2.  Характеристическое свойство квази-средних

Теперь мы готовы для квази-средних  указать упомянутое выше аксиоматическое определение. Будем исходить от частных случаев – простейших средних. Так взвешенные среднее арифметическое  и среднее геометрическое  можно определить как непрерывные хотя бы в одной точке решения функциональных уравнений  и  соответственно, а также эти решения должны удовлетворять условию усреднения, иначе не обязательно  и . Первое условие есть результат теоремы 1, а второе условие мы докажем далее в общем случае.

Заметим, что операцию умножения, которая используется в уравнении для среднего геометрического, можно представить как , где , то есть функция, задающая среднее геометрическое. Операция сложения в уравнении для среднего арифметического представляется аналогично, но с функцией.

Тогда вообще для квази-средних рассмотрим операцию, обобщающую сложение и умножение, , где – произвольная непрерывная, строго монотонная функция, множество значений которой – один из промежутков (–;а), (–;а], (b; ), [b; ), (–;), где a≤0 и b≥0, что гарантирует существование операции для любых x и y из области определения функции . Сформулируем общий результат, выражающий аксиоматическое определение квази-средних [1].

Теорема 2. Квази-средние – это такие функции  от n переменных, для которых выполнены условия:

1)  непрерывность хотя бы в одной точке;

2)  ;

3)  .

Доказательство. Очевидно, что квази-средние, ранее определённые как удовлетворяют перечисленным свойствам. Важно показать обратное – других величин с данными свойствами не существует. Для этого выведем вид функций , исходя из указанных условий.

Распишем уравнение , используя определение операции :

 =

=,

=

=

Далее, если определить  и обозначить , , то последнее выражение перепишется так, где функция H непрерывна хотя бы в одной точке. Тогда единственной такой функцией будет , piR. Возвращаясь к прежним переменным и функциям, найдём , piR.

Осталось показать, что  и . Используем свойство усреднения найденного решения:  .

Возьмём , но тогда  или , и поэтому . А если предположить, что какое-то , то для  и , имеем

==

=, что противоречит условию.

Аналогично можно определить квази-средние вида .

Теорема 3. Квази-средние вида – это такие функции  от n переменных, для которых выполнены условия:

1)  непрерывность хотя бы в одной точке;

2)  ;

3)  рефлексивность, то есть ;

4)  симметричность.

Действительно, свойства 1 и 2 выделяют функции , piR, далее свойство 3 обеспечивает , а из свойства 4 вытекает.

Теперь мы можем аксиоматически задавать частные случаи квази-средних, указывая для них свои операции в функциональном уравнении . Например:

для среднего арифметического  задающая его функция ,  и поэтому  ;

для среднего геометрического , ;

для среднего гармонического , ;

для среднего квадратичного  , .


Информация о работе «Обобщение классических средних величин»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 31605
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 0

Похожие работы

Скачать
48853
0
9

... рассматриваться как определенные независимо одна от другой. Зависимость между силой, массой и ускорением. Второй закон Ньютона Данную зависимость с точностью, которая возможна в демонстрационном эксперименте, устанавливают на опыте, Поскольку согласно принятой в стабильном учебнике методике сначала устанавливается только способ задания некоторой силы «безразлично какой именно!», в опытах ...

Скачать
127645
11
0

... учетной информации; - порядок контроля за хозяйственными операциями. Таким образом, отчетность организации представляет собой единую систему информации об ее имущественном и финансовым положении. 2. Анализ финансово - хозяйственной деятельности предприятия (на примере СП «Энергосбыт»)   2.1 Технико-экономическая характеристика предприятия СП «Энергосбыт» - филиала ОАО «РЖД» Куйбышевская ...

Скачать
57498
1
0

... politique, ou Simple exposition de la maniere dont se forment, se distribuent et se consomment les richesses»] (1803) Ж. Б. Сэ был крупнейшим представителем классической школы во Франции. Из всех представителей классической политической экономии он, пожалуй, удостоился наиболее яростной критики представителей многих еретических направлений в экономической науке - от марксистов до кейнсианцев. ...

Скачать
100849
14
9

... являются временные структуры коры головного мозга, возникающие при одновременном или последовательном воздействии двух или более раздражителей [31, с. 162].1.2 Психолого-педагогические предпосылки формирования ассоциативного мышления у учащихся средней школы В подростковом возрасте происходит развитие способностей, процессов мышления, приводящее к росту сознания, воображения, суждений и интуиции ...

0 комментариев


Наверх