Навигация
Преобразование прямой при инверсии
64677
знаков
0
таблиц
57
изображений
1.6 Преобразование прямой при инверсии
При инверсии прямая, проходящая через центр инверсии, преобразуется сама в себя. Как обстоит дело с прямой, не проходящей через центр инверсии?
Теорема. При инверсии прямая, не проходящая через центр инверсии, преобразуется в окружность, проходящую через центр инверсии.
Доказательство. Пусть щ (О, r) – базисная окружность (рис. 22), а – данная прямая. Опустим из точки О перпендикуляр ОА на прямую а. Пусть Аґ - точка, инверсная точке А, а г – окружность, имеющая диаметром ОАґ.
Рис. 22
При инверсии окружность г преобразуется в прямую а (по теореме из пункта 1.5). в силу свойства взаимности прямая а преобразуется в окружность г.
Заметим, что по ходу доказательства мы выяснили способ построения окружности, инверсной данной прямой.
1.7 Инвариантные окружности. Сохранение углов при инверсии
При инверсии базисная окружность преобразуется в себя. Но существуют и другие окружности, обладающие таким свойством.
Вспомним некоторые определения.
Углом между двумя линиями в точке их пересечения Т называется угол между касательными к этим линиям, проведенным в точке Т.
Две окружности называются ортогональными, если они пересекаются под прямым углом. Если две окружности ортогональны, то их радиусы, проведенные в точку пересечения, перпендикулярны между собой, и наоборот.
Рис. 23
Отсюда вытекает способ построения окружностей, ортогональных данной окружности щ в данной точке Т. для этого достаточно на касательной t к окружности щ в точке Т выбрать произвольную точку О1 и построить окружность щ1 (О1, О1Т), которая и будет искомой (рис. 23).
Теорема. Для того чтобы окружность, отличная от базисной окружности, преобразовалась при инверсии в себя, необходимо и достаточно, чтобы она была ортогональна базисной окружности.
Доказательство. 1) Достаточность. Пусть окружность г (О1, r1) (рис. 24) ортогональна базисной окружности щ (О, r). Докажем, что окружность г преобразуется в себя.
Рис. 24
Пусть Р – произвольная точка окружности г. Проведем прямую ОР. Она пересечет окружность г еще в некоторой точке Р1 (если прямая ОР касается окружности г, то за Р1 примем точку Р).
Так как окружность г ортогональна окружности щ, то радиус ОТ, соединяющий центр инверсии с точкой пересечения окружностей, касается окружности г. Поэтому ОР 
ОР1 = ОТ2 = r2, так что точка Р1 инверсна точке Р. Итак, при инверсии относительно окружности щ каждая точка Р окружности г преобразуется в точку Р1, также лежащую на окружности г.
Принимая во внимание свойство взаимности инверсных точек, можно заключить также, что и обратно: каждая точка окружности г служит образом некоторой точки этой же окружности. Таким образом, окружность г преобразуется в себя.
2) Необходимость. Пусть окружность г, отличная от базисной окружности инверсии, преобразуется в себя. Докажем, что г – окружность, ортогональная базисной. Так как окружность г отлична от окружности щ, то она содержит точку Р, не лежащую на щ. Пусть точка Р1 инверсна точке Р (рис. 24); тогда одна из двух точек Р и Р1 находится вне, а другая внутри окружности щ. Следовательно, окружность г пересекает окружность щ. Обозначим через Т одну из точек их пересечения. Покажем, что ОТ – касательная к окружности г. Это можно установить способом «от противного». Допустим, что, помимо точки Т, прямая ОТ встречает окружность г еще в точке Т1. Заметим, что точки Р и Р1 расположены по одну сторону от точки О, так что точка О расположена вне окружности г. В силу известного свойства секущих, проведенных из одной и той же точки к окружности, ОТ ОТ1 = ОР ОР1 = r2. И так как ОТ = r, то и ОТ1 = r. Следовательно, точка Т1 должна совпасть с точкой Т, вопреки допущению. Итак, ОТ – касательная к окружности г. Следовательно, окружности щ и г ортогональны.
Теорема. Если окружность проходит через две взаимно инверсные точки, то при инверсии она преобразуется в себя.
Доказательство. Пусть окружность г проходит через точки Р и Рґ, инверсные относительно окружности щ (О, r). Тогда ОР ОРґ = r2. Ясно, что точка О вне окружности г. Пусть Q – произвольная точка на окружности г (рис. 25).
