Производная и ее применение для решения прикладных задач

1. Производная и ее применение для решения прикладных задач

1.1 Исторические сведения

Ряд задач дифференциального исчисления был решен еще в древности. Они встречались у Евклида. Ряд таких задач был решен Архимедом, разработавшим способ проведения касательной, примененный им к спирали, но применимый для других кривых. Основное понятие дифференциального исчисления – понятие производной – возникло в XVII в. В связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики. Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем на основе двух задач: 1) о разыскании касательной к произвольной линии2) о разыскании скорости при произвольном законе движенияЕще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда. В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.

Понятие производной

Пусть y = f(x) есть непрерывная функция аргумента x, определенная в промежутке (a; b), и пусть х₀ - произвольная точка этого промежутка

Дадим аргументу x приращение ∆x, тогда функция y = f(x) получит приращение ∆y = f(x + ∆x) - f(x). Предел, к которому стремится отношение ∆y / ∆x при ∆x → 0, называется производной от функции f(x).

y'(x)=

Геометрический смысл производной состоит в том, что она равна угловому коэффициенту касательной. Рассмотрим график функции  (рис.). Видно,

что , т.е. это отношение равно угловому

коэффициенту секущей mm. Если , то секущая,

поворачиваясь вокруг точки М, в пределе переходит в

касательную , так как касательная является предельным

положением секущей, когда точки пересечения сливаются.

Таким образом,.

Уравнение касательной

, где - координаты точки касания, а - текущие координаты точки касательной прямой.

Физический смысл производной заключается в скорости изменения функции.

Пусть s = s(t) — закон прямолинейного движения. Тогда v(t₀) = s'(t₀) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t₀. Вторая производная a(t₀) = s''(t₀) выражает мгновенное ускорение в момент времени t₀.Вообще производная функции y = f(x) в точке x₀ выражает скорость изменения функции в точке x₀, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y = f(x).

13 Дифференциал

Пусть дана функция  и - внутренняя точка её области определения. Придадим аргументу приращение  и рассмотрим приращение функции

Если это приращение  можно представить в виде  где величина  не зависит от приращения, а  - бесконечно малая при  величина, имеющая больший порядок малости, чем , то произведение  называется дифференциалом функции  в точке  и обозначается .

Перечень прикладных задач:

-составление уравнения касательной к графику функции;

-нахождение угла между пересекающимися прямыми, между графиками функций;

-исследование и построение графиков функций;

-решение задач на оптимум;

-преобразование алгебраических выражений;

-разложение многочлена на множители;

-доказательство тождеств;

-вычисление сумм;

-решение уравнений;

-приближенные вычисления и оценка погрешностей;

-доказательство неравенств и тождеств;

-решение систем уравнений;

-решение задач с параметрами;

-отбор кратных корней уравнения;

-сравнение величин;

-определение периода функции;

-нахождение пределов функции с помощью правила Лопиталя;

-разложение функций в ряд с помощью формулы Тейлора;

-приближенное решение уравнений методом проб, хорд и касательных;

-линеаризация алгебраических функций и многое другое.

3. Примеры решения прикладных задач

3.1  Исследование функций и построение их графиков

Пример 1

Исследовать и построить график функции

Решение.

1.  Функция существует для всех .

Похожие работы

К решению нелинейных вариационных задач

Скачать

57698

75

8

... ^у^е^о ^ с^-^. Итак решение по Ритцу: ^-i-^ Сравнительная таблица имеет вид: Л. 0 0,5 1 1,5 2 у^ 0 -0,275 -0,3571 -0,2758 0 ^г) о -0,2126 -0,3520 -0,3258 0 50 3.6. Об одном подходе к решению нелинейных вариационных задач В отличии от метода Ритца, искомую функцию в двуточечной вариа­ционной задаче зададим в виде: r-^^f^-^^ При этом граничные условия и{а ) = ...

Методика преподавания темы: Использование электронных таблиц для финансовых и других расчетов в 10 классе

Скачать

216371

14

6

... и менеджмента Санкт-Петербургского Государственного технического университета соответствовал поставленной цели. Его результаты позволили автору разработать оптимальную методику преподавания темы: «Использование электронных таблиц для финансовых и других расчетов». Выполненная Соловьевым Е.А. дипломная работа, в частности разработанная теоретическая часть и план-конспект урока представляет ...

Геоинформационная система "Компас-2" и возможности её использования для ведения природных кадастров России

Скачать

162762

2

2

... кадастра памятников России и привязки его к ГИС «Компас-2», я изучил возможности, функции ГИС «Компас-2», а также возможность использования его для создания различных видов природных кадастров. Компас-2 – это сетевая система для представления, моделирования и анализа географической информации Функциональные возможности системы КОМПАС 2: публикация географической информации (ГИ) в сетях ...

Решение обратной задачи динамики

Скачать

30417

0

16

... задачи динамики, определять, при каких условиях осуществимо движение с заданными свойствами. С другой стороны, и само развитие теории управления движениями материальных систем вызвало необходимость решения обратных задач динамики в различных постановках. Все это привело к тому, что обратные задачи классической механики оказались своего рода направляющими и исходными задачами современной науки об ...