Инверсия плоскости в комплексно сопряженных координатах

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

Инверсия плоскости

в комплексно сопряженных координатах

Выполнила: студентка V курса

математического факультета

Дмитриенко Надежда Александровна

Научный руководитель:

старший преподаватель кафедры

алгебры и геометрии

Александр Николаевич Суворов

Рецензент:

Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии

«___»__________2005 г. Зав. кафедрой В.М. Вечтомов

«___»___________2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина

Киров

2005

Содержание

Введение........................................................................................................... 3

Глава 1. Основные положения теории инверсии........................................... 4

1.1. Общие сведения о комплексной плоскости......................................... 4

1.2. Определение инверсии – симметрии относительно окружности........ 5

1.3. Формула инверсии в комплексно сопряженных координатах......... 11

1.4. Неподвижные точки и окружность инверсии.................................... 11

1.5. Образы прямых и окружностей при обобщенной инверсии............ 12

1.6. Свойства обобщенной инверсии........................................................ 19

Глава 2. Применение инверсии при решении задач

и доказательстве теорем................................................................. 30

2.1. Применение инверсии при решении задач на построение............... 30

2.2. Применение инверсии при доказательстве........................................ 41

Заключение.................................................................................................... 43

Библиографический список........................................................................... 44

Введение

В наш век современных технологий так и хочется привлечь компьютер для решения задач, в частности, геометрических. Было бы замечательно, если бы от пользователя требовалось только занести в программу нужные данные, а последняя сама бы все рассчитала и выдала, к примеру, радиус и центр искомой окружности. Но вся проблема в том, что программа может работать только с координатами. И есть смысл перевода наиболее эффективных с точки зрения решения задач преобразований, в число которых входит и инверсия, на язык координат. Наиболее просто это получается на комплексной плоскости. Изучению преобразования инверсии комплексной плоскости и посвящена эта дипломная работа.

Цель работы состоит в следующем: обобщить и систематизировать основные факты об инверсии комплексной плоскости и показать применение этого преобразования при решении задач и доказательстве теорем.

Поставленная цель предполагала решение следующих задач:

·     вывод комплексной формулы инверсии;

·     доказательство основных свойств инверсии на комплексной плоскости;

·     решение нескольких задач при помощи инверсии комплексной плоскости;

·     доказательство ряда теорем при помощи инверсии комплексной плоскости.

Оказалось, что не так много специальных работ по теме. Инверсия комплексной плоскости оказалась крайне слабо освещена в литературе по сравнению с инверсией евклидовой плоскости. Поступали следующим образом: брали известный факт из евклидовой плоскости, а потом доказывали его методом комплексно сопряженных координат. Чаще всего такие доказательства были понятнее и короче, чем исходные.

Глава 1

Основные положения теории инверсии

1.1. Общие сведения о комплексной плоскости. Зададим на плоскости прямоугольную декартову систему координат 0xy. Тогда каждому комплексному числу z, представленному в алгебраической форме , можно однозначно поставить в соответствие точку М плоскости с координатами . Комплексное число z называют комплексной координатой соответствующей точки М и пишут: .

Следовательно, множество точек евклидовой плоскости находится во взаимно однозначном соответствии с множеством комплексных чисел. Эту плоскость называют плоскостью комплексных чисел.

Все необходимые сведения об этой плоскости очень хорошо даны в книге Я. П. Понарина [3]. Здесь приведем лишь некоторые формулы, взятые из того же источника, использованные в работе.

Расстояние между двумя точками с координатами а и b равно .

Уравнение прямой в канонической форме: , .

Уравнение окружности с центром в точке s и радиусом r: . Также часто используют запись , , , где центр , радиус .

Скалярное произведение векторов: .

Коллинеарность трех точек с координатами а, b и с: .

Критерий коллинеарности векторов: .

Расстояние от точки с координатой z₀ до прямой , : .

Критерий параллельности двух прямых  и , заданных в канонической форме: .

Критерий перпендикулярности двух прямых  и , заданных в канонической форме: .

Двойное отношение четырех точек плоскости с координатами а, b, с и d: ; аргумент w равен ориентированному углу между окружностями abc и abd.

Критерий принадлежности четырех точек одной окружности или прямой: .

Критерий ортогональности окружностей ,  и , : .

Параллельный перенос на вектор с координатой r: .

Гомотетия с центром s и коэффициентом s: , .

Осевая симметрия с осью симметрии , где : .

Центральная симметрия с центром : .