Навигация
2. А ≡ Аґ, В ≡ Вґ, С ≡ Сґ;
3. АВ → АmВ, АmВ 
г1 (О, R1),
ВС → ВnС, ВnС г2 (О, R2),
АС → АkС, АkС г3 (О, R3);
4. АґmВґnCґkAґ - искомая фигура (рис 11).
Доказательство.
Доказательство следует из анализа.
Исследование.
Задача всегда имеет решение и притом единственное.
Рис 11
Задача 12. Даны точка О и две не проходящие через нее прямые а и b. Провести через точку О такой луч, чтобы произведение его отрезков от точки О до точек пересечения с данными прямыми было равно квадрату данного отрезка.
Анализ. Пусть точка О – данная точка, а и b – данные прямые, ОВ - искомый луч, такой что ОА
ОВ = r2, где r – данный отрезок.
Инверсия относительно окружности щ (О, r) переведет точку А в точку В, а прямую а – в некоторую окружность г, проходящую через точку В. Таким образом, В ≡ г 
b.
Построение.
1. щ (О,r) – базисная окружность;
2. а → г;
3. В ≡ г b;
4. ОВ – искомый луч (рис 12).
Доказательство.
Пусть А = ОВ а, тогда А – прообраз точки В в инверсии относительно щ (О, r), так как прямая а – прообраз окружности г, то по определению инверсии ОАОВ = r2.
Исследование.
1. Если г b, то задача имеет два решения;
2. Если окружность г касается b, то задача имеет одно решение;
3. Если г не пересекается с b, то решений нет.
Заключение
Геометрические построения могут сыграть серьезную роль в математической подготовке школьника. Задачи на построение, решаемые с помощью инверсии обычно не допускают стандартного подхода к ним и формального восприятия их учащимися. Такие задачи удобны для закрепления теоретических знаний учащихся по любому разделу школьного курса геометрии. Решая геометрические задачи на построение, учащиеся приобретают много полезных чертежных навыков.
В данной работе было рассмотрено понятие инверсии как метода, с помощью которого решаются некоторые задачи на построение, рассмотрены основные свойства и теоремы, на которые опирается данный метод. Также в дипломной работе рассмотрена задача Аполлония, решение которой и является основой метода инверсии, приведены примеры решения задач на построение с помощью инверсии. В приложении дипломной работы представлены решения некоторых более сложных задач.
Данная тема, на мой взгляд, подходит к проведению факультативных занятий по геометрии в 8 классе, т. к. в 7 классе были изучены основные моменты планиметрии, которые необходимо знать для решения задач на построение, но при этом следует для начала провести курс по изучению темы инверсии. Это имеет место, так как в это время лучше всего нужно развивать мыслительную деятельность учеников, учить ребят доказывать, размышлять, развивать основные навыки, необходимые для дальнейшего лучшего усвоения геометрии. Но это важно еще и потому, что на решение таких задач в курсе планиметрии практически нет времени.
Геометрические построения в настоящее время не связаны непосредственно с наиболее актуальными проблемами математики. Но в процессе изучения усваиваются понятия и приобретаются некоторые навыки, имеющие значения и за пределами этого вопроса. Одним из широко распространенных в современной математике понятий является понятие алгоритма. Изучение геометрических построений является хорошим средством подготовки к усвоению этого понятия. Действительно, цель решения каждой геометрической задачи как раз и состоит в получении некоторого алгоритма. Разрешимость геометрической задачи на построение понимается именно как алгоритмическая разрешимость. Весьма поучительно рассмотрение задач, связанных с доказательством невозможности выполнения какого-либо построения данными средствами, так как вопросы разрешимости той или иной задачи при тех или иных допущениях встречающихся в самых различных разделах математики. Геометрические построения играют также особую роль, как средство доказательства существования геометрической фигуры обладающей указанными свойствами. Геометрические построения составляют также теоретическую основу практической графики.
Список используемой литературы
1. А. Адлер, Теория геометрических построений, М., Учпедгиз, 1940;
2. Б. И. Аргунов, М. Б. Балк, Геометрические построения на плоскости, изд. 2, Учпедгиз, 1957;
3. Н. Ф. Четверухин, Методы геометрических построений, М., Учпедгиз, 1952;
4. Б. И. Аргунов, М. Б. Балк, Элементарная геометрия, М., Просвещение, 1966;
5. А. В. Погорелов, Геометрия, изд.2, М., Наука, 1984;
6. И. Я. Бакельман, Инверсия;
7. С. Л. Певзнер, Инверсия и ее приложения, Хабаровск, 1988;
8. И. М. Яглом, Геометрические преобразования, Т.П.М., Гостехиздат, 1956;
9. Д. И. Перепелкин, Курс элементарной геометрии, И.Г.М., Гостехиздат, 1948;
10. Б.В. Кутузов, Геометрия. Пособие для учительских и педагогических институтов, М., Учпедгиз, 1950;
11. П. С. Моденов, А. С. Пархоменко, Геометрические преобразования, М., изд. ПГУ, 1961;
12. И. И. Александров, Сборник геометрических задач на построение, М., Учпедгиз, 1957;
13. В.В. Прасолов, И. Ф. Шарыгин, задачи по стереометрии, М., Наука, 1989;
14. Д. О. Шклярский, Н. Н. Ченцов, И. М. Яглом, Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Геометрия (планиметрия) ч. 2, М., Учпедгиз, 1958;
15. Л. С. Атанасян, Т. Б. Гуревич и др., Сборник задач по элементарной геометрии, М., Учпедгиз, 1958.
Похожие работы
... , поскольку точки М и М’ входят в формулу равноправно, а для центра инверсии и бесконечно удаленной области все очевидно. 1.3. Формула инверсии в комплексно сопряженных координатах. Найдем формулу обобщенной инверсии при задании точек комплексными числами. Пусть точкам S, M и М’ соответствуют комплексные числа s, z и z’. По формуле скалярного произведения векторов . Коллинеарность точек S, M и ...
... сумму элементарных вертикальных стержней: и , (VI.15) магнитное поле которых в точке Р будет представлять алгебраическую сумму из составляющих Ii каждого элемента. Таким образом, любая шкала хронологии обращений геомагнитного поля, построенная по рисунку аномалий рифтовых хребтов по принципу Вайна и Мэтьюза, является лишь гипотезой и не может быть использована для палеомагнитной стратификации. ...
... PG) Нейронные алгоритмы Инверсия Log Prediction Neural Network Классификация сейсмофаций Stratimagic (патент TotalFinaElf) Волновое и геологическое представление геологического разреза Цель инверсии - перевести волновое представление сейсмических записей в пластовый вид, характерный для геологических разрезов. Если сравнить детальность по глубине кривых плотностного каротажа (слева - Den) ...
... сладости, чем сахар. Искусственные подсластители, как правило, низкокалорийны, что расширяет область их использования в пищевой промышленности. Кроме того, употребление таких заменителей сахара не вызывает кариеса, что обуславливает их широкое применение при производстве фармацевтических препаратов. Благодаря высокой сладости искусственные подсластители добавляются в продукцию в значительно ...
0 комментариев