Рис.25
Проведем луч ОQ, и пусть он встречает окружность г в точках Q и Qґ (в случае касания луча ОQ с окружностью г Qґ≡ Q), тогда ОQ OQґ = OP OPґ = r2, т. е. точка Qґ инверсна точке Q. Итак, если какая-либо точка лежит на окружности г, то инверсная ей точка также лежит на этой окружности. Отсюда заключаем, что при инверсии окружность г преобразуется в себя.
Следствие. Окружность, проходящая через две взаимно инверсные точки, ортогональна к базисной окружности инверсии. Все окружности, проходящие через две взаимно инверсные точки, образуют эллиптический пучок, состоящий из окружностей, ортогональных базисной окружности инверсии.
Пусть через точку М проходят две линии г1 и г2. предположим, что существует единственная касательная к каждой из этих линий в точке М. пусть при инверсии точка м преобразуется в точку М′, а линии г1 и г2 соответственно в линии г1′ и г2′. Оказывается, что угол между линиями г1′ и г2′ в точке М′ равен углу между линиями г1 и г2 в точке М.
Лемма. Если при инверсии относительно окружности щ (О, r) точка М и проходящая через нее линия г преобразуется в точку М′ и линию г′, то линии г и г′ в этих точках образуют с прямой ОМ равные углы.
Рис. 26
Доказательство. Пусть Р (рис. 26) – произвольная точка на линии г, Р′ - ей инверсная точка; тогда Р′ лежит на г′.
Соединим М с Р, М′ с Р′. В силу леммы об антипараллельных прямых ∟ММ′Р′ = ∟МРО или ∟ММ′Р′ = ∟М′МР - ∟МОР… (1).
Пусть при неограниченном приближении точки Р вдоль линии г к точке М секущая МР стремится к положению МА, так что МА - касательная к линии г в точке М. Пусть ∟М′МА = ц. Тогда
lim ∟М′МР = ц.
P → M
В то же время, когда Р стремится к М вдоль линии г, угол МОР стремится к нулю. Поэтому, в силу равенства (1), угол ММ′Р′ также стремится к определенному пределу, равному ц. Таким образом, когда Р стремится к М вдоль линии г (и, следовательно, Р′ стремится к М′ на линии г′), секущая М′Р′ стремится к некоторому предельному положению М′А′. А′М′ - касательная к г′ в точке М′ (по определению касательной). Мы видим, что ∟ММ′А′ = ц. Лемма доказана.
Теорема. Если две линии г1 и г2 и точка их пересечения М преобразуются в некоторой инверсии соответственно в линии г1′ и г2′ и точку М′, то угол между линиями г1 и г2 в точке М равен углу между линиями г1′ и г2′ в точке М′.
Рис. 27
Доказательство. Пусть а1 и а2 – касательные к г1 и г2 в точке М, а1′ и а2′ - касательные к г′1 и г′2 в точке М′ (рис. 27).
Будем предполагать, что ни одна из прямых а1 и а2 не совпадают с прямой ОМ, где О – центр инверсии; в противном случае доказательство только упрощается. Прямой ММ′ плоскость разбивается на две полуплоскости. Выберем в одной из них на каждой прямой а1, а2 и а′1, а′2 по одной точке: А1 и А2; А1′ и А2′. В силу леммы
∟М′МА1 = ∟ ММ′А1′ (2)
∟М′МА2 = ∟ ММ′А2′ (2′).
Пусть для определенности ∟М′МА2 < ∟М′МА1, отсюда ∟А2МА1 = ∟М′МА1 - ∟М′МА2 и ∟ А2′М′А1′ = ∟ ММ′А1′ - ∟ ММ′А2′ , так что в силу равенств (2) и (2′) ∟А1′М′А2′ = ∟А1МА2. Теорема доказана.
Следствие. Если две линии касаются в некоторой точке, отличной от центра инверсии, то при инверсии они преобразуются в две линии, которые касаются в соответственной точке.
1.8 Инверсия и осевая симметрия.
Можно установить далеко идущую аналогию в свойствах инверсии и осевой симметрии. Для этого напомним некоторые свойства инверсии.
1. Инверсия сохраняет угол пресечения двух линий, меняя при этом его ориентацию.
2. Прямая, ортогональная базисной окружности, преобразуется в себя.
3. Базисная окружность преобразуется в себя.
4. Всякая окружность, ортогональная базисной, преобразуется в себя.
5. Всякая окружность или прямая преобразуется в окружность или прямую.
6. Две точки тогда и только тогда инверсны относительно некоторой базисной окружности, если они являются вершинами пучка окружностей, ортогональных к базисной.
