Теория колец

15005
знаков
0
таблиц
0
изображений
Множества с двумя алгебраическими операциями. Кольца и поля.

Пусть на множестве R определены две алгебраические операции, которые мы будем называть сложением и умножением и обозначать соответственно + и *. Говорят, что умножение обладает свойством (правой) дистрибутивности относительно сложения, если

Теория колец. (1)

Аналогично определяется свойство левой дистрибутивности. Разумеется, если операция умножения коммутативна, эти свойства равнозначны. В общем случае говоря о свойстве дистрибутивности мы будем подразумевать двустороннюю дистрибутивность. Предположим, что операция ’+’ на R имеет нейтральный элемент, обозначаемый 0. Положив в равенстве (1) y = z = 0, получим: x*0 = x*0 + x*0, откуда, при наличии свойства сокращения для операции ’+’ , получаем, что x*0 = 0. Если для элемента y имеется противоположный элемент (-y), то взяв в том же равенстве z = -y, получим: 0 = x*0 = x*y + x*(-y) и, значит, x*(-y) = -x*y.

Определение.

Множество с двумя алгебраическими операциями R(+,*) называется кольцом, если

(R,+) - абелева группа (аддитивная группа кольца R). Умножение в R дистрибутивно относительно сложения.

Дополнительные свойства операции умножения отмечаются с помощью соответствующих прилагательных перед словом кольцо. Так ассоциативное кольцо - это кольцо, в котором операция умножения обладает свойством ассоциативности. Аналогичный смысл имеет термин коммутативное кольцо. Наличие нейтрального элемента для операции умножения выражают термином кольцо с единицей ( этот нейтральный элемент называют единицей и обозначают Теория колецили просто e ); При этом дополнительно предполагается, что кроме свойств 1 и 2 выполнено

Теория колецТеория колец0.

Элементы такого кольца R, имеющие обратные относительно операции умножения, называются обратимыми , а их множество обозначается через Теория колец. Отметим, что для ассоциативного кольца с единицей множество Теория колецявляется группой по умножению, называемой мультипликативной группой кольца R. Поскольку в кольце R с единицей Теория колец x*0 = 0Теория колецe , элемент 0 из R необратим. В случае ассоциативного кольца не будет обратим и такой элемент yТеория колец0, для которого можно найти такое zТеория колец0, что y*z = 0. Такой элемент y называется (левым) делителем нуля.

Определение.

Полем называется такое ассоциативное коммутативное кольцо с единицей k, в котором всякий ненулевой элемент обратим: Теория колец.

Таким образом, по определению в поле отсутствуют делители нуля.

Примеры колец и полей.

