Группы геометрических преобразований. Группы вращений, подобий, гомотетий с заданным общим центром, параллельных переносов
Арифметические функции: t(n), s(n), j(n)
Алгоритм Евклида и его применения
Линейное представление наибольшего общего делителя
Базис пространства решений однородной системы линейных уравнений - это фундаментальная система решений
Корни многочлена; схема Горнера; теорема Безу
Разложение многочлена в произведение неприводимых
Теорема о строении простого алгебраического расширения
Навигация
Линейное представление наибольшего общего делителя
Программа государственного экзамена по математике для студентов математического факультета Московского городского педагогического университета
38950
знаков
13
таблиц
4
изображения
1. Линейное представление наибольшего общего делителя
Пример 1. Найти линейное представление наибольшего общего делителя чисел (59, 163).
Решение. Разложим в непрерывную дробь число
:
= [2; 1, 3, 4, 1, 2].
Cледовательно, можно теперь заполнить таблицу:
| qs | 2 | 1 | 3 | 4 | 1 | 2 | |
| Ps | 1 | 2 | 3 | 11 | 47 | 58 | 163 |
| Qs | 0 | 1 | 1 | 4 | 17 | 21 | 59 |
| es | +1 | -1 | +1 | -1 | +1 | -1 |
Отсюда получаем 59 × 58 - 163 × 21 = -1 или 59 × (-58) + 163 × 21 = 1.
2. Решение линейных диофантовых уравнений
Как практически находить какое-нибудь решение линейного неопределенного уравнения
ax + by = c при (a, b)=1, c=1 ?
Можно воспользоваться алгоритмом Евклида, из которого легко получить линейное представление НОД чисел a, b, или представить дробь 
в виде последней подходящей 
, откуда aQn - bPn = (-1)n .
Пример. Решить диофантово уравнение 163x + 59y = 1.
Решение. Мы проверили раньше, что 163 × 21 + 59 × (-58) = 1, следовательно, общее решение имеет вид:
6. Базис и размерность векторного пространства
10. Линейные комбинации и линейные оболочки векторов. Выражение вида 
= a1e1 + . . . + anen, где ai - числа, ei - векторы из пространства V, называется линейной комбинацией векторов ei; числа ai называются коэффициентами линейной комбинации.
Определение. Линейной оболочкой системы векторов E = (e1, . . . , en) называется множество всевозможных линейных комбинаций векторов данной системы; обозначение L(E). Таким образом,
L(E) = 
.
Заметим, что линейная оболочка системы векторов является линейным подпространством.
Говорят, что вектор v линейно выражается через систему E, если v Î L(E).
Отметим простейшие свойства линейных оболочек:
(а) Если W - подпространство в V, E Í W, то L(E) Í W;
(б) Линейная оболочка L(E) совпадает с пересечением всех линейных подпространств, содержащих систему E;
(в) L(E È G) = L(E) + L(G), где сумма подпространств U и W определяется равенством U + W := { u + w½ u Î U, w Î W }.
20. Линейно независимые системы.
Линейная комбинация векторов называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны 0. Значение тривиальной линейной комбинации равно 0.
Определение. Система векторов называется линейно независимой, если всякая ее нетривиальная линейная комбинация отлична от нуля.
Заметим, что для доказательства линейной независимости системы достаточно приравнять к нулю произвольную ее линейную комбинацию и вывести из этого равенство нулю всех ее коэффициентов.
Кроме того, система векторов является линейно зависимой, если некоторая ее нетривиальная линейная комбинация равна 0.
Нам потребуются в дальнейшем следующие две леммы, которые мы приведем без доказательства.
Лемма 1. Если система E линейно независима, а система EÈs (полученная присоединением вектора s к системе E) линейно зависима, то s линейно выражается через E.
Лемма 2 (основная лемма о линейной зависимости).
“Большая“ система линейно зависима, если она линейно выражается через “маленькую“.
30. Базис линейного пространства.
Определение 1. Система E называется базисом линейного пространства V (обозначение B(V)), если выполнены условия:
(а) E линейно независима;
(б) V = L(E), т.е. всякий вектор пространства V линейно выражается через E.
Наряду с данным определением можно привести и другие эквивалентные определения.
Определение 2. Максимальная линейно независимая система E называется базисом линейного пространства V.
Определение 3. Система E называется базисом линейного пространства V, если всякий вектор пространства V однозначно записывается в виде линейной комбинации векторов системы E.
Заметим, что указанные определения равносильны.
40. Размерность линейного пространства.
Определение. Линейное пространство называется конечномерным, если оно обладает конечным базисом.
Определение. Число элементов в каком-нибудь базисе линейного пространства V называется его размерностью; обозначение dimV. Нулевое пространство имеет по определению пустой базис и нулевую размерность.
Отметим прежде всего теорему о корректности определения размерности.
Теорема. Всякие два базиса одного конечномерного пространства содержат одинаковое число векторов.
Доказательство. Пусть E и G - два базиса пространства V. Эти системы векторов линейно эквивалентны, т.е. они линейно выражаются друг через друга. Если бы одна система была “большой”, а другая “маленькой”, то “большая” система оказалась бы линейно зависимой в силу основной леммы о линейной зависимости, значит, обе они содержат одинаковое число векторов. ÿ
Следствие.
(а) Размерность линейной оболочки L(E) равна рангу системы E (ранг системы - максимальное число ее линейно независимых векторов): dim L(E) = r(E).
(б) Всякая система векторов n-мерного линейного пространства, содержащая более n элементов линейно зависима.
50. Примеры.
1. Координатное пространство kn имеет стандартный базис из единичных векторов ei := (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) ( единица находится на месте с номером i), следовательно, dim kn = n. Можно доказать, что система из n векторов-строк образует базис пространства kn Û определитель этой системы отличен от нуля.
Похожие работы
... учебного процесса методической подготовки будущего учителя. Основное содержание исследования отражено в следующих публикациях автора: I. Монографии: 1. Абдуразаков М.М. Совершенствования содержания подготовки будущего учителя информатики в условиях информатизации образования. –Махачкала: ДГПУ, 2006. –190 с. 12 п.л. 2. Гаджиев Г.М., Абдуразаков М.М. Технология преподавания информатики. – ...
... профиля и специализации. На факультетах общественных наук предметы, входившие в минимум, изучались в расширенном объеме[4]. 2. Положение русского студенчества в конце XIX начале XX века 2.1 Образ русского студента в конце XIX начале XX века В отличие от закрытых учебных заведений, в которых учились в основном дворяне, значительное число учащихся в университетах были людьми незнатными ...
... и устойчивых требований, которые определяют характер и особенности организации коррекционно-образовательного процесса и управления познавательной деятельностью лиц с особыми образовательными потребностями. Специальная педагогика опирается на соответствующие обще- педагогические принципы организации образования и управления познавательной деятельностью, однако их реализация в системе специального ...
... покровителей, сделавших особый вклад в развитие культуры, в Европе называют медичи. Конец девятнадцатого века в России был ознаменован необычайным подъёмом культуры. В связи с этим появились в стране и те, кто этот подъём всячески поддерживал, в том числе и материально. Эти люди были в основном богатыми купцами и промышленниками, которые чувствовали необычайный прогресс в развитии культуры ...
0 комментариев