Навигация
1. Формула Кардано.
Рассмотрим приведенное алгебраическое уравнение 3-ей степени: x3+ax2+bx+c=0 (11).
(общее уравнение 3-ей степени сводится к приведенному делением на коэффициент при старшей степени). С помощью замены x=y-a/3 это уравнение примет вид y3+py+q=0 (11’), где p и q – новые коэффициенты, зависящие от a,b,c. Пусть у0 – какой либо корень уравнения (11’). Представим его в виде у0=α+β, где α и β – неизвестные пока числа, и подставим в уравнение. Получим α3+β3+( α+β)(3αβ+p)+q=0 (12). Выберем теперь α и β так, чтобы 3αβ+р=0. Такой выбор чисел α и β возможен, т.к. они (вообще говоря комплексные) удовлетворяют системе уравнений
α+β=у0;
αβ=-р/3, а значит, существуют.
При этих условиях уравнение (12) примет вид α3+β3+q=0, а т.к. еще α3β3=-р3/27, то получаем систему
α3+β3=-q;
α3β3=-р3/27,
из которой по теореме Виета следует, что α3 и β3 являются корнями уравнения t2+qt-p3/27=0. Отсюда находим: α3=-q/2+√q2/4+p3/27; β3=-q/2-√q2/4+p3/27, где √q2/4+p3/27 означает одно из возможных значений квадратного корня. Отсюда следует, что корни уравнения (11’) выражаются формулой D=(q/2)2+(p/3)3.
y1.2.3=n√-q/2+√q2/4+p3/27+3√-q/2-√q2/4+p3/27, причем для каждого из трех значение первого корня 3√α соответствующие значения второго корня 3√β нужно брать так, чтобы было выполнено условие αβ=-р/3. Полученная формула называется формулой Кардано (ее можно записать в более компактном виде у=3√α+3√β, где α=-q/2+√q2/4+p3/27; β=-q/2-√q2/4+p3/27. Подставив в нее вместо р и q их выражения через a,b,c и вычитая а/3, получим формулу для уравнения (11).
2. Метод Феррари для уравнения 4-ой степени.
Рассмотрим приведенное уравнение 4-ой степени x4+ax3+bx2+cx+d=0 (13). Сделав замену переменной х=у-а/4, получим уравнение у4+ру2+qy+r=0 (14) c коэффициентами p,q,r, зависящими от a,b,c,d. Преобразуем это уравнение к виду (y2+p/2)2+qy+(r-p2/4)=0, а затем, введя произвольное пока число α, представим его левую часть в равносильной форме (y2+p/2+α)2-[2α(y2+p/2)+α2-qy+p2/4-r]=0 (15)
Выберем теперь число α так, чтобы выражение в квадратных скобках 2αy2-qy+(αp+α2+p2/4-r) стало полным (точным) квадратом относительно у. Для этого нужно, чтобы его дискриминант был равен нулю, т.е. чтобы q2-8α(αp+α2+p2/4-r)=0, или 8α3+8pα2+8α(p2/4-r)-q2=0. Таким образом, для нахождения α получается уравнение 3-ей степени, и задача сводится к предыдущей. Если в качестве «α» взять один из корней этого уравнения, то левая часть уравнения (15) будет разностью квадратов и поэтому может быть разложена в произведение двух многочленов 2-ой степени относительно «у».
V. Дополнительные задачи и упражнения, связанные с использованием комплексных чисел.
1. Вычислить: ii2i3…i10=?
Решение: ii2i3…i10=i1+2+…+10=i11∙10/2=i55=ii54=i(i2)27=i(-1)27=-i.
2. Каков геометрический смысл выражений: а) |z|, б)Argz; в) |z1-z2|, г) Arg(z1/z2)?
Ответ: а) расстояние от начала координат до точки, изображающей комплексное число z;
б) угол, на который нужно повернуть действительную ось до совпадения с направлением вектора 0М, изображающего комплексное число z;
в) |z1-z2|- расстояние между точками z1 и z2, изображающими комплексные числа z1 и z2;
г) Arg(z1/z2) – угол между изображающими векторами 0z1 и 0z2.
3. Доказать, что cos3φ=cos3φ-3sin2φcosφ; sin3φ=3cos2φsinφ-sin3φ.
Доказательство: по формуле Муавра имеем: cos3φ+isin3φ=(cosφ+isinφ)3=(cos3φ-3cosφsin2φ)+(3cos2φsinφ-sin3φ)
, приравнивая действительные и мнимые части комплексных чисел, что cos3φ=cos3φ-3sin2φcosφ, sin3φ=3cos2φsinφ- sin3φ.
Похожие работы
... повышенным риском как для заемщиков, так и для кредиторов (18, 38). Таким образом, наиболее серьезными и объективными препятствиями для успешного и быстрого развития системы ипотечного кредитования в России является экономическая нестабильность, проблемы формирования среднего класса, низкий уровень жизни населения. Кроме того, государство должно оказать зримую государственную поддержку банкам, ...
... предполагает: использование различных, взаимодополняющих источников информации; сочетание ретроспективного анализа с прогнозом показателей, характеризующих конъюнктуру рынка; применение совокупности различных методов анализа и прогнозирования. При изучении конъюнктуры товарного рынка ставится задача не только определения состояния рынка на тот или иной момент, но и предсказания вероятного ...
... актов, направленных на сокращение ядерного вооружения, борьбу с «боевым» терроризмом и его финансированием. 1.2 Преодоление отсталости слаборазвитых стран Другая острейшая глобальная проблема современности заключается в преодолении отсталости в развитии большей части человечества. Отсталость – результат пересечения, теснейшего взаимодействия всех глобальных проблем, и чем глубже мы ...
... ". В соответствии с которой, последние могут представлять собой как раздельные, так и комплексные исследования рынка и маркетинговой деятельности фирмы. Принципиальной особенностью маркетингового исследования, отличающей его от сбора и анализа внутренней и внешней текущей информации, является его целевая направленность на решение определенной проблемы или комплекса проблем маркетинга. Эта ...
0 комментариев