В силу экономического содержания этих параметров. Согласно теореме Виета

 0 в силу экономического содержания этих параметров. Согласно теореме Виета,

 ,(14)

Условие D = 0, разделяющее колебательные и неколебательные решения, теперь имеет вид

При характеристическое уравнение имеет вещественные корни. Из неотрицательности параметров C_y и  и равенств (14) следует, что оба корня неотрицательны и обе компоненты решения (10) изменяются монотонно. При решение носит колебательный характер.

Условие устойчивости (13) теперь принимает вид

т.е. представляет собой систему неравенств

На рис. 4. устойчивому движению соответствуют области I (монотонное движение) и II (колебательное движение). Неустойчивому движению соответствуют области III (колебательное движение) и IV (монотонное). Области V соответствуют синусоидальные колебания с постоянной амплитудой.

[5]

Рис. 4. Стилизованные фазы экономического цикла

Разностные уравнения играют большую роль в экономической теории. Многие экономические законы доказывают с помощью именно этих уравнений, они используются в тех случаях, когда запаздывание оказывает существенное влияние на рассматриваемые процессы. В социально – экономических науках в целях простоты модели, связанные с запаздыванием, записывают в виде разностных уравнений, то есть в виде уравнений с дискретным временем. Наиболее широкое распространение разностные уравнения в экономической теории

Применение разностных уравнений в экономике представлено в моделях:

1.  Модель рынка с запаздыванием сбыта.

2.  Рыночная модель с запасами.

3.  Динамическая модель Леонтьева.

4.  Модель экономического цикла Самуэльсона – Хикса.

ГЛАВА 2. МОДЕЛЬ САМУЭЛЬСОНА-ХИКСА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

2.1 Модель Самуэльсона-Хикса

Модель Самуэльсона-Хикса включает в себя только рынок благ, и поэтому уровень цен и ставка процента предполагаются неизменными; объем предложения благ совершенно эластичен.

Объем потребления домашних хозяйств в текущем периоде зависит от величины их дохода в предшествующем периоде

 

C_t = C_a,t + C_yy_t-1,

где C_a - автономное потребление.

Предприниматели осуществляют автономные инвестиции, объем которых при заданной ставке процента фиксирован, и индуцированные инвестиции, зависящие от прироста совокупного спроса в предшествующем периоде

 

I_t = I_a,t + (y_t-1 - y_t-2).

На рынке благ установится динамическое равновесие, если

,(15)

где A_t = С_a,t + I_a,t.

Уравнение (15) является неоднородным конечно-разностным уравнением второго порядка, характеризующим динамику национального дохода во времени.

Уравнение (9.1) является неоднородным конечно-разностным уравнением второго порядка, характеризующим динамику национального дохода во времени.

При фиксированной величине автономных расходов (A_t = A = const) в экономике достигается динамическое равновесие, когда объем национального дохода стабилизируется на определенном уровне , т.е.y_t = y_t-1 = y_t-2 = ... = y_t-n = , где n - число периодов с неизменной величиной автономных расходов.

Из уравнения (15) следует, что  = A/(1 - C_y).

Посмотрим, какова будет динамика национального дохода, если в состоянии динамического равновесия изменится величина автономного спроса.

Освободимся от неоднородности в уравнении (15). Значения y_t и удовлетворяют равенству (15), поэтому можно записать следующее однородное конечно-разностное уравнение второй степени с постоянными коэффициентами:

,(16)

где y_t y_t - .

Так как y_t =  + y_t, то направление изменения y_t определяется направлением изменения y_t.

Из теории решения дифференциальных и конечно-разностных уравнений следует, что характер изменения y_t зависит от значения дискриминанта характеристического уравнения. Поскольку в данном случае дискриминант равен (C_y + )² - 4, то динамика национального дохода зависит от предельной склонности к потреблению, определяющей величины мультипликатора и акселератора.

Если (C_y + )² - 4 > 0, то изменение y_t происходит монотонно; при (C_y + )² - 4 < 0 оно будет колебательным. Следовательно, график функции , изображенный на рис. 5, отделяет множество сочетаний C_y, , обеспечивающих монотонное изменение y_t, от множества комбинаций из значений C_y, , приводящих к колебаниям y_t.

Устремляется ли значение y_t к некоторой конечной величине или уходит в бесконечность, зависит от значения последнего слагаемого характеристического уравнения. Если  < 1, то равновесие установится на определенном уровне. При  > 1 нарушенное 1 раз равновесие больше не восстановится. Когда  = 1 , тогда значение y_t будет колебаться с постоянной амплитудой.

[6]

Рис. 5. Четыре областисочетаний C_y,

В результате все множество сочетаний C_y и оказалось разделенным на пять областей, как это показано на рис. 5. Если значения C_y и  указывают на область I, то после нарушения равновесия в результате изменения автономного спроса значение y_t монотонно устремится к новому равновесному уровню При значениях C_y и , находящихся в области II, национальный доход достигнет нового равновесного уровня, пройдя через затухающие колебания. Сочетания значений C_y и , расположенные справа от перпендикуляра, опущенного из точки B на ось абсцисс, соответствуют нестабильному равновесию. Когда сочетания значений C_y, указывают на область III, тогда динамика y_t приобретает характер взрывных колебаний. Комбинации значений C_y,  в области IV приводят к тому, что после нарушения равновесия y_t монотонно устремляется в бесконечность. И наконец, если акселератор равен единице, то при любом значении предельной склонности к потреблению в случае нарушения равновесия возникают равномерные незатухающие колебания y_t.