обоих случаях .
4 Пример. (Все целые числа равны друг другу.) Множество состоит из главной диагонали и всех точек с целыми координатами.
Очевидно, можно рассматривать и конечные варианты такой эквивалентности типа 
5 Пример. (Все числа, не большие единицы по модулю, равны друг другу.) Множество состоит из диагонали и замкнутого единичного квадрата. Очевидно, множество, состоящее из открытого (или полузамкнутого: 
) квадрата, также дает эквивалентность.
2. Отношение толерантности
2.1 Определения, примеры, свойства
2.1.1 Определение
Отношение на множестве называется толерантностью или отношением толерантности, если оно рефлексивно и симметрично.
Пример. Множество состоит из четырехбуквенных русских слов – нарицательных существительных в именительном падеже. Будем называть такие слова сходными, если они отличаются не более чем на одну букву. Известная задача "Превращение мухи в слона" в точных терминах формулируется так:
Найти такую последовательность слов, начинающуюся словом "муха" и кончающуюся словом "слон", любые два соседних слова в которой сходны (в смысле только что данного определения).
Приведем решение этой задачи: Муха – мура – тура – тара – кара – каре – кафе – кафр – каюр – каюк – крюк – крок – срок – сток – стон – слон.
Похожие работы
... чем «я», делает мировосприятие более многомерным, целостным, а значит более адекватным реальности [10, c.23-27]. Глава 2. Государственно-правовое регулирование проблем толерантности в современном обществе 2.1 Анализ правовых актов по проблемам толерантности В Декларации о ликвидации всех форм дискриминации на основе религии или убеждений, которая была принята Генеральной Ассамблеей ООН 25 ...
... сигналов, передающихся от одного живого организма другому (от родителей - потомкам) или от одних клеток, тканей, органов другим в процессе развития особи; 6. в математике, кибернетике – количественная мера устранения энтропии (неопределенности), мера организации системы; 7. в философии – свойство материальных объектов и процессов сохранять и порождать определенное состояние, которое в ...
... в отечественной теории и практике психологических измерений. Хотя концепт осмысленности измерения развивается с трансформацией идей Стивенса и разработкой проблем статистики и логики, его положения относительно шкалирования, по проблемам измерений в психологии и связанной с ними осмысленностью измерений требуют, на наш взгляд, критического анализа привычной практики использования психологического ...
... N(X)N, состоящее из тех и только из тех i, для которых = 1. Это объясняет, почему изложение вероятностных и статистических результатов, относящихся к анализу данных, являющихся объектами нечисловой природы перечисленных выше видов, велось [37, гл.4] на языке конечных случайных множеств. Множества как исходные данные появляются и в иных постановках. Из геологических реалий исходил Ж.Матерон ...
0 комментариев