Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Курсовая работа по информатике

Исполнитель: Солнцев П.В.

Санкт-Петербургский Государственный Технологический Институт (Технический Университет)

Санкт-Петербург 2001

Введение

В решении любой прикладной задачи можно выделить три основных этапа: построение математической модели исследуемого объекта, выбор способа и алгоритма решения полученной модели, численная реализация алгоритма.

Цель данной работы – на примере исследования распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне освоить основные методы приближённых вычислений, приобрести практические навыки самостоятельных исследований, существенно опирающихся на использование методов прикладной математики.

Постановка задачи

Физическая модель

В ряде практических задач возникает необходимость исследования распределения температуры вдоль тонкого цилиндрического стержня, помещённого в высокотемпературный поток жидкости или газа. Это исследование может проводиться либо на основе обработки эксперимента (измерение температуры в различных точках стержня), либо путём анализа соответствующей математической модели.

В настоящей работе используются оба подхода.

Тонкий цилиндрический стержень помещён в тепловой поток с постоянной температурой , на концах стержня поддерживается постоянная температура ₀.

1.2 Математическая модель

Совместим координатную ось абсцисс с продольной осью стержня с началом в середине стержня. Будем рассматривать задачу (распределения температуры по стержню) мосле момента установления режима Т₀.

Первая математическая модель использует экспериментальные данные, при этом измеряют температуру U_i стержня в нескольких точках стержня с координатами x_i. Результаты измерения U_i рассматривают как функцию регрессии и получают статистики. Учитывая чётность U(x) можно искать её в виде многочлена по чётным степеням x (ограничимся 4-ой степенью этого многочлена).
 (1.1)

Задача сводится к отысканию оценок неизвестных параметров, т.е. коэффициентов a₀ , a₁ и a₂ , например, методом наименьших квадратов.

Вторая математическая модель, также использующая экспериментальные данные, состоит в применении интерполяционных формул и может употребляться, если погрешность измерений температуры Ui пренебрежимо мала, т.е. можно считать, что U(x_i)=U_i

Третья математическая модель основана на использовании закона теплофизики. Можно доказать, что искомая функция U(x) имеет вид:

 (1.2)

где коэффициент теплопроводности, коэффициент теплоотдачи, D – диаметр стержня, температура потока, в который помещён стержень.

Ищем U(x) как решение краевой задачи для уравнения (1.2) с граничными условиями:

 (1.3)

на отрезке [-L|/2;L/2], где L – длина стержня, _постоянная температура, поддерживаемая на концах стержня.

Коэффициент теплопроводности  зависит от температуры:

 (1.4)

где _начальное значение коэффициента теплопроводности, _вспомогательный коэффициент.

Коэффициент теплоотдачи вычисляют по формуле:

 (1.5)

т.е. как среднее значение функции

за некоторый отрезок времени от 0 до Т, здесь _значение при t стремящемся к бесконечности, b – известный коэффициент.

Время Т₀, по истечении которого распределение температуры в стержне можно считать установившимся определяется по формуле:

 (1.6)

где а – коэффициент температуропроводности, наименьший положительный корень уравнения:

 (1.7)

Задание курсовой работы

Вариант № 136

Исходные данные:

L = 0.0386 м

D = 0,00386 м

^оС

_^оС

_141,85 (Вт/м*К)

_2,703*10^-4

6,789*10^-7

_3,383*102 (Вт/м²*К)

218 ^оС

 А = 3,043*10-5 (м²/с)

11

X, м	U, oC
0	353
0,00386	343
0,00772	313
0,01158	261
0,01544	184
0,01930	74