Хорошо известными примерами полей являются, конечно, поля R,Q, и C соответственно вещественных, рациональных и комплексных чисел . Отметим, что любое поле содержит по крайней мере 2 элемента - 0 и e. Этот “минимальный” запас элементов и достаточен для образования поля: операции определяются очевидным образом ( отметим только, что e+e=0). Построенное поле из двух элементов обозначается GF(2) (по причинам, которые будут ясны в дальнейшем). Напомним также, что если p - простое число, то все вычеты по модулю p, кроме 0, обратимы относительно операции умножения. Значит, рассматривая группу Теория колец с дополнительной операцией умножения, мы получаем поле из p элементов, которое обозначается GF(p). Множество Z целых чисел с операциями сложения и умножения дает важный пример ассоциативного коммутативного кольца с единицей. Аддитивная группа этого кольца - хорошо известная нам бесконечная циклическая группа. Мультипликативная группа Теория колец содержит всего 2 элемента 1 и -1 и потому изоморфна Теория колец. Элементы, не входящие в Теория колец необратимы, хотя и не являются делителями нуля. Пусть R - любое ассоциативное коммутативное кольцо. МножествоТеория колец- квадратных матриц порядка n с элементами из кольца R образует кольцо относительно операций сложения и умножения матриц. Отметим, что кольцо матриц ассоциативно, но, вообще говоря, не коммутативно. Если R содержит единицу Теория колец, то матрица Е = diag(Теория колец,Теория колец,...,Теория колец) ,будет единицей кольца матриц. Заметим, что для любой матрицы Теория колецТеория колец имеет смысл понятие определителя det(A) Теория колец R, причем det(AB)=det(A)det(B). Если det(A) обратимый элемент кольца R, то матрица A обратима в кольце матриц: Теория колец, где Теория колец- присоединенная к А матрица (то есть транспонированная матрица из алгебраических дополнений). Таким образом, Теория колец= Теория колец- группа матриц порядка n с обратимым определителем. В случае поля R это означает, что det(A) Теория колец0, то есть матрица невырождена. С другой стороны, в этом случае любая вырожденная матрица будет делителем нуля. В самом деле, из det(A) = 0 следует, что столбцы А линейно зависимы: Теория колец, причем не все коэффициенты нулевые. Построим ненулевую матрицу В, взяв Теория колец в качестве ее первого столбца и считая прочие элементы В нулевыми. Тогда А*В = 0 и значит А - делитель нуля. Пусть снова R любое ассоциативное коммутативное кольцо и x - некоторый символ. Формальная сумма вида p= Теория колец, где Теория колец называется многочленом над кольцом R. Если Теория колец, то число n называется степенью этого многочлена и обозначается deg(p). Нулевой многочлен не имеет степени. Многочлены над R можно складывать и перемножать по обычным правилам и они образуют кольцо R[x]. Если кольцо R имеет единицу е, то многочлен нулевой степени p=e будет единицей кольца R[x]. Если R не имеет делителей нуля, то deg(pq)=deg(p)+ deg(q) и потому R[x] также не имеет делителей нуля. В то же время обратимыми элементами кольца многочленов будут в точности обратимые элементы R, рассматриваемые как многочлены нулевой степени. Отметим, что эта конструкция позволяет рассматривать и многочлены от нескольких переменных: по определению, R[x,y] =R[x][y] (=R[y][x]).

Определение.

Подмножество Теория колец называется подкольцом, если оно является кольцом относительно тех же операций, которые определены в R.

Это означает, что К является подгруппой аддитивной группы R и замкнуто относительно умножения: Теория колец. Отметим, что если R обладает свойством ассоциативности , коммутативности или отсутствием делителей нуля, то и К обладает теми же свойствами. В то же время, подкольцо кольца с единицей может не иметь единицы. Например, подкольцо четных чисел 2Z Теория колецZ не имеет единицы. Более того, может случиться, что и R и K имеют единицы, но они не равны друг другу. Так будет, например, для подкольца Теория колец, состоящего из матриц с нулевой последней строкой и последним столбцом; Теория колец=diag(1,1,...,1,0) Теория колецТеория колец=diag(1,1,...,1).

Определение.

Гомоморфизмом колец Теория колец называется отображение, сохраняющее обе кольцевые операции: Теория колец и Теория колец. Изоморфизм - это взаимно однозначный гомоморфизм.

Ядро гомоморфизма Теория колец - это ядро группового гомоморфизма аддитивных групп Теория колец, то есть множество всех элементов из R, которые отображаются в Теория колец.

Пусть снова Теория колец- некоторое подкольцо. Поскольку (К,+) - подгруппа коммутативной группы (R,+), можно образовать факторгруппу R/K, элементами которой являются смежные классы r+K. Поскольку К*К Теория колецК, для произведения двух смежных классов имеет место включение: (r+K)*(s+K) Теория колецr*s+r*K+K*s+K.

Определение.

Подкольцо К называется идеалом кольца R, если Теория колец: x*K Теория колецK и K*yТеория колецK.

Мы видим, что если К является идеалом в R, произведение смежных классов (r+K)*(s+K) содержится в смежном классе r*s+K. Значит в факторгруппе R/K определена операция умножения, превращающая ее в кольцо, называемое факторкольцом кольца R по идеалу К.

