Дисперсия ДСВ и ее свойства

12. Дисперсия ДСВ и ее свойства

Математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания:

D(X) = M(x-M(X)²) = =(х₁-М(Х))²р₁+(х₂-М(Х))²р₂+....+(x_n-М(Х))²р_n .(2.3.2)

Свойства дисперсии:

1) D(С) = 0, где С=соnst;

2) D(CX)=C²D(X);

3) D(X)=M(X²)-(M(X))², где М(Х²) = х²₁ р₁ + x²₂ p₂ + ...+ х²_n р_n;

4) Если СВ X и Y независимы, то D(X±Y)=D(X) + D(Y);

5) D(OX)=D(X);

6) Для любых СВ X и Y, D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2cov(X,Y), где cov(X,Y)=M((X-m_x)(Y-m )) - ковариация случайных величин X и Y (М(Х)= m_x, M(Y)= m).

Дисперсия характеризует средний квадрат отклонения ДСВ, поэтому на практике часто используют в качестве характеристики разброса среднее квадратическое отклонение σ(Х)= √D(X) , которое имеет ту же размерность, что и СВ X.

Для биноминального закона

D(X)=npq, σ(X)=√npq;

для геометрического закона D(X)= q/p²;

для гипергеометрического D(X)=n(M/N)(1-M/N)(N-n)/(N-1);

для распределения Пуассона D(X)=λ.

Только для распределения Пуассона M(X)=D(X)= λ.

13. Показательное распределение.

НСВ X, принимающая неотрицательные значения, имеет показательное распределение, если ее дифференциальная функция имеет вид

где Я =const, Я >0.

Интегральная функция показательного закона с параметром λ:

Рис. Показательный закон

Если СВ X распределена по показательному закону, то:

1. Математическое ожидание М(Х) = 1/λ ;

2. Дисперсия D(X)=1/λ², среднее квадратическое отклонение

σ(X)=√D=1/λ.

3. Вероятность попадания СВ X в заданный интервал определяется по формуле

Р(а≤х<b) = е^-λа-е^-λb.

Замечание. Показательное распределение играет большую роль в теории массового обслуживания (ТМО), теории надежности. В ТМО параметр X - среднее число событий, приходящихся на единицу времени. При определенных условиях число событий, произошедших за промежуток времени т, распределено по закону Пуассона с математическим ожиданием а =λτ. Длина промежутка t, между произвольными двумя соседними событиями, подчиняется показательному закону: P(T<t)=F(t)=l-e^λt.

14. Закон распределения дискретной случайной величины

1. Биномиальный закон распределения. Случайная величина X принимает значения 0, 1, 2, 3, 4, 5,...,n, с вероятностью, определяемой по формуле Бернулли:

2. Закон распределения Пуассона. Случайная величина X принимает бесконечное счетное число значений: 0, 1, 2, 3, 4, 5,..., к,... , с вероятностью, определяющейся по формуле Пуассона:

где Х>0 - параметр распределения Пуассона.

При n→∞ и р→0 биномиальный закон приближается к закону распределения Пуассона, где λ, = np.

Геометрический закон распределения. Пусть Р(А)=р - вероятность наступления события А в каждом опыте, соответственно, q=l-p - вероятность не наступления события А.

Вероятность наступления события А в к-ом опыте определяется по формуле:

P(X=k)=p-q^k-1. (2.2.2.)

Случайная величина X, распределенная по геометрическому закону принимает значения 1, 2,...,к,... , с вероятностью, определяемой по формуле (2.2.2):

4. Гипергеометрический закон распределения. Пусть в урне N-шаров, из них М белых, а остальные (N - М) черные. Найдем вероятность того, что из извлеченных n шаров m белых и (n-m) черных.

N= М + (N-M); n = m + (n-m);

С^m_M - число способов выбора m белых шаров из М;

С^n-m_N-M- число способов выбора (n-m) черных шаров из (N-M).

По правилу произведения, число всех возможных наборов из m белых и (n-m) черных равно С^m_M С^n-m_N-M;

Cⁿ_N- общее число способов выбора из N шаров n.

Отсюда, по формуле классического определения вероятности, P(A)= (С^m_M С^n-m_N-M)/ Cⁿ_N

Ограничения на параметры: М≤N, m≤n; m = m₀, m₀ +1, m₀+2,..., min(M,n), где m₀=max{0, n-(N-M)}. Случайная величина Х, распределенная по гипергеометрическому закону распределения (при т=0,1,2,3,...,М), имеет вид:

Гипергеометрический закон определяется тремя параметрами N, М, n. При n<0,1N этот закон стремится к биномиальному.

Замечание.

1. В теории вероятностей различают две основные схемы: выбора элементов с возвращением каждый раз обратно и выбора без возвращения, которые описываются соответственно биномиальным и гипергеометрическим законами.

2. Геометрический закон описывает схему повторения опытов (в каждом из которых может наступить или не наступить событие А: Р(А)=р, q=l-p), до первого появления события А, то есть фактически это отрицательное биномиальное распределение при m=1.

16. Одинаково распределённые, взаимонезависимые дискретные случайные величины

СВ называют одинаково распределенными, если они имеют одинаковые законы распределения. Поэтому у них совпадают числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Пусть X₁, Х₂,..., Х_n одинаково распределенные, взаимонезависимые ДСВ, тогда:

M(X₁) = М(Х₂) = ... = М(Х_n) = М(Х), D(X₁) = D(X₂) = ...= D(X_n)=D(X).

Рассмотрим характеристики их средней арифметической X = (X₁+X₂+…+X_n)/n:

-стандартное отклонение СВ X.

Дисперсия относительной частоты (m/n) появления события А в n независимых испытаниях (в каждом из которых событие А появляется с вероятностью равной р, и не появляется с вероятностью q= 1-р; m-число появлений события А в серии из n испытаний), определяется по формуле

Похожие работы

Теория вероятности и математическая статистика

Скачать

59066

6

49

... Доказать: По определению второй смешанной производной. Найдем по двумерной плотности одномерные плотности случайных величин X и Y. Т.к. полученное равенство верно для всех х, то подинтегральные выражение аналогично В математической теории вероятности вводится как базовая формула (1) ибо предлагается, что плотность вероятности как аналитическая функция может не существовать. Но т.к. в нашем ...

Теория вероятностей

Скачать

25559

0

0

... равна 0,515). Конец 19 в. и 1-я половина 20 в. отмечены открытием большого числа статистических закономерностей в физике, химии, биологии и т.п. Возможность применения методов теории вероятностей к изучению статистических закономерностей, относящихся к весьма далёким друг от друга областям науки, основана на том, что вероятности событий всегда удовлетворяют некоторым простым соотношениям, о ...

Курс лекций по теории вероятностей

Скачать

125259

9

8

... {ξn (ω )}¥n=1 . Поэтому, во-первых, можно говорить о знакомой из математического анализа (почти) поточечной сходимости последовательностей функций: о сходимости «почти всюду», которую в теории вероятностей называют сходимостью «почти наверное». Определение 46. Говорят, что последовательность с. в. {ξn } сходится почти наверное к с. в. ξ при n ® ¥ , и пишут: ξn ...

Теория Вероятностей

Скачать

34707

0

6

... ничего другого, кроме как опять же события и . Действительно, имеем: *=, *=, =, =. Другим примером алгебры событий L является совокупность из четырех событий: . В самом деле: *=,*=,=,. 2.Вероятность. Теория вероятностей изучает случайные события. Это значит, что до определенного момента времени, вообще говоря, нельзя сказать заранее о случайном событии А произойдет это событие или нет. Только ...