Навигация
Лемма об антипараллельных прямых
64677
знаков
0
таблиц
57
изображений
1.3 Лемма об антипараллельных прямых
Сначала рассмотрим вспомогательное понятие.
Пусть некоторая прямая a пересекает обе стороны некоторого угла (k, l) (рис. 12). В пересечении с какой–либо из сторон угла, например k, эта прямая образует четыре угла, из которых только один лежит внутри треугольника, отсекаемого прямой от угла (k, l).
Рис. 12
В дальнейшем, когда речь будет идти об угле между прямой и стороной угла, мы будем иметь в виду именно этот угол.
Пусть теперь две прямые (рис. 13) пересекают стороны угла, причем одна из них образует с одной из сторон угла такой же угол, какой вторая прямая образует с другой стороной угла (на рис. 13) ∟1 = ∟2.
Рис. 13
Легко понять, что когда и первая прямая образует со второй стороной угла такой же угол, какой образует вторая прямая с первой стороной угла ∟3 = ∟4.
Определение. Две прямые, пересекающие стороны некоторого угла, называются антипараллельными относительно этого угла, если одна из них образует с одной из его сторон такой же угол, какой образует другая прямая с другой его стороной.
Антипараллельными являются прямые a и b на рисунке 13, прямые с и d на рисунке 14, где с ┴ k и d ┴ l.
Антипараллельные прямые, вообще говоря, не параллельны. Исключение составляет только случай, когда обе прямые перпендикулярны к биссектрисе данного угла (рис. 15).
Рис. 14
Рис. 15
Теорема (лемма об антипараллельных прямых). Прямая, соединяющая две точки плоскости, и прямая, соединяющая две инверсные им точки, антипараллельны относительно угла с вершиной в центре инверсии и сторонами, проходящими через данные точки.
Доказательство. Пусть щ (О, R) базисная окружность, точки Аґ и Вґ (рис. 16) инверсны соответственно точкам А и В. Тогда ОА 
ОАґ = ОВ ОВґ = R2, так что 
= 
. Кроме того, в треугольниках АОВ и ВґОАґ угол О общий. Следовательно, ∆АОВ подобен ∆ ВґОАґ и, значит, ∟ОВА = ∟ОА′В′.
Таким образом, прямые АВ и А′В′ антипараллельны относительно угла АОВ, что и требовалось доказать.
Если (рис. 16) каким-либо образом построены две соответственные в инверсии точки А и А′, то доказанная лемма дает простой прием построения образа произвольной точки В (не лежащей на прямой ОА): соединить В с А и провести прямую А′В′ так, чтобы ∟ОА′В′ = ∟ОВА.
Рис. 16
1.4 Степень точки относительно окружности
Понятие степени точки относительно окружности играет существенную роль и является аналогом понятия расстояния от точки до прямой.
Степенью точки М относительно окружности К называется число
s = d2 – r2 ,
где d – расстояние точки М от центра О окружности К, а r – радиус этой окружности. Если точка М лежит внутри окружности К, то d < r, и потому степень точки М: s = d2 – r2 – отрицательна. Величины r – d и r + d суть отрезки диаметра PQ, на которые его разбивает точка М. Поэтому для любой хорды АМВ круга К (рис. 17) имеем s = - АМ МВ.
Рис. 17
Если точка М лежит на окружности К, то d = r и, следовательно, степень точки М равна нулю. Наконец, если точка М лежит вне окружности К, то d > r и s = d2 – r2 представляет собой квадрат длины касательной к окружности К, проведенной из точки М (рис. 18).
Рис. 18
Пусть теперь даны две окружности К1 и К2. Геометрическое место точек, степени которых относительно окружностей К1 и К2 равны, называют радикальной осью окружностей К1 и К2.
1.5 Инверсия окружностей, проходящих и не проходящих через центр инверсии
Путь некоторая окружность г проходит через центр инверсии – точку О. При инверсии все точки окружности г, за исключением точки О, преобразуются в какие-то другие точки. Какую фигуру образуют эти точки?
Теорема. При инверсии окружность, проходящая через центр инверсии, преобразуется в прямую. Эта прямая перпендикулярна к линии центров данной окружности и базисной окружности.
Доказательство. Пусть щ (О, R) – базисная окружность инверсии, г (О1, R1) – данная окружность, проходящая через О. Проведем прямую О О1. Пусть она пересечет окружность г в точке А (рис. 19).
