Инверсия и ее применение

Введение

 

В геометрии основную роль играют различные преобразования фигур. В школе подробно изучаются движения и гомотетии, а также их приложения. Важной особенностью этих преобразований является сохранение ими природы простейших геометрических образов: прямые преобразуются в прямые, а окружности – в окружности. Инверсия представляет собой более сложное преобразование геометрических фигур, при котором прямые уже могут переходить в окружности и наоборот. Такой подход позволяет дать в применении к задачам элементарной геометрии единообразную методику изучения. Это, прежде всего, относится к задачам на построение и к теории пучков окружностей.

Следует отметить, что рассмотрение указанных разделов элементарной геометрии без применения инверсии связано с привлечением разнообразных, большей частью довольно искусственных построений, носящих частный характер.

Кроме указанных приложений, инверсия применяется также в пограничных вопросах элементарной геометрии и так называемой высшей геометрии.

В данной работе и рассматривается преобразование, называемое инверсией. Применение преобразования инверсии при решении задач на построение и доказательство позволяет решить ряд задач, которые трудно решить с помощью других методов решения подобных задач.

Впервые стали изучать это преобразование в 30-х годах прошлого века.

Способ решения задач, который рассматривается в данной работе, называется методом инверсии, или методом обратных радиусов, или методом обращения.

Этот метод является мощнейшим среди методов решения задач на построение, которые могут сыграть серьезную роль в математической подготовке школьника, ведь ни один вид задач не дает, пожалуй, столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащихся как геометрические задачи на построение.

Дана дипломная работа посвящена преобразованию инверсии и ее применению в решении задач на построение. Для удобства изложения материал разбит на две главы.

В первой главе подробно изучается преобразование инверсии: рассматриваются основные свойства инверсии. Во второй главе рассматривается применение инверсии к решению задач на построение, отдельно рассматривается задача Аполлония и вспомогательные задачи, применяемые к решению этой задачи.

В конце второй главы в работе представлено приложение, в котором предложено решение некоторых задач, решаемых с помощью инверсии.

Работа включает в себя также введение, заключение и список используемой литературы.

1. Инверсия как преобразование плоскости

1.1 Определение инверсии. Построение инверсных точек.

Пусть на плоскости дана некоторая окружность щ (О, R) (рис. 1)

Рис. 1

Пусть, далее, Р – произвольная точка плоскости, отличная от точки О. Сопоставим ей точку Рґ, которая удовлетворяла бы двум условиям:

1)                 точка Рґ лежит на луче ОР;

2)                 ОР ОРґ = R2.

Такую точку Рґ мы называем инверсной или обратной точке Р относительно окружности щ. Окружность щ называется базисной окружностью инверсии, ее центр – центром инверсии, а радиус – радиусом инверсии.

Преобразование, при котором каждой точке некоторой фигуры ставится в соответствие инверсная ей точка, называется инверсией, а фигура, образованная всеми точками, инверсными точками данной фигуры, называется инверсной по отношению к данной фигуре.

Обратим внимание на то, что при R = 1 ОРґ= 1/ОР, так что ели точка Р инверсна точке Рґ, то расстояния ОР и ОРґ являются взаимно обратными числами. С этим связано то, что точку Рґ называют обратной точке Р, а рассматриваемое преобразование называется преобразованием обратных радиусов (расстояний), или же обращением.

Рассмотрим построение инверсных точек:

1 случай.

Если точка Р Є (О,Р ), то Рґ= Р (совпадают).

2 случай.

Пусть точка Р вне базисной окружности.

Построение.

1.     щ (О, R) и Р – данная точка.

2.     РК – касательная к окружности щ. К Є щ.

3.     КРґ┴ОР, Рґ Є ОР, Рґ - инверсна точке Р. (рис 2).

Рис. 2.

Доказательство.

Рассмотрим подобные треугольники ОРК и ОКРґ. Из подобия следует: =  или ОР ОРґ = R2 .

Точка Рґ Є ОР (по построению).

3 случай.

Точка Р – внутри базисной окружности. Тогда построение выполняем в обратом порядке.

Построение.

1.     щ (О, R) и Р – данная точка.

2.     РК┴ОР, К Є щ.

3.     КР – касательная к окружности.

1.2 Свойства инверсии

Прежде, чем рассмотреть свойства инверсии, установим одну простую лемму, которая играет существенную роль при изучении свойств инверсии.

Лемма. Пусть инверсия ц переводит точки А и В соответственно в точки Аґ и Вґ (предполагается, что точки А и В отличны от точки О и бесконечно удаленной точки и, кроме того, точки О, А, В не лежат на одном луче с началом в точке О). Тогда треугольники ОАВ и ОАґВґ подобны и ∟ОАВ= ∟ОВґАґ, ∟ОВА= ∟ОАґВґ.

