Группы геометрических преобразований. Группы вращений, подобий, гомотетий с заданным общим центром, параллельных переносов
Арифметические функции: t(n), s(n), j(n)
Алгоритм Евклида и его применения
Линейное представление наибольшего общего делителя
Базис пространства решений однородной системы линейных уравнений - это фундаментальная система решений
Корни многочлена; схема Горнера; теорема Безу
Разложение многочлена в произведение неприводимых
Теорема о строении простого алгебраического расширения
Навигация
Корни многочлена; схема Горнера; теорема Безу
Программа государственного экзамена по математике для студентов математического факультета Московского городского педагогического университета
38950
знаков
13
таблиц
4
изображения
8. Корни многочлена; схема Горнера; теорема Безу
10. Корни многочлена.
Определение. Число c называется корнем многочлена f, если f(c)=0.
Другими словами, число c является корнем многочлена f, если
a0cn + a1cn-1 + ... + an- 1c + an = 0.
Это равенство означает, что число c является корнем уравнения
a0 xn+ a1xn-1 + ... + an- 1 x + an = 0,
при подстановке вместо x числа c получается верное равенство. Поэтому корень многочлена f и корень соответствующего уравнения f(x) = 0 - это одно и то же.
Схема Горнера позволяет проверять, является ли данное число c корнем данного многочлена или нет: с ее помощью мы как раз и вычисляем значение f(c).
Если требуется проверить несколько значений c, то для экономии выкладок строят не три отдельные схемы, а одну - объединенную. Например, для многочлена
f = 3x5 - 5x4 - 7x2 + 12
и чисел c = 1,-1,2 составляется таблица
| 3 | -5 | 0 | -7 | 0 | 12 | |
| 1 | 3 | -2 | -2 | -9 | -9 | 3 |
| -1 | 3 | -8 | 8 | -15 | 15 | -3 |
| 2 | 3 | 1 | 2 | -3 | -6 | 0 |
Конечно, при заполнении третьей и четвертой строки таблицы работает" только первая строка - строка коэффициентов многочлена f.
Мы видим, в частности, что из трех рассмотренных чисел только c = 2 является корнем данного многочлена.
20. Теорема Безу.
Теорема Безу. Пусть f - многочлен, c - некоторое число.
1. f делится на двучлен x - c тогда и только тогда, когда число c является его корнем.
2. Остаток от деления f на x - c равен f(c).
Доказательство. Сначала мы докажем второе утверждение. Для этого разделим f c остатком на x - c:
f = (x - c)q + r;
по определению остатка, многочлен r либо равен 0, либо имеет степень, меньшую степени x - c, т.е. меньшую 1.
Но степень многочлена меньше 1 только в случае, когда она равна 0, и поэтому в обоих случаях r на самом деле является числом - нулем или отличным от нуля.
Подставив теперь в равенство f = (x - c)q + r значение x = c, мы получим
f(с) = (с - c)q(с) + r = 0,
так что действительно r = f(c), и первое утверждение доказано.
Теперь первое утверждение почти очевидно. В самом деле, утверждение "f делится на x - c" означает, что остаток от деления равен 0. Но остаток, по доказанному, равен f(c), так что "f делится на x - c" означает то же самое, что и f(c) = 0. ÿ
Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого на 1 меньше: если f(c) = 0, то f = (x - c)q, и остается решить уравнение q(x) = 0. Иногда этим приемом - он называется понижением степени - можно найти все корни многочлена. В частности, подобрав один корень кубического уравнения, можно его полностью решить - после понижения степени достаточно решить полученное квадратное уравнение.
Решим в качестве примера уравнение
x4 - x3 - 6x2 - x + 3 = 0.
Целые корни многочлена f = x4 - x3 - 6x2 - x + 3 должны быть делителями свободного члена, так что это могут быть только числа ±1 и ±3. При этом 1 не является корнем многочлена f, поскольку сумма его коэффициентов, очевидно, не равна 0.
