Применение свойств функций при решении уравнений и неравенств

2.4.     Применение свойств функций при решении уравнений и неравенств

1.   Использование области определения функции. Если при рассмотрении уравнения (неравенства) выясняется, что обе его части определены на множестве M, состоящем из одного или нескольких чисел, то нет необходимости проводить какие-либо преобразования уравнения или неравенства. Достаточно проверить, является или нет каждое из этих чисел решением данного уравнения (неравенства).

Если множество M, на котором определены обе части уравнения (неравенства), окажется пустым множеством, то в этом случае уравнение (неравенство) решений не имеет [2], [31].

Пример 1. Решить уравнение

ОДЗ этого уравнения состоит из всех x, одновременно удовлетворяющих условиям . Это значит, что ОДЗ есть пустое множество. Этим решение уравнения и завершается, т. к. установлено, то ни одно число не может являться решением, т.е. уравнение не имеет корней.

Ответ: решений нет.

При решении неравенств иногда можно не находить ОДЗ, а решать неравенство переходом к равносильной ему системе неравенств, в которой либо одно из неравенств не имеет решений, либо знание его решения помогает решить систему неравенств.

Пример 2. Решить неравенство

Нахождение ОДЗ неравенства есть трудная задача, поэтому перейдем к равносильной ему системе неравенств.

Третье неравенство имеет решение . Первое и второе неравенство справедливо лишь для x из промежутка . Поэтому этот промежуток является множеством решений системы.

Ответ: .

2.  Использование монотонности функций при решении уравнений и неравенств. Это свойство при решении уравнений и неравенств используется чаще всего. Решение уравнений и неравенств с применением монотонности функций основывается на следующих утверждениях [21], [31]:

2.1Пусть f(x) – непрерывная и строго монотонная функция на некотором промежутке. Тогда уравнение вида f(x)=c, где с – данная константа, может иметь не более одного решения на этом промежутке.

2.2.Пусть f(x) и φ(x) непрерывные на некотором промежутке функции. Тогда если f(x) монотонно возрастает, а φ(x) убывает, то уравнение f(x)=φ(x) имеет не более одного решения на этом промежутке.

2.3.Пусть функция f(x) возрастает на своей области определения. Тогда для решения неравенства f(x)>c достаточно решить уравнение f(x)=c. Если x₀ – корень, то решениями неравенства будут значения , принадлежащие области определения f(x).

Рассмотрим на примерах, как используются эти утверждения.

Пример 3. Решить неравенство . Существует стандартный прием решения: возведение в квадрат (при условии 0). Мы рассмотрим решение данного неравенства с использованием свойства монотонности. Функция, расположенная в левой части неравенства, монотонно возрастает, в правой части - убывает. Из этого следует, что уравнение  имеет не более одного решения, причем если x₀ – решение этого уравнения, то при  будет , а решением данного неравенства будет . Значение  легко подбирается: .

Ответ: .

Пример 4. Решить уравнение

Данное уравнение имеет очевидное решение . Докажем, что других решений нет. Поделим обе части на , получим . Левая часть представляет собой монотонно убывающую функцию. Правая часть функция постоянная. Следовательно, каждое свое значение она принимает один раз, то есть данное уравнение имеет единственное решение.

Ответ: .

3.  Уравнения вида . При решении уравнений данного вида используются следующие утверждения [2], [5], [31]:

1)         пусть область существования функции  есть промежуток M и пусть эта функция непрерывна и строго монотонна на этом промежутке. Тогда уравнение  будет равносильно системе ;

2)         если множество M совпадает с R, то уравнения  и  равносильны;

В школе чаще пользуются не этой теоремой, а ее следствиями:

3)         уравнение  равносильно системе (При условии, что );

4)         для любого натурального числа 2m уравнение  равносильно системе .

Заметим, что в этих двух системах любое из неравенств можно опустить.

Пример 5. Решить уравнение

Данное уравнение равносильно системе . Уравнение имеет два корня . Неравенству удовлетворяет только первый корень. Следовательно система, а, значит, и равносильное ей уравнение имеют единственное решение.

Ответ: .