Примеры.

Подкольцо nZ является идеалом кольца Z, поскольку для любого целого m m(nZ) Теория колецnZ. Факторкольцо Z/nZ - это множество вычетов по модулю n с операциями сложения и умножения. Отметим, что если число n не является простым, то Z/nZ имеет делители нуля. Пусть IТеория колецR[x] - множество всех многочленов Теория колец, у которых Теория колец=0. Удобно записать: I = xR[x]. Поскольку p*I =(p*x)R[x] Теория колецI, мы имеем идеал кольца многочленов. Каждый смежный класс q+I содержит элемент Теория колец. Значит, (q+I)*(s+I) = (Теория колец+I)*(Теория колец+I) =Теория колец*Теория колец+I. В развитие предыдущего примера рассмотрим некоторое ассоциативное коммутативное кольцо S. Если Теория колец любой его элемент, то множество I=x*S является идеалом кольца S, называемым главным идеалом с образующим элементом x. Этот идеал обозначается (x). Если S кольцо с единицей и элемент x обратим, то (x)=S. Если кольцо S является полем, то всякий ненулевой идеал I в S совпадает со всем полем. В самом деле, если Теория колец, x Теория колец0, то для всякого Теория колецимеем: Теория колец, откуда Теория колец. Пусть I идеал кольца R. Сопоставляя каждому элементу Теория колец смежный класс r+I, получаем сюръективный гомоморфизм Теория колец. Этот гомоморфизм называется естественным гомоморфизмом кольца на факторкольцо.

Замечание.

Свойства ассоциативности, коммутативности и наличия единицы очевидно сохраняются при переходе к факторкольцу. Напротив, отсутствие в R делителей нуля еще не гарантирует их отсутствие в факторкольце (см. пример 1).

Теорема об ядре.

Ядро гомоморфизма колец является идеалом.

Доказательство.

Пусть Теория колец- гомоморфизм колец, I =KerТеория колец, Теория колец- любой элемент. Тогда, Теория колец(x*I) =Теория колец(x)* Теория колец(I) =Теория колец(x)*0 =0. Значит, x*I Теория колецKerТеория колец =I. Аналогично проверяется, что I*xТеория колецI.

Теорема о гомоморфизме для колец.

Пусть Теория колец- сюръективный гомоморфизм колец. Тогда S изоморфно факторкольцу R/KerТеория колец. Если эти изоморфные кольца отождествить, то Теория колец отождествляется с естественным гомоморфизмом кольца R на свое факторкольцо.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству соответствующей теоремы для групп и мы его опускаем.

Пример.

Пусть K - кольцо многочленов R[x], Теория колец: KТеория колецC - гомоморфизм, сопоставляющий каждому многочлену p его значение в точке i : Теория колец(p) =p(i). Ядро этого гомоморфизма составляют многочлены, представимые в виде: (Теория колец+1)*q(x), где q - любой многочлен. Можно записать: KerТеория колец =(Теория колец+1). По теореме о гомоморфизме Теория колец.

Кольцо многочленов над полем.

Кольцо многочленов над полем (в отличие от случая многочленов над кольцом) обладает рядом специфических свойств, близких к свойствам кольца целых чисел Z .

I. Делимость многочленов.

Хорошо известный для многочленов над полем R способ деления “углом” использует только арифметические действия над коэффициентами и потому применим к многочленам над любым полем k. Он дает возможность для двух ненулевых многочленов p,sТеория колецk[x] построить такие многочлены q (неполное частное) и r (остаток), что p = q*s +r , причем либо r =0, либо deg(r )< deg(s ). Если r =0 , то говорят, что s делит p (или является делителем p ) и обозначают это так: s | p. Будем называть многочлен унитарным ( или приведенным), если его старший коэффициент равен 1.

Определение.

