Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули


1. Скалярне поле

Нехай  – область у тривимірному просторі (або на площині). Кажуть, що в області  задано скалярне поле, якщо кожній точці  поставлено у відповідність деяке число .

Прикладами скалярних полів є поле температури даного тіла, поле густини даного неоднорідного середовища, поле вологості повітря, поле атмосферного тиску, поле потенціалів заданого електростатичного поля тощо.

Поверхня (лінія), на якій функція  набуває одне й те саме значення, називається поверхнею (лінією) рівня скалярного поля (наприклад, поверхні або лінії постійної температури). Надаючи  різних постійних значень: , отримаємо сім’ю поверхонь (ліній) рівня даного скалярного поля.

Фізичні скалярні поля не залежать від вибору системи координат: величина  є функцією лише точки  і, можливо, часу (нестаціонарні поля).

Якщо в просторі ввести прямокутну систему координат , то точка  у цій системі координат матиме певні координати  і скалярне поле  стане функцією цих координат: .

2. Векторне поле

Кажуть, що в області  задано векторне поле, якщо кожній точці  поставлено у відповідність деякий вектор .

Фізичні приклади векторних полів: електричне поле системи електричних зарядів, яке характеризується в кожній точці вектором напруженості ; магнітне поле, утворене електричним струмом і яке характеризується в кожній точці вектором магнітної індукції ; поле тяжіння, утворене системою мас і яке характеризується в кожній точці вектором сили тяжіння , що діє в цій точці на одиничну масу; поле швидкостей потоку рідини, яке описується в кожній точці вектором швидкості .

Зручною геометричною характеристикою векторного поля  є векторні лінії – криві, в кожній точці  яких вектор  напрямлений по дотичній до кривої. Векторні лінії поля тяжіння, електричного і магнітного полів називається силовими лініями, а поля швидкостей – лініями струму.

Нехай векторна лінія, яка проходить через точку , описується рівнянням , де  – параметр. Умова колінеарності вектора поля  і дотичного вектора  в довільній точці цієї лінії має вигляд

,(1)

де  – деяке число. Умову (1) можна записати також у вигляді

(2)

або, помноживши на , у вигляді

.(3)

Кожне із рівнянь (1) – (3) є диференціальним рівнянням векторних ліній у векторній формі і визначає множину векторних ліній. Конкретна векторна лінія, яка проходить через задану точку , визначається додатковою умовою


,(4)

де  – радіус-вектор точки .

Фізичні векторні поля не залежать від системи координат: в кожній точці  вектор  повністю визначається своїм модулем  і напрямом. Якщо в просторі введена прямокутна система координат , то векторне поле  описується вектор-функцією трьох змінних  або трьома скалярними функціями – її координатами:

.

Оскільки в прямокутних координатах , то векторне рівняння (3) для векторних ліній еквівалентне системі диференціальних рівнянь

,(5)

а додаткове векторне рівняння (4) еквівалентне таким умовам:

,(6)

де  – координати точки .

 


Информация о работе «Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 9884
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 5

Похожие работы

Скачать
79093
54
9

... кта та алгоритму його функціонування, або алгоритму процесу, а також уявлення опису на різноманітних мовах здійснюється взаємодією людини і ЕОМ. Система автоматизованого проектування - це комплеск засобів автоматизації проектування, взаємозв’язаних з необхідними підрозділами проектної організації або колективом спеціалістів (користувачем системи), які виконують автоматизоване проектування. САПР ...

Скачать
25792
0
3

... на малому , g(x,y) стала y1 = y(x0 ) + y(x0 ) + g(x0, y0 ) x Повторюючи знайдемо y2 = y(x1+x)  y(x1) + g(x1, y1 ) x yn= yn-1+ g(xn-1 ,yn-1) x, (n=0,1,2…) нахил дотичної визначається початковою точкою інтервалу. 2.3. Програма для комп’ютера.   Алгоритм методу. 1. Вибирається початкова умова, величина кроку і кількість ітерацій (кроків). 2. Визначається y і нахил у початковій точці ...

Скачать
203045
16
63

... мальне значення показникунадійності, при якому приймається рішення про орєінтованийзвязок назвем порогом показника надійності і позначимо (). Для можливості порівняння результатів у різних парах змінних в одній задачі системного синтезу корисно ввести відносний показник надійності. Відносним показником надійності ηij приняття рішення про напрям звязку між змінними xj → xi (стрілка в ...

Скачать
70664
8
1

... здійснювати на ведучому навчальному матеріалі. 6.       Формування прийомів розумової діяльності вимагає врахування індивідуально-вікових особливостей учнів.   1.2 Формування уміння порівнювати в процесі навчання математики   Порівняння в навчанні – це розумова операція, за допомогою якої встановлюються риси подібності і відмінності між визначеними предметами і явищами. Пізнання будь-якого ...

0 комментариев


Наверх