4.  Использование понятия области изменения функции. При изучении уравнений в школе обращается внимание учащихся на нахождении области допустимых значений неизвестного. Однако в стороне остаются такие вопросы: если область допустимых значений неизвестного непустое множество, то всегда ли существует решение, какие необходимые условия его существования? Если существует решение, то нельзя ли сузить границы корней?

Дать ответы на эти вопросы можно, если использовать понятие области изменения функции (или область значений).

Пусть дано уравнение f(x)=,где f(x) и  - элементарные функции, определенные на множествах X₁  и X₂. Тогда областью допустимых значений x для уравнения будет множество, состоящее из тех значений x, которые принадлежат обоим множествам, то есть A= X₁∩X₂. Если множество A пустое (A=), то уравнение решений не имеет. Поэтому рассмотрим случай, когда A≠.

Обозначим области изменения этих функций соответственно через Y₁ и Y₂. Если x₁ является решением уравнения, то будет выполняться числовое равенство f(x₁)=, где f(x₁) – значение функции f(x) при x=x₁, а  значение функции при x=x_1.

Значит, если уравнение имеет решение, то области значений функции f(x) и  имеют общие элементы (Y₁∩Y₂≠). Если же таких общих элементов множества Y₁ и Y₂ не содержат, то уравнение решений не имеет. Из того, что Y₁∩Y₂≠, еще не следует существование решения, ибо это есть только необходимое, а не достаточное условие. Эти рассуждения полезно подкрепить графиками [41].

Пусть дано неравенство f(x)≤,где f(x) и  - элементарные функции, определенные на множествах X₁  и X₂, причем X₁∩X₂≠. Обозначим области изменения этих функций соответственно через Y₁ и Y₂. Если промежуток  является решением неравенства, то для любого x из этого промежутка будет выполняться числовое неравенство f(a)≤, где f(a) – значение функции f(x) при x=a, а  значение функции при x=a_. Значит, если неравенство имеет решение, то области значений функции f(x) и  имеют общие элементы (Y₁∩Y₂≠). Если же таких общих элементов множества Y₁ и Y₂ не содержат, то уравнение решений не имеет.

Пример 7. Решить уравнение .

ОДЗ – множество действительных чисел. Область изменения функции f(x)= ‑ множество Y₁=, область изменения функции = ‑ множество Y₂=. Тогда Y₁∩Y₂=∩={2}. Следовательно, если уравнение имеет решения, то ими могут быть только те значения x, при которых обе функции одновременно принимают значение, равное 2. Функция  принимает это значение только один раз, при x=0. Нетрудно убедиться, что f(0)=2.

Ответ: x=0.

5.  Использование свойств четности или нечетности и периодичности функций. Знания учащихся о свойствах четных и нечетных функций, о периодических функциях становятся более глубокими и осознанными, если систематически использовать эти свойства при решении уравнений и неравенств. Кроме того, применение свойств четности или нечетности, периодичности функций способствует рационализации самих решений.

Пусть имеем уравнение или неравенство F(x)=0, F(x)>0 (F(x)<0), где F(x) – четная или нечетная функция. Область определения такой функции симметрична относительно нуля (необходимое условие).

Для любых двух симметричных значений аргумента из области определения четная функция принимает равные числовые значения, а нечетная – равные по абсолютной величине, но противоположного знака значения.

Выводы:

1.  Чтобы решить уравнение F(x)=0, где F(x) – четная или нечетная функция, достаточно найти положительные (или отрицательные) корни, после чего записать отрицательные (или положительные) корни, симметричные полученным. Для нечетной функции корнем будет x=0, если это значение входит в область определения F(x). Для четной функции значение x=0 проверяется непосредственной подстановкой в уравнение.

2.  Чтобы решить неравенство F(x)>0 (F(x)<0), где F(x) – четная функция, достаточно найти решения для x≥0 (или x≤0). Действительно, если решением данного неравенства является промежуток (x₁, x₂), где x₁, x₂ – числа одного знака или одно из них равно нулю, то его решением будет и промежуток ( ‑ x₂, ‑ x₁).