Если в этих предложениях слово «инверсия» заменить словами «осевая симметрия», выражение «базисная окружность» - через «ось симметрии» и «инверсные точки» - через «симметричные точки», то получим свойства осевой симметрии.
Покажем, что в известном смысле осевую симметрию можно рассматривать как предельный случай инверсии. Пусть базисная окружность инверсии щ (О, r) проходит через точку А (рис. 28), так что ОА = r. Обозначим через а касательную к окружности щ в точке А.
Рис. 28
Пусть, деле, Р – некоторая данная точка, Рґ - инверсная ей точка относительно окружности щ. Представим себе, что центр инверсии неограниченно удаляется от точки А вдоль луча Ао, так что радиус инверсии ОА неограниченно возрастает.
В известном смысле можно говорить, что при этом окружность щ (О, r) неограниченно приближается к прямой а, «вырождается» в эту прямую. Оказывается, что при этом точка Рґ будет перемещаться по плоскости, неограниченно приближаясь к точке Р1, симметричной с точкой Р относительно прямой А. Докажем это.
Для определенности положим, что точка Р и точка О лежат по разные стороны от прямой а (рис. 28). Опустим из точки Р перпендикуляр РN на прямую а и перпендикуляр РL на прямую ОА. Пусть РN = р, РL = m. Из точки Рґ, инверсной точке Р относительно окружности щ (О, r), также опустим перпендикуляры РґF и РґК на прямые а и ОА. Нам нужно показать, что РґF→ р и РґК→ m, если r → ∞. Действительно,
РґF = КА = r - ОРґ Cosб = r – 
Cosб = r – 
=
= r - 
= 
. Но
tgб = 
, и поэтому
Sin2б = 
= 
= 
= 
.
Следовательно, PґF = 
= 
.
Отсюда видно, что РґF → р, когда r → ∞. С другой стороны, РґК = = ОРґ Sinб = 
= 
= 
.
Отсюда ясно, что РґК→ m, когда r→ ∞.
Изложенные здесь изображения показывают, что целесообразно расширить понятие об инверсии так, чтобы можно было рассматривать осевую симметрию как специальный случай инверсии. Для этого условимся называть «окружностью в широком смысле слова» любую окружность и любую прямую. Тогда можно оба преобразования – инверсию и симметрию относительно прямой – объединить в одно понятие с помощью следующего определения. Точка Рґ называется обратной точке Р (или сопряженной точке Р) относительно окружности (в широком смысле) щ, если точки Р и Рґ являются вершинами пучка окружностей ортогональных к щ. Такое преобразование, при котором каждой точке Р сопоставляется сопряженная ей точка Рґ относительно окружности (в широком смысле) щ, назовем отражением от окружности щ. В том случае, когда щ является окружностью в узком (обычном) смысле, наше преобразование представляет инверсию относительно щ. Если же щ – прямая, то рассматриваемое преобразование является симметрией относительно этой прямой.
Похожие работы
... , поскольку точки М и М’ входят в формулу равноправно, а для центра инверсии и бесконечно удаленной области все очевидно. 1.3. Формула инверсии в комплексно сопряженных координатах. Найдем формулу обобщенной инверсии при задании точек комплексными числами. Пусть точкам S, M и М’ соответствуют комплексные числа s, z и z’. По формуле скалярного произведения векторов . Коллинеарность точек S, M и ...
... сумму элементарных вертикальных стержней: и , (VI.15) магнитное поле которых в точке Р будет представлять алгебраическую сумму из составляющих Ii каждого элемента. Таким образом, любая шкала хронологии обращений геомагнитного поля, построенная по рисунку аномалий рифтовых хребтов по принципу Вайна и Мэтьюза, является лишь гипотезой и не может быть использована для палеомагнитной стратификации. ...
... PG) Нейронные алгоритмы Инверсия Log Prediction Neural Network Классификация сейсмофаций Stratimagic (патент TotalFinaElf) Волновое и геологическое представление геологического разреза Цель инверсии - перевести волновое представление сейсмических записей в пластовый вид, характерный для геологических разрезов. Если сравнить детальность по глубине кривых плотностного каротажа (слева - Den) ...
... сладости, чем сахар. Искусственные подсластители, как правило, низкокалорийны, что расширяет область их использования в пищевой промышленности. Кроме того, употребление таких заменителей сахара не вызывает кариеса, что обуславливает их широкое применение при производстве фармацевтических препаратов. Благодаря высокой сладости искусственные подсластители добавляются в продукцию в значительно ...
0 комментариев