Общим наибольшим делителем ненулевых многочленов p и s называется такой унитарный многочлен ОНД( p, s), что

ОНД( p, s) | p; ОНД( p, s) | s. q | p, q | s Теория колец q | ОНД( p, s).

По определению, для ненулевого многочлена р со старшим коэффициентом а ОНД (р, 0) = ОНД (0, р) = р/а; ОНД (0, 0)=0.

Аналогично определяется ОНД любого числа многочленов.

Единственность ОНД двух многочленов непосредственно вытекает из определения. Существование его следует из следующего утверждения.

Основная теорема теории делимости (для многочленов).

Для любых двух ненулевых многочленов p и q над полем k можно найти такие многочлены u и v над тем же полем, что ОНД(p, q)= u*p+v*q.

Доказательство этой теоремы очень похоже на приведенное в лекции доказательство аналогичной теоремы над Z. Все же наметим основные его шаги.

Выберем такие многочлены u и v чтобы сумма w= u*p+v*q имела возможно меньшую степень( но была ненулевой!). Можно при этом считать w унитарным многочленом. Проверим, что w | p. Выполняя деление с остатком, получаем: p= s*w+r. Подставляя это равенство в исходное, находим: r = p - s*w =p - s*(u*p+v*q) = (1-s*u)*p+(-s*v)q = U*p + V*q . Если при этом r Теория колец0, то deg(r )<deg(w), что противоречит выбору w. Значит, r =0. Аналогично проверяется, что w | q. Обозначим: W = ОНД(p , q). По определению w | W. С другой стороны, W | p, W | q Теория колецW | w. Остается заметить, что оба многочлена w и W унитарные и значит W = w.

Замечание.

Используя индукцию, можно доказать, что для любого числа многочленов ОНД Теория колец для подходящих многочленов Теория колец. Более того, эта формула сохраняется даже для бесконечного множества многочленов, поскольку их ОНД в действительности является ОНД некоторого их конечного подмножества.

Следствие.

Всякий идеал в кольце многочленов над полем является главным.

В самом деле, пусть p - ОНД всех многочленов, входящих в идеал I. Тогда Теория колец, где Теория колец. По определению идеала отсюда вытекает, что Теория колец, а значит, I =(p).

II. Разложение на множители.

Пусть k некоторое поле, p, q, s - многочлены над k. Если p=q*s, причем оба многочлена q и s имеют степень меньшую, чем p, то многочлен p называется приводимым (над полем k ). В противном случае p неприводим. Неприводимый многочлен в кольце k[x] является аналогом простого числа в кольце Z . Ясно, что каждый ненулевой многочлен p=Теория колец можно разложить в произведение: p= Теория колец*Теория колец, где все многочлены Теория колец неприводимы над k и имеют старший коэффициент равный 1. Можно доказать, что такое разложение единственно с точностью до порядка сомножителей. Разумеется среди этих множителей могут быть одинаковые; такие множители называются кратными. Объединяя кратные множители можно то же разложение записать в виде: p= Теория колец.

Примеры.

Теория колец. Заметим, что многочлены первой степени по определению неприводимы над любым полем. Множитель x является кратным, остальные - простые. Многочлен Теория колец неприводим над полем Q рациональных чисел. В самом деле, если (Теория колец)=(x-a)*q, то подставляя в это равенство x=a, получаем: Теория колец, что невозможно ни для какого рационального числа a. Тот же многочлен над полем R вещественных чисел приводим: Теория колец, причем второй множитель имеет отрицательный дискриминант и потому далее не разложим над R . Наконец, над полем C комплексных чисел имеем: Теория колец, где Теория колец=Теория колец- кубический корень из 1. На этом примере мы видим, что понятие приводимости существенно зависит от того над каким полем рассматривается многочлен.

Свойства неприводимых многочленов.

1 .Если p- неприводимый многочлен и d =ОНД(p, q) Теория колец1, то p | q.