Доказательство: У треугольников ОАВ и ОАґВґ (рис.3) имеется общий угол, а стороны, заключающие этот угол, пропорциональны. Действительно, так как ОАОАґ = ОВОВґ = r2, то  = . Отсюда следует, что треугольники ОАВ и ОАґВґ подобны.

Рис 3.

Но так как против пропорциональных сторон в подобных тре6угольниках лежат равные углы, то из соотношения  =  следует равенство соответствующих углов: ∟ОАВ= ∟ОВґАґ, ∟ОВА= ∟ОАґВґ.

Лемма доказана.

Теорема 1. Инверсия ц переводит любую прямую, проходящую через центр инверсии, саму на себя, т. е. прямая, проходящая через центр инверсии, есть инвариантная фигура.

Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из определения инверсии.

Теорема 2. Инверсия ц преобразует прямую, не проходящую через центр инверсии О, в окружность, проходящую через точку О.

Доказательство: Пусть l – прямая, не проходящая через центр инверсии – точку О. Опустим из точки О перпендикуляр на прямую l , и пусть он пересекает l в точке М (рис 4). Пусть Мґ образ точки М относительно инверсии ц. Точка Мґ, очевидно, лежит на луче ОМ. На прямой l рассмотрим произвольную точку X, отличную от бесконечно удаленной точки О ∞. Пусть Xґ - образ Х относительно инверсии ц. Тогда по лемме 1 имеем ∟ОXґМґ = ∟ОМХ = . Поэтому точка Xґ лежит на окружности К, построенной на отрезке ОМґ как на диаметре. Так как точка Х взята на прямой l произвольно, то образ прямой l при инверсии ц представляет собой совокупность точек l′, расположенную на окружности К.

Рис. 4

Докажем теперь, что множество точек l′ совпадает с окружностью К. прежде всего отметим, что точка О принадлежит множеству l′. Это вытекает из того, что прямая l проходит через бесконечно удаленную точку О ∞, а эту точку инверсия ц переводит в точку О. Пусть теперь Y – произвольная точка окружности К. Луч ОY пересекает прямую l в некоторой точке Z. Так как точки Y и Z лежат на одном луче ОZ, то нам нужно лишь проверить, что выполняется соотношение ОY = . По построению треугольники ОYМґ и ОМZ (рис 4) подобны. Поэтому  = . Отсюда ОY =  = . Итак, доказано, что точка Y есть образ точки Z при инверсии ц.

Теорема доказана.

Построение, проведенное в доказательстве теоремы 2, дает способ построения образа заданной прямой относительно инверсии ц с помощью циркуля и линейки. Из центра инверсии – точки О – опускаем перпендикуляр ОМ (рис 4) на прямую l. Строим точку Мґ, являющуюся образом точки М (при этом приходится строить отрезок длиной, равной r2/ОМ). Образ прямой l относительно инверсии – окружность lґ - строится на отрезке ОМґ как на диаметре.

Теорема 3. Инверсия ц преобразует окружность, проходящую через центр инверсии О, в прямую, не проходящую через точку О.

Доказательство этой теоремы вытекает из доказательства теоремы 2.

Теорема 4. Инверсия ц преобразует окружность, не проходящую через центр инверсии О, в некоторую окружность, также не проходящую через центр инверсии.

Доказательство: пусть К – окружность, не проходящая через центр инверсии О. Через точку О проведем прямую g так, чтобы она пересекала окружность К по диаметру АВ (рис 5).

Рис 5.

Пусть Аґ и Вґ - образы точек А и В относительно инверсии ц, Х – произвольная точка окружности К и Хґ - ее образ.

По лемме 1 треугольники ОХА и ОХґАґ подобны и потому ∟ОАґХґ = ∟ОХА; аналогично треугольники ОХВ и ОХґВґ подобны и, следовательно, ∟ОВґХґ = ∟ОХВ.

Так как ∟АґХґВґ = ∟ОВґХґ - ∟ОАґХґ = ∟ОХВ - ∟ОХА = ∟АХВ = , то отсюда вытекает, что отрезок АґВґ из точки Хґ виден под углом  и, стало быть, точка Хґ лежит на окружности S, построенной на отрезке АґВґ как на диаметре. Поскольку точка Х на окружности К была выбрана произвольно, то Кґ - образ окружности К при инверсии ц – расположен на окружности S. Пусть Y – произвольная точка окружности S и Z – точка на луче ОY такая, что ОZ = . Очевидно, что точка Z переводится инверсией ц в точку Y. Далее, из соотношений

ОА ОАґ = r2

ОВ ОВґ = r2

ОZ OY = r2

и леммы 1 вытекает, что ∟AZB = ∟OZB - ∟OZA = ∟OB′Y - ∟OA′Y =∟A′YB′ = .

