О трактовке понятия уравнения

1.   О трактовке понятия уравнения.

Понятие уравнения относится к важнейшим общематематическим понятиям. Именно поэтому затруднительно предложить его определение, одновременно и строгое с формальной точки зрения, и доступное для учащихся, приступающих к овладению школьным курсом алгебры.

Логико-математическое определение уравнения можно привести в такой форме: пусть на множестве М зафиксирован набор алгебраических операций, х — переменная на М; тогда уравнением на множестве М относительно х называется предикат вида а(х)=b (х), где а(х) и b(х)—термы относительно заданных операций, в запись которых входит символ х. Аналогично определяется уравнение от двух переменных и т. д.

Принятым в логике терминам «терм» и «предикат» соответствуют термины школьной математики «выражение» и «предложение с переменной». Поэтому наиболее близко к приведенному формальному определению следующее определение: «Предложение с переменной, имеющее вид равенства между двумя выражениями с этой переменной, называется уравнением»

Анализируя приведенное математическое определение уравнения, можно выделить в нем два компонента. Первый состоит в том, что уравнение — это особого рода предикат. Второй уточняет, какого именно рода: это равенство, соединяющее два терма, причем термы также имеют определенный специальный вид. При изучении материала, относящегося к линии уравнений и неравенств, оба компонента играют значительную роль.

Первый — смысловой компонент, важен прежде всего для уяснения понятия корня уравнения. Кроме того, смысловой компонент почти всегда используется при обоснованbи корректности того или иного преобразования уравнения.

Второй компонент относится к формальным особенностям записи, изображающей уравнение. Назовем этот компонент знаковым. Он важен в случаях, когда запись уравнения подвергается различным преобразованиям: зачастую такие преобразования производятся чисто механически, без обращения к их смыслу.

Возможность использования в школьном обучении подхода к понятию уравнения, включающего явно упоминание о предложении с переменной, зависит от присутствия этого термина и терминов «истина», «ложь» в обязательном материале курса математики. Если их нет, то привести подобное определение невозможно. В этом случае смысловой компонент понятия уравнения переходит в определение другого понятия, тесно связанного с понятием уравнения,— корня уравнения. Получается система из двух терминов: термин «уравнение» несет в себе признаки знакового компонента, а термин «корень уравнения» учитывает смысловой компонент. Такое определение приведено, например, в учебнике Колмогорова А. Н. "Алгебра и начала анализа"[с. 330]: «Равенство с переменной называется уравнением. Значение переменной, при котором равенство с переменной обращается в верное числовое равенство, называется корнем уравнения»..

Часто, особенно в начале систематического курса алгебры, понятие уравнения вводится посредством выделения его из алгебраического метода решения задач. В этом случае независимо от того, каков текст определения, существенным оказывается подход к понятию уравнения, при котором оно представляет косвенную форму задания некоторого неизвестного числа, имеющего в соответствии с сюжетом задачи конкретную интерпретацию. Например, понятие уравнения вводится на материале текстовой задачи: «Конверт с новогодней открыткой стоит 17 к. Конверт дешевле открытки на 5 к. Найти стоимость открытки». Переход к определению уравнения осуществляется на основе анализа некоторых формальных особенностей записи .х+(х-—5)= 17, выражающей содержание данной задачи в алгебраической форме. С помощью этого же сюжета вводится и понятие корня уравнения. Вот эти определения: «Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство». Указанный способ введения понятия уравнения соответствует еще одному компоненту понятия уравнения — прикладному.

Помимо выделенных компонентов понятия уравнения (смыслового, знакового, прикладного), в школьной математике большую роль играет компонент, при котором уравнение трактуется как равенство двух функций. Его роль проявляется в изучении графического метода решения уравнений. Однако в известных нам учебниках алгебры этот компонент не кладется в основу определения уравнения.