3.  Чтобы решить неравенство F(x)>0 (F(x)<0), F(x) – нечетная функция, достаточно найти его решения для x>0 (или x<0). Действительно, функция F(x) для любого x≥0 (x≤0) из области ее определения может находиться с нулем в одном из трех отношений: «равно», «больше», «меньше». Следовательно, если нам известно, при каких значениях x F(x)≥0 (F(x)≤0), то нам будет известно, при каких значениях x F(x)>0 (F(x)<0) (оставшиеся значения x из области определения). Но если нам известны промежутки знакопостоянства функции F(x) для x>0 (или x<0), то легко записать промежутки знакопостоянства и для x<0 (x>0).

Если функция F(x) – периодическая, то решение уравнения F(x)=0 или неравенства F(x)>0 (F(x)<0) достаточно найти на промежутке, равном по длине периоду функции, после чего записать общее решение. Если периодическая функция еще и четная или нечетная, то решение достаточно найти на промежутке, равном по длине половине периода [41].

Выводы по параграфу: анализ методической и математической литературы показал, что метод решения уравнений и неравенств с использованием свойств функций используется в школьном курсе математики редко, а в заданиях ЕГЭ и на вступительных экзаменах почти каждый год предлагаются уравнения и неравенства, решение которых упрощается, если применить свойства функций.

Выводы по главе: введение элективных курсов предоставит учащимся возможность, комбинируя их с базовыми и профильными предметами, выстроить индивидуальный маршрут получения полного среднего образования. Это позволит школьникам к окончанию учебного заведения выйти с разным уровнем подготовки как минимальным, так и максимально возможным.

В соответствии с изложенными целями, задачами, типами и требованиями к элективным курсам будет разработан элективный курс «Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций»

Глава II. Разработка элективного курса

«Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций»

§1. Методические основы разработки элективного курса

Пояснительная записка. Основная задача обучения математике в школе – обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования. Данный элективный курс связан с основным курсом математики. Развивает систему ранее приобретенных программных знаний, углубляет и расширяет курс математики основной школы. Материал, связанный с уравнениями и неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики. Это объясняется тем, что уравнения и неравенства широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач. Есть много уравнений и неравенств, которые считаются для школьников задачами повышенной трудности. Для решения таких задач лучше применять не традиционные методы, а приёмы, которые не совсем привычны для учащихся. В данном элективном курсе рассматривается метод решения уравнений и неравенств, основанный на применении свойств функций (монотонность, ограниченность, четность и др.). Целесообразность этого метода состоит в том, что он дает более рациональное решение уравнений или неравенств. Учебный материал, касающийся нестандартных методов решения уравнений и неравенств, содержится в учебных пособиях для подготовки к ЕГЭ по математике, к конкурсным экзаменам в вузы. Во временных рамках уроков полностью этот материал рассмотреть невозможно, поэтому есть смысл вынести его на курсы по выбору.

Цели курса:

·  познакомить учащихся с некоторыми приёмами решения уравнений и неравенств с использованием свойств входящих в них функций, показать применение производной при решении уравнений или неравенств;

·  обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений;

·  углубление и расширение знаний учащихся;

·  привить ученику навыки употребления нестандартных методов рассуждения при решении задач;

·  формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету;

·  выявление и развитие их математических способностей, ориентация на профессии, существенным образом связанных с математикой;

·  подготовка учащихся к итоговой аттестации и к обучению в вузе.

Требования к подготовке учащихся. В результате изучения данного элективного курса ученик должен

знать:

·  основные свойства функций, которые применяются при решении уравнений и неравенств;

·  о применении производной при решении уравнений и неравенств;

·  уметь:

·  объяснять, на основе какого свойства функции решаются уравнение или неравенство;

·  применять производную для доказательства свойства функции, входящей в уравнение или неравенство;

·  использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности при подготовке к ЕГЭ.

Тематика и содержание данного элективного курса отвечает следующим требованиям:

·     поддержание изучения базового курса алгебры;

·     социальная и личностная значимость: повышается уровень образованности учащихся, расширяется их кругозор, удовлетворяются познавательные интересы в области математики;

·     обладание значительным развивающим потенциалом (развитие математического мышления, умения систематизировать, обобщать, делать выводы).

Основная форма изложения теоретического материала – лекция. На всех практических занятиях должна присутствовать самостоятельная работа учащихся: как индивидуально, так и в группах. Такая организация учебной деятельности способствует реализации поставленных целей курса, так как развитие способностей учащихся возможно лишь при сознательном, активном участии в работе самих школьников.

