Оператор Гамільтона

9. Оператор Гамільтона

Згадаємо, що символ  називається оператором частинної похідної по . Під добутком цього оператора на функцію  розумітимемо частинну похідну , тобто . Аналогічно,  і  – оператори частинних похідних по  і по .

Введемо векторний оператор «набла» або оператор Гамільтона:

.

За допомогою цього символічного (операторного) «вектора» зручно записувати і виконувати операції векторного аналізу.

У результаті множення вектора  на скалярну функцію  отримуємо :

.

Скалярний добуток вектора  на вектор – функцію  дає :

.

Векторний добуток вектора  на вектор – функцію  дає :

.

10. Нестаціонарні поля

Нехай в області  визначено нестаціонарне скалярне поле : величина  є функцією точки  і часу . Приклад такого поля – змінний з часом розподіл температури в будь-якому середовищі (наприклад, в потоці рідини). Розглянемо точку , яка рухається в області  (частинку рідини). Координати точки (частинки) змінюються з часом за відомим законом . Величина  в рухомій точці  є складеною функцією :

.

Обчислимо похідну по  цієї функції (вона називається повною похідною). За правилом диференціювання складеної функції знаходимо

.

Вводячи в точці  вектор швидкості , отримуємо

Або

.(11)

Аналогічно, якщо в області  задано нестаціонарне векторне поле , то для рухомої точки  векторна величина  є складеною функцією : . Повну похідну по  для кожної координати вектор – функції  можна обчислити за формулою (11). Помноживши результати на базисні вектори  і складаючи, отримуємо

.(12)

У формулах (11) і (12) доданки  і  виражають швидкості зміни величин  та  з часом при фіксованих координатах, тобто характеризують локальні зміни цих величин, і тому називаються локальними похідними. Доданки  і  утворюються за рахунок зміни координат точки, її руху (конвекції). Тому ці доданки у виразах повних похідних називаються конвективними похідними.

Локальні похідні характеризують нестаціонарність розглянутого поля у даній точці простору. Конвективні похідні характеризують неоднорідність поля у даний момент часу.

Похожие работы

Системи автоматизованого проектування

Скачать

79093

54

9

... кта та алгоритму його функціонування, або алгоритму процесу, а також уявлення опису на різноманітних мовах здійснюється взаємодією людини і ЕОМ. Система автоматизованого проектування - це комплеск засобів автоматизації проектування, взаємозв’язаних з необхідними підрозділами проектної організації або колективом спеціалістів (користувачем системи), які виконують автоматизоване проектування. САПР ...

Використання комп’ютерів у фізиці

Скачать

25792

0

3

... на малому , g(x,y) стала y1 = y(x0 ) + y(x0 ) + g(x0, y0 ) x Повторюючи знайдемо y2 = y(x1+x)  y(x1) + g(x1, y1 ) x yn= yn-1+ g(xn-1 ,yn-1) x, (n=0,1,2…) нахил дотичної визначається початковою точкою інтервалу. 2.3. Програма для комп’ютера.   Алгоритм методу. 1. Вибирається початкова умова, величина кроку і кількість ітерацій (кроків). 2. Визначається y і нахил у початковій точці ...

Системный анализ и проект

Скачать

203045

16

63

... мальне значення показникунадійності, при якому приймається рішення про орєінтованийзвязок назвем порогом показника надійності і позначимо (). Для можливості порівняння результатів у різних парах змінних в одній задачі системного синтезу корисно ввести відносний показник надійності. Відносним показником надійності ηij приняття рішення про напрям звязку між змінними xj → xi (стрілка в ...

Вміння порівнювати в процесі навчання математики

Скачать

70664

8

1

... здійснювати на ведучому навчальному матеріалі. 6.       Формування прийомів розумової діяльності вимагає врахування індивідуально-вікових особливостей учнів.   1.2 Формування уміння порівнювати в процесі навчання математики   Порівняння в навчанні – це розумова операція, за допомогою якої встановлюються риси подібності і відмінності між визначеними предметами і явищами. Пізнання будь-якого ...