Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


Министерство образования Российской Федерации

Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

Обратимые матрицы над кольцом Zn

Выполнила:

Студентка V курса

Математического факультета

Сычева О. Г.


Научный руководитель:

д.ф.-м.н., профессор

Вечтомов Е. М.


Рецензент:

к.ф.-м.н., доцент

Чермных В. В.


Допущена к защите в ГАК


Зав.кафедрой Вечтомов Е М.

« »

Декан факультета Варанкина В. И.

« » Киров 2003
Содержание:

Введение………………………………………….…………………….2 стр.

§1 Основные понятия………………………………………………….3 стр.

§2 Обратимые матрицы над полем Zp

п.1 формула для подсчета обратимых матриц порядка 2 ……….10 стр.

п.2 формула для подсчета обратимых матриц порядка 3 ……….11 стр.

п.3 общая формула подсчета обратимых матриц над полем Zp ..16 стр.

§3 Обратимые матрицы над Zn ………………………………………17 стр.

Литература …………………………………………………………….27 стр.


Введение

Теория матриц является одним из основных вопросов линейной алгебры.

Цель данной работы: подсчитать количество обратимых матриц над кольцом вычетов и по возможности получить формулу для их вычисления. Для вычисления количества обратимых матриц воспользовались теорией определителей и полным перебором всех возможных вариантов получения элементов в кольцах вычетов.

Вся работа разбита на два этапа:

В §2 показан метод построения обратимых матриц второго и третьего порядков над полем Zp . В конце параграфа построена гипотеза формулы подсчета количества обратимых матриц n–го порядка над полем Zp .

В §3 приведен алгоритм построения обратимых матриц второго порядка над некоторыми кольцами вычетов (приведены конкретные примеры). В конце параграфа построена гипотеза формулы подсчета количества обратимых матриц второго порядка над кольцом классов вычетов Zn.


§1. Основные определения.

Матрицей называется прямоугольная таблица, заполненная некоторыми математическими объектами. Чаще всего рассматриваются матрицы, заполненные элементами из некоторого поля P.

Элементы матрицы обозначаются одной буквой с двумя индексами, указывающими "адрес" элемента - первый индекс дает номер строки, содержащий элемент, второй - номер столбца. Если матрица имеет m строк и n столбцов, то говорят, что матрица имеет размерность  (или - размеров ). Мы будем обозначать матрицы заглавными латинскими буквами, а ее элементы - такими же буквами, но строчными. Таким образом, матрица (размеров ) записывается в форме:

.

Матрица, состоящая из одних нулей, называется нулевой.
Будем обозначать ее 0.

Матрица, имеющая одно и то же число n строк и столбцов, называется квадратной. Число n называется порядком квадратной матрицы.

Элементы матрицы, у которых оба индекса равны (i=j) называются диагональными, а воображаемая прямая, соединяющая все диагональные элементы матрицы называется главной диагональю.

Квадратная матрица, у которой все элементы, за исключением элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается Е.:

Две матрицы считаются равными, если они одного размера и у них совпадают соответствующие элементы.

Две матрицы A=(aij) и B=(bij) одного и того же размера можно складывать, их суммой будет матрица того же размера C=(cij), , т.е. чтобы получить сумму двух матрицы достаточно сложить соответственные элементы этих матриц.

Произведение элемента c из поля на матрицу A=(aij) определяется следующим образом: cA=(caij).

Для любой матрицы A существует противоположная -A такая, что
A+(-A)=0.

Все перечисленные свойства непосредственно следуют из определений и свойств операций в поле.

Рассмотрим матрицу A=(aij) размером  и матрицу B=(bij) размером  (т.к. произведение матриц определено лишь в том случае, когда число столбцов в первой матрице равно числу строк во второй). Для таких матриц введем действие умножения матрицы на матрицу, в результате чего получается матрица C=(cij) размером , где .

Итак, матрицы можно складывать, умножать их на скаляр, а также умножать матрицу на матрицу. Эти действия обладают свойствами:

По сложению:

1.   (A+B)+C=A+(B+C) – ассоциативность;

2.   A+B=B+A – коммутативность;

3.   Существует нейтральный элемент – матрица 0: A + 0 = 0 + A = A;

4.   Для матрицы A существует обратный элемент -A: A + (-A)=0;

По умножению матриц на скаляр:

5.   ;

6.   ;

7.   ;

8.   ;

По умножению матриц:

9.   Произведение матриц в общем случае не коммутативно, т.е. ABВА;

10. (AB)C=A(BC) – ассоциативность;

11. (cA)B=A(cB)=cAB;

12. Дистрибутивность умножения относительно сложения (правая и левая) (A1+A2)B=A1B+A2B, A(B1+B2)=AB1+AB2;

13. Существует единственный нейтральный элемент E
(если A – квадратная): EA = AE = A. Если же A размером , то
EmA = AEn = A.

14. Произведение матрицы А на нулевую матрицу дает в результате так же нулевую матрицу (существуют случаи, когда нулевая матрица получается в результате перемножения ненулевых матриц).