Содержание курса может быть освоено как в коллективных, так и в индивидуально-групповых формах. Численность учебной группы может быть любой.

Ожидаемый результат изучения курса:

·     знание учащимися методов решения уравнений и неравенств с использованием свойств, входящих в них функций;

·     умение самостоятельно добывать информацию и осознанно ее использовать при выполнении заданий;

·     приобретение опыта в нахождении правильного и рационального пути решения уравнений и неравенств;

·     практика работы в группе: умение распределять обязанности, учитывать мнение каждого члена группы, адекватно оценивать работу товарищей (при условии коллективной формы организации обучения).

Система форм контроля уровня достижений учащихся и критерии оценки. Уровень достижений учащихся определяется в результате:

·     наблюдения активности на практикумах;

·     беседы с учащимися;

·     анализа творческих, исследовательских работ;

·     проверки домашнего задания;

·     выполнения письменных работ;

·     самостоятельно созданных слайдов, мини-задачников, выполненных проектов, которые могут быть индивидуальными и коллективными.

Итоговая аттестация проводится в виде зачетной работы в форме теста, состоящего из трех блоков: А - задания с выбором вариантов ответа; В - задания с краткой записью ответа; С - задания, предполагающие развернутый ответ.

Итоговая оценка является накопительной, т.е. результаты выполнения предложенных заданий оцениваются в баллах, которые суммируются по окончании курса.

Предлагаемый курс, как и любой другой, улучшает имидж и повышает конкурентоспособность школы, так как реализация элективного курса дает более глубокие знания по математике, увеличивает уровень интеллектуального развития.

Содержание программы. Программа рассчитана на второе полугодие 11 класса (2 часа в неделю, всего 11 часов). Это обусловлено тем, что во втором полугодии уже изучены основные функции и их свойства.

1.  Функции и их основные свойства.(1час)

Понятие функции. Область определения и область значения функции. Монотонность функции. Ограниченность функции. Четность, нечетность, периодичность функций.

2.      Использование области определения функций.(1час)

Решение уравнений и неравенств с использованием области определения входящих в них функций

3.      Использование монотонности функций.(2 часа)

Теоремы о корне. Нахождение промежутков монотонности с помощью производной. Решение уравнений и неравенств. Уравнения вида .

Похожие работы

Элективные курсы по математике в профильной школе

Скачать

89678

5

2

... -иллюстративного и репродуктивного метолов, а экономический профиль ориентирован на формирование прикладного стиля мышления. 2. Методика проведения элективных курсов по математике в профильной школе   2.1 Цели организации элективных курсов по математике   Принципиальным положением организации школьного математического образования в настоящее время является дифференциация обучения ...

Элективный курс по алгебре для 9-го класса на тему "Квадратные уравнения и неравенства с параметром"

Скачать

87023

7

1

... список или выбрать из 2-3 текстов наиболее интересные места. Таким образом, мы рассмотрели общие положения по созданию и проведению элективных курсов, которые будут учтены при разработке элективного курса по алгебре для 9 класса «Квадратные уравнения и неравенства с параметром». Глава II. Методика проведения элективного курса «Квадратные уравнения и неравенства с параметром»   1.1. Общие ...

Подготовка к Единому государственному экзамену по математике через элективные курсы

Скачать

45824

3

0

... учащихся к ЕГЭ, учителя математики СОШ №26 г.Якутска используют перечень вопросов содержания (кодификатор) школьного курса математики, усвоение которых проверяется при сдачи единого государственного экзамена 2007г. Элективный курс по подготовке к Единому Государственному Экзамену основан на повторении, систематизации и углублении знаний полученных ранее. Занятия проходят в форме свободного ...

Показательно-степенные уравнения и неравенства

Скачать

33147

1

12

... образом: «Показательно-степенные уравнения и неравенства». Целями настоящей работы являются: 1.           Проанализировать литературу по данной теме. 2.           Дать полный анализ решения показательно-степенных уравнений и неравенств. 3.           Привести достаточное число примеров по данной теме разнообразных типов. 4.           Проверить на урочных, факультативных и кружковых занятиях ...