Навигация
Основные понятия и арифметические действия над комплексными числами
26475
знаков
0
таблиц
6
изображений
1. Основные понятия и арифметические действия над комплексными числами.
Логически строгую теорию комплексных чисел построил в XIX в (1835 г) ирландский математик Вильям Роумен Гамильтон. По Гамильтону комплексные числа – это упорядоченные пары z=(x,y) действительных чисел, для которых следующим образом определены операции сложения и умножения:
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2, y1+y2); (1)
(x1,y1)∙(x2,y2)=(x1∙x2 – yiy2, xiy2 + x2y1). (2)
Действительные числа x и y называются при этом действительной и мнимой частями комплексного числа z=(x,y) и обозначаются символами Rez и Imz соответственно (real – действительный, imanginerum – мнимый).
Два комплексных числа z1=(x1,y1) и z2=(x2,y2) называются равными только в том случае, когда x1=x2 и y1=y2. Из определения следует, что всякое комплексное число (x,y) может быть представлено в следующем виде: (x,y)=(x,0)+(0,1)(y,0). (3)
Числа вида (х,0) отождествляются с действительными числами х, т.е. (х,0)=х, число (0,1), называемое мнимой единицей, обозначается символом i, т.е. (0,1)=i, причем i2=-1, равенство (3) принимает вид z=x+iy и называется алгебраической формой записи комплексного числа z=(x,y).
Операции сложения и умножения комплексных чисел имеют следующие свойства:
а) z1+z2=z2+z1 (переместительный закон или коммутативность сложения и умножения)
б) z1z2=z2z1
в) z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3 (сочетательный закон или ассоциативность)
г) z1(z2z3)=(z1z2)z3
д) (z1+z2)z3=z1z3+z2z3 (распределительный закон или дистрибутивность)
Вычитание и деление комплексных чисел z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2 определяют, причем однозначно, их разность z1-z2 и частное z1/z2 как решения соответствующих уравнений z+z2=z1 и zz2=z1 (при z2≠0). Отсюда следует, что разность и частное от деления z1 на z2 вычисляются по формулам:
z1-z2=(x1-x2)+i(y1-y2), (4)
z1/z2=(x1x2+y1y2)/(x22+y22) + i((y1x2-x1y2)/(x22+y22)) (5)
Данное определение можно выразить в других терминах, а именно, вычитание – как действие, обратное сложению: z=z1+(-z2), где число (-z2) называется противоположным z2; деление – как действие, обратное умножению: z=z1(z2-1), где z2-1 – число, обратное для z2 (z2≠0). Таким образом, анализ определений и свойств арифметических операций над комплексными числами приводит к следующим выводам:
- множество комплексных чисел (С) является расширением множества R действительных чисел, т.е. действительные числа содержатся как частный случай, среди комплексных (точно так же как, например, целые числа содержатся среди действительных);
- комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить по правилам, которым подчиняются действительные числа, заменяя в итоге (или в процессе вычислений) i2=-1.
2. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы.
Замечание. Понятия «больше» или «меньше» для комплексных чисел лишено смысла (не принято никакого соглашения).
Если на плоскости введена декартова система координат 0xy, то всякому комплексному числу z=x+iy может быть поставлена в соответствие некоторая точка М(х,у) с абсциссой «х» и ординатой «у», а также радиус – вектор 0М. При этом говорят, что точка М(х,у) (или радиус – вектор 0М) изображает комплексное число z=x+iy.
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа называется комплексной плоскостью, ось 0у – мнимой осью.
Число r=√x2+y2, равное длине вектора, изображающего комплексное число, т.е. расстоянию от начала координат до изображающей это число точки, называется модулем комплексного числа z=x+iy и обозначается символом |z|.
Угол φ=(0М,ˆ0х) между положительным направлением оси 0х и вектором 0М, изображающим комплексное число z=x+iy ≠0, называется его аргументом.
Из определения видно, что каждое комплексное число (≠0), имеет бесконечное множество аргументов. Все они отличаются друг от друга на целые кратные 2π и обозначаются единым символом Argz (для числа z=0 аргумент не определяется, не имеет смысла).
Каждое значение аргумента совпадает с величиной φ некоторого угла, на который следует повернуть действительную ось (ось 0ч) до совпадения ее направления с направлением радиус-вектора точки М, изображающей число z (при этом φ > 0, если поворот совершается против часовой стрелки и φ <0 в противном случае). Таким образом, аргумент комплексного числа z=x+iy ≠0 есть всякое решение φ системы уравнений cosφ=x/√x2+y2; sinφ=y/√x2+y2.
Значение Argz при условии 0≤Argz<2π называется главным значением аргумента и обозначается символом argz. В некоторых случаях главным значением аргумента считают наименьшее по абсолютной величине его значения, т.е. значение, выделяемое неравенством -π<φ≤π.
Между алгебраическими х, у и геометрическими r, φ характеристиками комплексного числа существует связь, выражаемая формулами x=rcosφ, y=rsinφ, следовательно, z=x+iy=r(cosφ+isinφ). Последнее выражение, т.е. z= r(cosφ+isinφ) (6) называется тригонометрической формой комплексного числа. Любое число z≠0 может быть представлено в тригонометрической форме.
Для практики число вида (cosφ+isinφ) удобнее записывать короче, с помощью символа eiφ=cosφ+isinφ (7). Доказанное для любых чисел φ (действительных или комплексных) это равенство называется формулой Эйлера. С ее помощью всякое комплексное число может быть записано в показательной форме z=reiφ (8)
Похожие работы
... повышенным риском как для заемщиков, так и для кредиторов (18, 38). Таким образом, наиболее серьезными и объективными препятствиями для успешного и быстрого развития системы ипотечного кредитования в России является экономическая нестабильность, проблемы формирования среднего класса, низкий уровень жизни населения. Кроме того, государство должно оказать зримую государственную поддержку банкам, ...
... предполагает: использование различных, взаимодополняющих источников информации; сочетание ретроспективного анализа с прогнозом показателей, характеризующих конъюнктуру рынка; применение совокупности различных методов анализа и прогнозирования. При изучении конъюнктуры товарного рынка ставится задача не только определения состояния рынка на тот или иной момент, но и предсказания вероятного ...
... актов, направленных на сокращение ядерного вооружения, борьбу с «боевым» терроризмом и его финансированием. 1.2 Преодоление отсталости слаборазвитых стран Другая острейшая глобальная проблема современности заключается в преодолении отсталости в развитии большей части человечества. Отсталость – результат пересечения, теснейшего взаимодействия всех глобальных проблем, и чем глубже мы ...
... ". В соответствии с которой, последние могут представлять собой как раздельные, так и комплексные исследования рынка и маркетинговой деятельности фирмы. Принципиальной особенностью маркетингового исследования, отличающей его от сбора и анализа внутренней и внешней текущей информации, является его целевая направленность на решение определенной проблемы или комплекса проблем маркетинга. Эта ...
0 комментариев