4. Градієнт скалярного поля

скалярне векторне поле дивергенція

Означення. Градієнтом скалярного поля  називається вектор-функція

.


Із рівності (7) випливає, що

,(8)

Звідси , оскільки .

Тут  – кут між векторами  і  в точці . Очевидно, що  має найбільше значення при , тобто у напрямі  в даній точці. Інакше кажучи, вектор  в даній точці вказує напрям найбільшого зростання поля  (функції ) у цій точці, а  є швидкість зростання функції  в цьому напрямі. Таким чином, вектор  не залежить від вибору системи координат, а його модуль і напрям у кожній точці визначається самою функцією .

 

5. Потенціальне поле

 

Означення. Векторне поле  називається потенціальним в області , якщо воно збігається в області  з полем градієнта деякого скалярного поля :

.(9)

Функція  називається скалярним потенціалом векторного поля . Якщо , то із рівності (9) випливає, що


.

Інколи потенціалом векторного поля  називають таку функцію , що .

Розглянемо, наприклад, поле тяжіння точкової маси , розміщеної на початку координат. Воно описується вектор-функцією  ( – гравітаційна стала, ). З такою силою діє це поле на одиничну масу, розміщену в точці . Поле тяжіння є потенціальним. Його можна подати у вигляді градієнта скалярної функції , яка називається ньютонівським потенціалом поля тяжіння точкової маси . Дійсно

.

Аналогічно , звідси

.

Далі, розглянемо ще один приклад. Нехай задано електричне поле точкового заряду , розміщеного на початку координат. Воно описується в точці  вектором напруженості


.

Це поле також є потенціальним полем. Його можна подати у вигляді . Функція  називається потенціалом електричного поля точкового заряду .

Поверхні рівня потенціала  називаються еквіпотенціальними поверхнями.

 


Информация о работе «Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 9884
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 5

Похожие работы

Скачать
79093
54
9

... кта та алгоритму його функціонування, або алгоритму процесу, а також уявлення опису на різноманітних мовах здійснюється взаємодією людини і ЕОМ. Система автоматизованого проектування - це комплеск засобів автоматизації проектування, взаємозв’язаних з необхідними підрозділами проектної організації або колективом спеціалістів (користувачем системи), які виконують автоматизоване проектування. САПР ...

Скачать
25792
0
3

... на малому , g(x,y) стала y1 = y(x0 ) + y(x0 ) + g(x0, y0 ) x Повторюючи знайдемо y2 = y(x1+x)  y(x1) + g(x1, y1 ) x yn= yn-1+ g(xn-1 ,yn-1) x, (n=0,1,2…) нахил дотичної визначається початковою точкою інтервалу. 2.3. Програма для комп’ютера.   Алгоритм методу. 1. Вибирається початкова умова, величина кроку і кількість ітерацій (кроків). 2. Визначається y і нахил у початковій точці ...

Скачать
203045
16
63

... мальне значення показникунадійності, при якому приймається рішення про орєінтованийзвязок назвем порогом показника надійності і позначимо (). Для можливості порівняння результатів у різних парах змінних в одній задачі системного синтезу корисно ввести відносний показник надійності. Відносним показником надійності ηij приняття рішення про напрям звязку між змінними xj → xi (стрілка в ...

Скачать
70664
8
1

... здійснювати на ведучому навчальному матеріалі. 6.       Формування прийомів розумової діяльності вимагає врахування індивідуально-вікових особливостей учнів.   1.2 Формування уміння порівнювати в процесі навчання математики   Порівняння в навчанні – це розумова операція, за допомогою якої встановлюються риси подібності і відмінності між визначеними предметами і явищами. Пізнання будь-якого ...

0 комментариев


Наверх