Следовательно, что точка Z лежит на окружности К. отсюда вытекает, что фигуры S и Кґ совпадают. Так как по построению концы диаметра окружности К – точки А, В – отличны от точки О, то окружность Кґ не проходит через точку О.

Построения , приведенные выше, дают возможность строить образ окружностей при инверсии с помощью циркуля и линейки. Рассмотрим этот вопрос более подробно.

а) Окружность не проходит через центр инверсии. В этом случае проводим из точки О луч, который пересекает окружность К по диаметру АВ, для точек А и В строим их образы Аґ и Вґ. окружность Кґ - образ окружности К относительно инверсии ц – есть окружность, построенная на отрезке АґВґ как на диаметре (рис. 6).

Рис. 6

б) Окружность К проходит через центр инверсии. В этом случае согласно теореме 3 образ К есть прямая Кґ. из точки О проводим луч ОА (рис 7), который пересекает К по диаметру ОА. Для точки А строим ее образ – точку Аґ. Прямая, проходящая через точку Аґ перпендикулярно лучу ОА, и есть искомая прямая Кґ

Построение прямой Кґ значительно упрощается в двух случаях:

1)                 если окружность К пересекает окружность инверсии в двух точках В и С, то прямая Кґ совпадает с прямой ВС (рис. 8);

2)                 если К касается окружности инверсии, то Кґ есть касательная к окружности инверсии в точке касания К с окружностью инверсии (рис. 9).

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

Рассмотрим теперь вопрос о характере изменения углов между кривыми под действием инверсии ц. Как известно, углом между кривыми L1 и L2 в точке их пересечения называется наименьший из вертикальных углов между касательными к этим кривым в рассматриваемой точке. Можно доказать, что при инверсии углы между кривыми сохраняются. Ниже это предложение доказывается для окружностей и прямых.

Теорема 5. При инверсии ц угол между прямыми равен углу между их образами.

Доказательство. Здесь могут представиться 3 случая:

1)                 прямые l1 и l2 проходят через центр инверсии ц;

2)                 одна из прямых l1 и l2 проходит через центр инверсии;

3)                 ни l1 и l2 не проходят через центр инверсии.

В первом случае утверждение теоремы очевидно. Рассмотрим случаи 2) и 3). В случае 2) (рис. 10) будем считать для определенности, что прямая l1 проходит через центр инверсии - точку О. Тогда инверсия ц переводит прямую l1 саму в себя, т.е. образ прямой l1 совпадает с этой прямой. Прямая l2 не проходит через центр инверсии и потому переводится инверсией в некоторую окружность lґ2, проходящую через точку О. Касательная t к окружности lґ2 в точке О параллельно прямой l2.

Рис. 10

Относительно взаимного расположения прямых l1 и l2 могут представиться 2 возможности:

а) прямые l1 и l2 параллельны;

б) l1 и l2 пересекаются в некоторой точке А.

Если l1 и l2 параллельны, то угол между ними, очевидно, равен 0. Но прямая l1 проходит через точку О и параллельна l2 . Поэтому она необходимо будет совпадать с касательной t к окружности lґ2 в точке О. Отсюда следует, что угол между lґ1 и lґ2 равен 0 и, следовательно, утверждение теоремы в случае а) доказана.

Пусть теперь l1 и l2 не параллельны и А – точка их пересечения. Обозначим через б наименьший из вертикальных углов между l1 = lґ1 и прямой l2 или, что то же, прямой t. Точка А при инверсии переходит в некоторую точку Аґ, в которой прямая lґ1 пересекается с окружностью lґ2. Но прямая lґ1 или, что то же, прямая ОАґ составляет с касательной tґ в точке Аґ к окружности lґ2 такие же вертикальные углы, что и с касательной t. Отсюда немедленно следует, что угол между l1 и l2 в точке Аґ равен б.. случай 2) полностью доказан.

Рис. 11

Третий случай (рис. 11) доказывается аналогичными рассуждениями. Заметим только, что если прямые l1 и l2 параллельны, то соответствующие окружности lґ1 и lґ2 имеют в точке О общую касательную и составляют между собой нулевой угол. Отсюда угол между lґ1 и lґ2 равен углу между l1 и l2. Если же прямые l1 и l2 пересекаются, то, как видно из рис. 11, угол между окружностями lґ1 и lґ2 в точке О равен углу между прямыми l1 и l2, т. к. касательные t1 и t2 к этим окружностям в точке О параллельны прямым l1 и l2. Отсюда и вытекает утверждение теоремы.

Рассмотрим еще две теоремы без доказательства.

Теорема 6. Угол между окружностями равен углу между образами этих окружностей относительно инверсии.

Теорема 7. Угол между окружностью и прямой равен углу между образами этих фигур относительно инверсии.