Минимизация риска портфеля

4.3 Минимизация риска портфеля.

Рассмотрим тот же самый портфель из двух финансовых инструментов х и у. Уровень риска каждого из них, то есть среднеквадратичное отклонение матожидания прибылей по ним, вычислить не трудно и, поэтому, эти величины мы рассматриваем как изначально известные. В таком случае дисперсия, отражающая уровень риска всего портфеля в целом будет равна:

Г

де VAR(R_p) – дисперсия (или среднеквадратичное отклонение, которое Вы скорее всего в курсе эконометрии обозначали как σ², квадратный корень которого давал Вам значение стандартного отклонения) матожиданий прибылей на портфель. Используя предыдущее уравнение мы имеем:

Следующие преобразования используют простые свойства матожидания и дисперсии, которые Вы должны уже знать из курсов статистики, теории вероятностей и эконометрии. Итак раскрываем скобки:

Э
лемент E[(R_x-E(R_x)(R_y-E(R_y)] называется ковариацией, который мы будем обозначать COV(R_x,R_y). По значению он равен произведению коэффициента корреляции между рассматриваемыми случайными величинами и стандартного отклонения каждого из них, то есть COV(x.y)= ρ_xyσ_xσ_x, следовательно риск всего портфеля, состоящего на а% из инструмента х, а на b% (или на (1-а)%) из инструмента у будет равен:

И
ли же:

Подставив 1-а вместо b мы получим квадратное уравнение с одним неизвестным а. Поскольку мы решаем задачу минимизации риска (или дисперсии) всего портфеля в целом, выраженного в σ_р² или в VAR(R_p), то взяв первую производную (которая будет уже полиномом первой степени) дисперсии портфеля относительно переменной а и приравняв её к нулю мы можем найти при каком значении а риск портфеля будет минимальным. Другими словами мы можем определить как нужно распределить инвестиционные ресурсы между двумя доступными финансовыми инструментами так, чтобы риск всего портфеля был минимальным. Сделав это Вы должны получить:

Таким образом проблема формирования портфеля, при котором максимизируется ожидаемая прибыль на единицу риска, из доступных ценных бумаг решена. Обратите внимание, что в формуле для дисперсии портфеля отрицательным может быть только 2abρ_xyσ_xσ_y из-за того, что там есть коэффициент корреляции, а кроме него, заметьте, всё является как минимум неотрицательным. Поэтому, чтобы минимизировать риск всего портфеля в целом необходимо выбирать такие инструменты коэффициент корреляции для которых будет очень маленьким. В таком случае значение 2abρ_xyσ_xσ_y будет очень маленьким, а в лучшем случае отрицательным.

4.4 Графическое представление теории.

Чтобы посмотреть каким образом корреляция между матожиданиями прибылей влияет на формирование портфеля рассмотрим опять же случай с двумя инструментами х и у, весовые доли которых в рассматриваемом портфеле равны a и b соответственно. Вспомните, что коэффициент корреляции может быть не более единицы и не менее минус единицы. Если коэффициент корреляции равен единице, то дисперсия ожидаемой прибыли портфеля будет описываться простым квадратным уравнением:

В таком случае стандартное отклонение ожидаемых прибылей равное квадратному корню дисперсии будет простым линейным уравнением σ_p=aσ_x+bσ_y и график будет соответственно линейным.

Если коэффициент корреляции ожидаемых прибылей равен минус единице, то аналогично, дисперсия ожидаемых прибылей портфеля будет также описываться простым квадратом, но уже не суммы, а разницы взвешенных стандартных отклонений, а стандартное отклонение ожидаемой прибыли на портфель будет соответственно σ_p=aσ_x-bσ_y, но обратите внимание на то, что в обоих случаях все переменные являются как минимум не отрицательными. В этом случае, коэффициент корреляции равен –1, оказывается возможно создать совершенный хэдж или принять совершенную хэджевую позицию⁹.

Для значений коэффициента корреляции в интервале (-1;1) график будет иметь параболический вид как показано на рисунке 2.1: чем больше будет коэффициент корреляции, тем ближе будет парабола к прямой АВ, а чем меньше – тем ближе к ломаной АСВ.

E(R_p) Рисунок 4.1

ρ_x,y=-1

С ρ_x,y=0.3

ρ_x,y=1

В

E(R_y)

σ_у σ_х σ_p

Здесь в точке С достигается совершенный хедж: положительная ожидаемая прибыль при нулевом риске – совершенная беспроигрышная ситуация для инвестора. Существование такой ситуации (зачастую означающей существование арбитража) практически невозможно в реалии. Во-первых потому, что практически невозможно найти два инструмента с коэффициентами корреляции ожидаемых прибылей равной точно минус единице, а во-вторых даже если получится найти, то такая беспроигрышная ситуация крайне скоротечна.

Похожие работы

Сборник экзаменационных билетов по английскому языку

Скачать

760921

0

0

... озвончения в середине слова после безударного гласного в словах французского происхождения. Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету ИСТОРИЯ АНГЛИЙСКОГО ЯЗЫКА И ВВЕДЕНИЕ В СПЕЦФИЛОЛОГИЮ Билет № 12 Дайте лингвистическую характеристику "Младшей Эдды". Проанализируйте общественные условия национальной жизни Англии, ...

Совершенствование туристско-экскурсионного обслуживания иностранных туристов в Санкт Петербурге

Скачать

188831

11

2

... распространение рекламно-информационных материалов. В период проведения Петербургского экономического форума работало более 200 «ангелов». 3. Основные пути решения в туристско-экскурсионном обслуживании иностранных туристов в Санкт-Петербурге (на базе Городского туристско-информационного центра)   Скоро лето – самый пик туристического сезона. В Санкт-Петербург приезжает множество иностранных и ...

Пешеходные туристские путешествия по Санкт-Петербургу

Скачать

115916

2

3

... по количеству предоставляемых услуг; • отсутствие тенденциозности в обслуживании (ненавязчивость услуг). 1.4 Туристские путешествия обусловленные транспортной инфраструктурой дестинации Для успешного функционирования туризма в дестинации необходим ряд условий, что непосредственно относится к Санкт-Петербургу: красивая окружающая природа, близость воды (море, река, озера и т.п.), наличие ...