При x = -1: имеем схему
| 1 | -1 | -6 | -1 | 3 | |
| -1 | 1 | -2 | -4 | 3 | 0 |
Мы видим, что -1 - корень f , и в частном получается многочлен
g = x3 - 2x2 - 4x +3.
Значение x = 1 второй раз проверять незачем: если бы число 1 было корнем g, то оно было бы и корнем f, что неверно. А -1 проверить обязательно - ничто не мешает ей быть также и корнем частного g:
| 1 | -2 | -4 | 3 | |
| -1 | 1 | -3 | -1 | 4 |
Следовательно, g(-1) ¹ 0.
Составим схему Горнера для x = 3:
| 1 | -2 | -4 | 3 | |
| 3 | 1 | 1 | -1 | 0 |
Следовательно, g(3) = 0, и при делении g на x - 3 получается многочлен x2- x - 1, корни которого (1±
)/2.
Таким образом, многочлен f, а значит, и исходное уравнение имеет 4 корня: -1, 3 и (1±)/2.
30. Следствия из теоремы Безу. Теорема Безу позволяет частично ответить и на важный теоретический вопрос - Сколько корней может иметь многочлен?
Теорема. Многочлен степени n имеет в любом поле не более n корней.
Доказательство. Пусть многочлен f степени n имеет k корней, и c -один из его корней. Предположим противное - пусть k>n.
По теореме Безу, f = (x - c)g, и частное g имеет степень n - 1. Всякий корень f, отличный от c, является одновременно и корнем g: если f(a) = 0, то (a - c)g(a) = 0, откуда g(a) = 0, так как a¹ c. Другими словами, многочлен g имеет, по меньшей мере k - 1>n - 1 корень, т.е. число его корней также больше его степени.
Но с многочленом g можно провести те же рассуждения, и на втором шагу получить новый многочлен h, число корней которого также больше его степени. Продолжая таким же образом, мы придем к многочлену степени 2, имеющему больше 2 корней, чего не может быть.
Полученное противоречие показывает, что предположение k>n неверно, и следовательно, k не больше n, что и требовалось доказать.
Из теоремы о числе корней вытекают два исключительно важных и для теории, и для практики утверждения.
Следствие 1. Два многочлена степени, не большей n, принимают одинаковые значения при n + 1 значении x тогда и только тогда, когда при каждой степени x они имеют одинаковые коэффициенты.
Следствие 2. Два многочлена принимают одинаковые значения при всех значениях x тогда и только тогда, когда при каждой степени x они имеют одинаковые коэффициенты.
Похожие работы
... учебного процесса методической подготовки будущего учителя. Основное содержание исследования отражено в следующих публикациях автора: I. Монографии: 1. Абдуразаков М.М. Совершенствования содержания подготовки будущего учителя информатики в условиях информатизации образования. –Махачкала: ДГПУ, 2006. –190 с. 12 п.л. 2. Гаджиев Г.М., Абдуразаков М.М. Технология преподавания информатики. – ...
... профиля и специализации. На факультетах общественных наук предметы, входившие в минимум, изучались в расширенном объеме[4]. 2. Положение русского студенчества в конце XIX начале XX века 2.1 Образ русского студента в конце XIX начале XX века В отличие от закрытых учебных заведений, в которых учились в основном дворяне, значительное число учащихся в университетах были людьми незнатными ...
... и устойчивых требований, которые определяют характер и особенности организации коррекционно-образовательного процесса и управления познавательной деятельностью лиц с особыми образовательными потребностями. Специальная педагогика опирается на соответствующие обще- педагогические принципы организации образования и управления познавательной деятельностью, однако их реализация в системе специального ...
... покровителей, сделавших особый вклад в развитие культуры, в Европе называют медичи. Конец девятнадцатого века в России был ознаменован необычайным подъёмом культуры. В связи с этим появились в стране и те, кто этот подъём всячески поддерживал, в том числе и материально. Эти люди были в основном богатыми купцами и промышленниками, которые чувствовали необычайный прогресс в развитии культуры ...
0 комментариев