В самом деле, p = d*s и если deg(s )>0, то это противоречит неприводимости p, а если deg(s )=0, то d | qТеория колецp | q.

2. Если p | Теория колец и p неприводим, то либо p | Теория колец либо p | Теория колец. Действительно, в противном случае НОД(p, Теория колец) = НОД(p, Теория колец) =1 и потому по основной теореме теории делимости Теория колец; Теория колец, откуда: Теория колец и значит, Теория колец, то есть НОД(p, Теория колец)=1 и, следовательно, deg (p )=0.

III. Корни многочленов. Производная и кратные корни.

Пусть p = Теория колец некоторый многочлен над k и Теория колец. Элемент поля k, равный Теория колец, называется значением многочлена p в точке a и обозначается p(a). Соответствие Теория колец является гомоморфизмом Теория колец Ядро этого гомоморфизма состоит из всех многочленов, для которых p(a) = 0, то есть a является их корнем. Поскольку ядро I - идеал, содержащий (x-a) и не совпадающий с k[x] (x -a +Теория колецТеория колец), а каждый идеал в k[x] - главный, то I =(x-a). Мы приходим таким образом к теореме Безу : элемент Теория колец будет корнем многочлена p тогда и только тогда, когда (x - a) | p. Отсюда непосредственно вытекает, что неприводимый многочлен степени больше 1 не имеет корней.

Если Теория колец | p , то a называется корнем кратности не ниже n. Введем понятие производной многочлена p. По определению это многочлен Теория колец. Имеют место обычные правила вычисления производной: Теория колец; Теория колец. Отсюда следует, что Теория колец и потому наличие у многочлена корня a кратности не ниже n влечет наличие у его производной того же корня кратности не ниже (n-1). В частности, если p(a) = 0, но Теория колец, то корень a - простой (то есть не кратный).

Если Теория колец | p, но Теория колец не делит p, то число n называется кратностью корня a . Пусть Теория колец- множество всех корней многочлена p с указанными кратностями Теория колец. Поскольку при aТеория колецb НОД(Теория колец,Теория колец) =1, многочлен p делится на Теория колец и потому deg(p) Теория колецТеория колец. Итак, многочлен степени n имеет не более n корней с учетом их кратности.


Информация о работе «Теория колец»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 15005
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 0

Похожие работы

Скачать
229704
44
52

... , работавших в области электротехники, заинтересовалась возможностью создания технологии хранения данных, обеспечивающей более экономное расходование пространства. Одним из них был Клод Элвуд Шеннон, основоположник современной теории информации. Из разработок того времени позже практическое применение нашли алгоритмы сжатия Хаффмана и Шеннона-Фано. А в 1977 г. математики Якоб Зив и Абрахам Лемпел ...

Скачать
112157
10
0

... 0 Прирост объемов валовой прибыли 18201,12 21,0 Источник: Составлено автором на основе данных АО «Клинцовский завод поршневых колец» Для достижения стимулирования нужной степени эффективности необходимо дополнить предполагаемую схему материального стимулирования адекватными социально-психологическими мерами66 стимулирования: стимулирование на основе выражения общественного признания, ...

Скачать
72202
18
8

... из которых мультипликативна по лемме 2 пункта 13. Значит, ( a ) - мультипликативна.   Следствие 3. . Доказательство. Пусть . Тогда, по лемме 1 пункта 13 имеем: . 5 Китайская теорема об остатках В этом пункте детально рассмотрим только сравнения первой степени вида ax b(mod m), оставив более высокие степени на съедение следующим ...

Скачать
89337
5
2

... , недостаточное изучение рынка труда, трудовая дисциплина, внутренняя организация и недостаточные деловые качества отдельных руководителей.   2.3 Разработка мероприятий по совершенствованию кадрового потенциала Клинцовского завода поршневых колец В ходе исследования в дипломной работе выявлено: коллектив предприятия не стабильный. Работники предприятия стремятся найти новое место работы; ...

0 комментариев


Наверх