Навигация
Обобщение неравенства Коши и его аналог
31605
знаков
0
таблиц
0
изображений
2. Обобщение неравенства Коши и его аналог
Известное неравенство Коши 
или 
говорит о том, что среднее геометрическое и среднее арифметическое сравнимы для любых чисел xi>0 и любых весов 
, 
,
.
Возникает вопрос, будут ли сравнимы квази-средние, их обобщающие, то есть справедливо ли неравенство 
≤
, или 
≤
.
Теорема 13 (о сравнении квази-средних). Для того, чтобы выполнялось неравенство 
≤
, или 
≤
для всех 
, , 
, необходимо и достаточно, чтобы функция 
была выпуклой вниз, если 
возрастает, или выпуклой вверх, если убывает.
Доказательство[2]. Пусть возрастает. Тогда из неравенства ≤ следует 
. Обозначая 
и 
, получаем 
≤
, то есть мы просто переписываем неравенство 
≤
в другой форме. Новое же неравенство по теореме 7 справедливо тогда и только тогда, когда функция 
, или 
выпукла вниз.
При убывании рассуждаем аналогично.
Замечание. Если 
, где 
, на некотором промежутке, содержащем все
, то равенство в доказанном соотношении достигается только тогда, когда все равны друг другу.
Действительно, пусть 
=
. Тогда =, и поэтому если функция 
не линейна, то есть 
, или
, то равенство достигается только тогда, когда все все 
, а следовательно, и , равны друг другу.
Отметим, что данное замечание даёт другое доказательство теоремы 4 о тождественных квази-средних.
Теорема 14. Для того, чтобы выполнялось неравенство 
≤
для всех 
и 
, , 
, достаточно, чтобы функция была выпуклой вниз, если возрастает, или выпуклой вверх, если убывает.
Доказательство. Точно так же, как и в предыдущей теореме, приводим данное неравенство к неравенству 
(или ему обратному при убывании ), которое по теореме 8 вновь верно при условии, что функция , или выпукла вниз (вверх()овь верно при тех же условиях________________________________________________________________________________________________).
Замечание. Если , где 
, на отрезке 
, то равенство в доказанном соотношении достигается только тогда, когда все равны a или все равны b.
Теорема 13 позволяет нам как частные случаи получить известные неравенства для средних степенных [3]. Приведём эти неравенства.
Пример 1 (неравенство, характеризующее свойство монотонности среднего степенного). Для 
,
, 0<r<s функция 
выпукла вниз (так как её вторая производная неотрицательна), и поэтому 
, где 
, 
, , 
, или 
.
Пример 2 (неравенство Коши). Для 
и 
функция 
выпукла вниз, и поэтому 
, где , , , или 
.
Пример 3 (неравенство Гюйгенса). Для 
и 
функция 
выпукла вниз, и поэтому 
, где , , , или 
.
Пример 4
(неравенство Бернулли). Для 
и 
функция 
выпукла вниз, и поэтому 
, где , , , или 
. В частности, если положить 
, 
, 
, то получим так называемое обобщённое неравенство Бернулли 
(
).
Замечание. Равенство в вышеуказанных примерах имеет место тогда и только тогда, когда все 
равны друг другу (так как в каждом случае).
На основании же теоремы 14 мы получаем аналоги приведённых неравенств.
Пример 1/. 
, где , 
, 
, , 
.
Пример 2/. 
, где , , , .
Пример 3/. 
, где , , , .
Пример 4/. 
, где 
.
Замечание. Равенство в вышеуказанных примерах имеет место тогда и только тогда, когда все равны a или все равны b.
Похожие работы
... рассматриваться как определенные независимо одна от другой. Зависимость между силой, массой и ускорением. Второй закон Ньютона Данную зависимость с точностью, которая возможна в демонстрационном эксперименте, устанавливают на опыте, Поскольку согласно принятой в стабильном учебнике методике сначала устанавливается только способ задания некоторой силы «безразлично какой именно!», в опытах ...
... учетной информации; - порядок контроля за хозяйственными операциями. Таким образом, отчетность организации представляет собой единую систему информации об ее имущественном и финансовым положении. 2. Анализ финансово - хозяйственной деятельности предприятия (на примере СП «Энергосбыт») 2.1 Технико-экономическая характеристика предприятия СП «Энергосбыт» - филиала ОАО «РЖД» Куйбышевская ...
... politique, ou Simple exposition de la maniere dont se forment, se distribuent et se consomment les richesses»] (1803) Ж. Б. Сэ был крупнейшим представителем классической школы во Франции. Из всех представителей классической политической экономии он, пожалуй, удостоился наиболее яростной критики представителей многих еретических направлений в экономической науке - от марксистов до кейнсианцев. ...
... являются временные структуры коры головного мозга, возникающие при одновременном или последовательном воздействии двух или более раздражителей [31, с. 162].1.2 Психолого-педагогические предпосылки формирования ассоциативного мышления у учащихся средней школы В подростковом возрасте происходит развитие способностей, процессов мышления, приводящее к росту сознания, воображения, суждений и интуиции ...
0 комментариев