Еще один подход к определению понятия уравнения получается при сопоставлении области определения уравнения и множества его корней. Обычно множество корней уравнения — собственное подмножество его области определения. С другой стороны, при решении уравнений приходится использовать преобразования, которые опираются на тождества, т. е. на равенства, истинные на всей области определения. Выделенное здесь противопоставление тождества и уравнения может быть положено в основу определения уравнения: «Буквенное равенство, которое не обязательно превращается в верное численное равенство при допустимых наборах букв, называется уравнением»

Формирование понятия уравнения требует использования еще одного термина: «решить уравнение». Различные варианты его определения отличаются друг от друга, по существу, только наличием или отсутствием в них термина «множество».

Таким образом, при освоении понятия уравнения необходимо использовать термины «уравнение», «корень уравнения», «что значит решить уравнение». При этом наряду с компонентами понятия уравнения, входящими в текст определения, надо включать и все другие его компоненты по мере развертывания материала данной линии.

В определении понятия уравнения используется один из двух терминов: «переменная» или «неизвестное». Различие между ними состоит в том, что переменная пробегает ряд значений, не выделяя ни одного из них специально, а неизвестное представляет собой буквенное обозначение конкретного числа (поэтому этим термином удобно пользоваться при составлении уравнений по текстовым задачам). Вопросы, связанные с выбором одного их этих терминов для использования в школьной практике, в настоящее время еще нельзя считать окончательно решенными. Выбор того или иного из них влечет определенные различия в развертывании содержания линии уравнений и неравенств. Так, с термином «переменная» связана операция подстановки числа вместо буквы, поэтому в уравнение а(х)=b[х) можно подставлять вместо х конкретные числа и находить среди них корни. Термин же «неизвестное» обозначает фиксированное число; подставлять число на место буквы, обозначающей неизвестное, поэтому нелогично. Нахождение корней уравнения а{х)=b{х) с этой точки зрения должно осуществляться с помощью действий, при которых это равенство рассматривают как верное и пытаются привести его к виду х=х₀, где х₀ — числовое выражение.

При описании методики мы будем пользоваться термином «неизвестное», который ближе, чем «переменная», связан с алгебраическим методом решения текстовых задач и тем самым с прикладной направленностью линии уравнений и неравенств.

Похожие работы

Использование разнообразных форм уроков при изучении темы "Квадратные уравнения" в 8 классе

Скачать

71353

14

13

... и практическое использование различных форм уроков математики Для того чтобы доказать или опровергнуть, что использование различных форм уроков способствует улучшению качества знаний школьников по теме "Квадратные уравнения", были разработаны и проведены разнообразные формы уроков в 8 классе МОУ “Иштеряковская средняя общеобразовательная школа". При изучении темы были выбраны такие формы ...

Формирование умения решения квадратных уравнений в 8 классе

Скачать

46858

6

0

... , можно сделать вывод о недостаточном освещении изучаемого вопроса в современной методической литературе. Объект исследования работы: процесс обучения математике. Предмет: формирование умения решения квадратных уравнений у учащихся 8-го класса. Контингент: учащиеся 8-го класса. Глава 1. Теоретические аспекты обучению решения уравнений в 8 классе   1.1.  Из истории возникновения квадратных ...

Построение графика функции различными методами (самостоятельная работа учащихся)

Скачать

64790

20

18

... работа как прием обучения может входить почти во все методы обучения, воспитывать в учениках потребность самостоятельно добывать знания, умение творчески пользоваться объяснениями учителя, помощью товарищей, книгами, конспектами одна из важнейших целей нашей работы.ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИЙ ПРИЁМЫ И МЕТОДЫ   §1. Анализ программ и учебников   «Алгебра, 7», «Алгебра, ...

Самостоятельная работа как условие эффективного усвоения нового материала

Скачать

87792

14

0

... работа оказывает значительное влияние на глубину и прочность знаний учащихся по предмету, на развитие их познавательных способностей, на темп усвоения нового материала. Практический опыт учителей многих школ показал, что: 1.   Систематически проводимая самостоятельная работа (с учебником по решению задач, выполнению наблюдений и опытов) при правильной ее организации способствует получению ...