Рис. 19
Обозначим через Аґ точку, инверсную точке А. Выберем на окружности г произвольную точку Р и построим ей инверсную точку Рґ. соединим Р с А, Рґ с Аґ. В силу леммы об антипараллельных прямых ∟ОАґРґ = ∟ОРА. Но ∟ОРА = 90˚, как опирающийся на диаметр окружности г. Поэтому ∟ОАґРґ тоже равен 90˚, т. е. точка Р′ лежит на прямой, проходящей через точку А′ и перпендикулярной к прямой ОА′. Обозначим прямую Р′А′ через а. Мы показали, что каждая точка окружности г преобразуется в точку прямой а. Не трудно показать, что и обратно: каждая точка прямой а инверсна некоторой точке окружности г. Следовательно, окружность г преобразуется при инверсии в прямую а, что и требовалось доказать.
Из рассмотренной теоремы вытекает способ построения прямой, инверсной данной окружности, если последняя проходит через центр инверсии: 1) строим прямую ОО1, проходящую через центр инверсии и центр данной окружности; 2) отмечаем точку А пересечения этой прямой с данной окружностью (А ≠ О); 3) строим точку А′, инверсную точке А, и 4) через точку А′ проводим прямую а, перпендикулярную прямой ОО1. Полученная прямая а искомая.
В том случае, когда базисная окружность пересекает данную окружность г, построение упрощается: прямой, инверсной окружности г, является прямая, определяемая двумя точками пересечения окружности г с базисной окружностью (рис. 20).
Если окружность г касается базисной окружности щ, то г преобразуется в общую касательную этих окружностей.
Если две окружности касаются в центре инверсии, то они преобразуются при инверсии в пару параллельных прямых.
Рис. 20
Теорема. При инверсии окружность, не проходящая через центр инверсии, преобразуется в окружность.
Доказательство. Пусть щ (О, r) – базисная окружность (рис. 21), г (О1, r1) – данная окружность. Проведем прямую ОО1 и отметим точки А и В ее пересечения с окружностью г. Пусть Аґ и Вґ - инверсные им точки. Обозначим через Р произвольную точку окружности г, через Рґ - инверсную ей точку. Соединим Р с А и В, Рґ с Аґ и Вґ. из леммы об антипараллельных прямых вытекает, что ∟1′ = ∟1, ∟2′ = ∟2. Но ∟1 + ∟2 = 90є. Поэтому ∟1ґ + ∟2ґ = 90є. Следовательно, ∟АґРґВґ = 90є. Таким образом, из точки Рґ отрезок АґВґ виден под прямым углом. Значит, точка Рґ лежит на окружности с диаметром АґВґ. Обозначим эту окружность через гґ. Мы доказали, что каждая точка окружности г при инверсии преобразуется в точку окружности гґ.
Рис. 21
По ходу доказательства теоремы выясняется следующий способ построения окружности, инверсной данной окружности (если последняя не проходит через центр инверсии): 1) проводим прямую через центр инверсии О и центр О1 данной окружности г; 2) отмечаем точки А и В пересечения этой прямой с окружностью гґ; 3) строим инверсные точки Аґ и Вґ; 4) строим окружность гґ на отрезке АґВґ как на диаметре. Окружность гґ искомая.
Похожие работы
... , поскольку точки М и М’ входят в формулу равноправно, а для центра инверсии и бесконечно удаленной области все очевидно. 1.3. Формула инверсии в комплексно сопряженных координатах. Найдем формулу обобщенной инверсии при задании точек комплексными числами. Пусть точкам S, M и М’ соответствуют комплексные числа s, z и z’. По формуле скалярного произведения векторов . Коллинеарность точек S, M и ...
... сумму элементарных вертикальных стержней: и , (VI.15) магнитное поле которых в точке Р будет представлять алгебраическую сумму из составляющих Ii каждого элемента. Таким образом, любая шкала хронологии обращений геомагнитного поля, построенная по рисунку аномалий рифтовых хребтов по принципу Вайна и Мэтьюза, является лишь гипотезой и не может быть использована для палеомагнитной стратификации. ...
... PG) Нейронные алгоритмы Инверсия Log Prediction Neural Network Классификация сейсмофаций Stratimagic (патент TotalFinaElf) Волновое и геологическое представление геологического разреза Цель инверсии - перевести волновое представление сейсмических записей в пластовый вид, характерный для геологических разрезов. Если сравнить детальность по глубине кривых плотностного каротажа (слева - Den) ...
... сладости, чем сахар. Искусственные подсластители, как правило, низкокалорийны, что расширяет область их использования в пищевой промышленности. Кроме того, употребление таких заменителей сахара не вызывает кариеса, что обуславливает их широкое применение при производстве фармацевтических препаратов. Благодаря высокой сладости искусственные подсластители добавляются в продукцию в значительно ...
0 комментариев