Для квадратных матриц фиксированного порядка n действия сложения и умножения определены всегда, и их результатами являются квадратные матрицы того же порядка. Таким образом, квадратные матрицы фиксированного порядка образуют кольцо.

Определителем n-го порядка квадратной матрицы А, называется алгебраическая сумма n! членов, которыми являются всевозможные произведения по n элементов, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, причем член берется со знаком плюс, если его индексы составляют четную перестановку, и со знаком минус – если нечетную перестановку.

,

где (a1, a2, ..., an) пробегает все перестановки чисел 1, 2, ..., n; множитель  равен +1, если (a1, a2, ..., an) - четная перестановка, и равен –1, если нечетная.

Минором элемента aijназывается определитель (n-1) – порядка, полученный из данного определителя n-го порядка, путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца.

Минор aijэлемента обозначается Мij.

Алгебраическим дополнением элемента aij называется минор этого элемента, взятый со знаком (-1)i+j.

Алгебраическое дополнение элемента обозначается Аij=(-1)i+j× Мij.

Матрица B называется обратной для матрицы A, если AB=BA=E,
где E - единичная матрица. Равенство AB=BA показывает (нетрудно видеть, используя правило умножения матриц), что число строк и столбцов матрицы A должно быть одинаково.

Таким образом, обратная матрица имеет смысл только для квадратных матриц. Далее мы будем рассматривать только квадратные матрицы.

Если матрица А имеет обратную, то она единственна.

Покажем это. Пусть АВ=СА=Е и СВ, тогда заметим: С=СЕ=С(АВ)=(СА)В=ЕВ=В. Что противоречить условию.

Определитель произведения любых двух матриц n-го порядка равен произведению их определителей.

Докажем. Рассмотрим единичные столбцы n-го порядка:

, , …,

Возьмем произведение матрицы АВ на столбец единичных столбцов (т.е. столбец из n n-мерных столбцов)

Тогда =×1=×==

====.
 Что требовалось доказать.

Заключение данной теоремы также выполняется и для случая, когда элементы матриц взяты из кольца вычетов Zn.

Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю и не вырожденной в противном случае.

Для всякой невырожденной матрицы существует обратная матрица.

Покажем это. Пусть A=(aij) –невырожденная квадратная матрица (). Рассмотрим матрицу А*=, где Аij – алгебраическое дополнение элементов определителя , причем алгебраические дополнения i-й сроки стоят в i-ом столбце.

Найдем произведение С=АА*, где С=(сij)

 и т.д.

Найдя все элементы матрицы С по описанному выше алгоритму,
в итоге, получим следующее:, т.е. . Значит матрица А* - обратная к невырожденной матрице А.

Для вырожденной матрицы обратной матрицы не существует. Иначе если вырожденная матрица А () имеет обратную А*, тогда верными будут следующие равенства: А·А*=Е,, , .
 Что в принципе не верно.

Нужно отметить, что невырожденной матрицей над Zn называется матрица, определитель которой является обратимым элементом в Zn .


§2. Обратимые матрицы над полем Zp

В данном параграфе попытаемся вывести формулу для подсчета количества обратимых матриц в поле Zp, где p – простое.


Информация о работе «Обратимые матрицы над кольцом целых чисел»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 25275
Количество таблиц: 6
Количество изображений: 4

Похожие работы

Скачать
50071
3
0

... гомоморфизм . K= - подгруппа Z и значит K=mZ для некоторого целого m. Отсюда следует, что H= . При этом и потому n=dm где d - целое. По теореме о гомоморфизме . Из доказанных теорем следует, что всякая подгруппа циклической группы циклична. Мы видим также, что для каждого целого d, делящего порядок n конечной циклической группы имеется и притом ровно одна подгруппа порядка d, то есть для ...

Скачать
15005
0
0

... но они не равны друг другу. Так будет, например, для подкольца , состоящего из матриц с нулевой последней строкой и последним столбцом; =diag(1,1,...,1,0) =diag(1,1,...,1). Определение. Гомоморфизмом колец называется отображение, сохраняющее обе кольцевые операции: и . Изоморфизм - это взаимно однозначный гомоморфизм. Ядро гомоморфизма - это ядро группового гомоморфизма аддитивных групп , то ...

Скачать
7592
0
0

... -x * y. Полем называется такое ассоциативное коммутативное кольцо с единицей k, в котором всякий ненулевой элемент обратим: . Таким образом, по определению в поле отсутствуют делители нуля. Кольцом называется множество с двумя алгебраическими операциями R (+, *), если:   0. Обратимыми называют те элементы кольца R, которые имеют обратные относительно операции умножения, множество R в данном случае ...

Скачать
38950
13
4

...   a  =  bq1  + r1 ,   b = r1 q2  + r2 ,   r1  = r2 q3  + r3 ,   . . . . . . . . . . . . .   rn-2  = rn-1qn-1+ rn . Докажем, что каждое из чисел rk линейно выражается через a и b с целыми коэффициентами. Для r1 утверждение тривиально: r1 = a - bq1 . Считая, что каждое из чисел r1 , r2 , . . . , rn-1 является целочисленной линейной комбинацией чисел a ...

0 комментариев


Наверх