Из (33.1) следует

3. Из (33.1) следует

,

поскольку . Таким образом, справедливо равенство

. (33.5)

4. Поскольку , то из соотношения (33.5) следует

(33.6)

- равенство, которое называется условием нормировки. Его левая часть  - это вероятность достоверного события.

5. Пусть , тогда из (33.1) следует

. (33.7)

Это соотношение имеет важное значение для приложений, поскольку позволяет вычислить вероятность  через плотность вероятности  или через функцию распределения вероятностей . Если положить , то из (33.7) следует соотношение (33.6).

На рис. 33.1 представлены примеры графиков функции распределения и плотности вероятностей.

Рис. 33.1. Примеры функции распределения вероятностей и плотности вероятности.

Отметим, что плотность распределения вероятности может иметь несколько максимумов. Значение  аргумента , при котором плотность  имеет максимум называется модой распределения случайной величины . Если плотность  имеет более одной моды, то  называется многомодальной.

Плотность распределения вероятностей дискретной случайной величины

Пусть случайная величина  принимает значения  с вероятностями , . Тогда ее функция распределения вероятностей

, (34.1)

где  - функция единичного скачка. Определить плотность вероятности  случайной величины  по ее функции распределения  можно с учетом равенства . Однако при этом возникают математические сложности, связанные с тем, что функция единичного скачка , входящая в (34.1), имеет разрыв первого рода при . Поэтому в точке  не существует производная  функции .

Для преодоления этой сложности вводится -функция. Функцию единичного скачка можно представить через -функцию следующим равенством:

. (34.2)

Тогда формально производная

(34.3)

и плотность вероятности дискретной случайной величины определяется из соотношения (34.1) как производная функции :

. (34.4)

Функция (34.4) обладает всеми свойствами плотности вероятности. Рассмотрим пример. Пусть дискретная случайная величина  принимает значения  с вероятностями , и пусть , . Тогда вероятность  - того, что случайная величина  примет значение из отрезка  может быть вычислена, исходя из общих свойств плотности по формуле:

 .

Здесь

,

поскольку особая точка - функции, определяемая условием , находится внутри области интегрирования при , а при  особая точка находится вне области интегрирования. Таким образом,

.

Для функции (34.4) также выполняется условие нормировки:

.

Отметим, что в математике запись вида (34.4) считается некорректной (неправильной), а запись (34.2) - корректной. Это обусловлено тем, что -функция при нулевом аргументе , и говорят, что  не существует. С другой стороны, в (34.2) -функция содержится под интегралом. При этом правая часть (34.2) - конечная величина для любого , т.е. интеграл от -функции существует. Несмотря на это в физике, технике и других приложениях теории вероятностей часто используется представление плотности в виде (34.4), которое, во-первых, позволяет получать верные результаты, применяя свойства - функции, и во-вторых, имеет очевидную физическую интерпретацию.

Примеры плотностей и функций распределения вероятностей

35.1. Случайная величина  называется равномерно распределенной на отрезке , если ее плотность распределения вероятностей

(35.1)

где  - число, определяемое из условия нормировки:

. (35.2)

Подстановка (35.1) в (35.2) приводит к равенству, решение которого относительно  имеет вид: .

Функция распределения вероятностей  равномерно распределенной случайной величины может быть найдена по формуле (33.5), определяющей  через плотность:

(35.3)

На рис. 35.1 представлены графики функций  и  равномерно распределенной случайной величины.

Рис. 35.1. Графики функции и плотности распределения

 равномерно распределенной случайной величины.

35.2. Случайная величина  называется нормальной (или гауссовой), если ее плотность распределения вероятностей:

, (35.4)

где ,  - числа, называемые параметрами функции . При  функция  принимает свое максимальное значение: . Параметр  имеет смысл эффективной ширины . Кроме этой геометрической интерпретации параметры ,  имеют и вероятностную трактовку, которая будет рассмотрена в последующем.

Из (35.4) следует выражение для функции распределения вероятностей

, (35.5)

где  - функция Лапласа. На рис. 35.2 представлены графики функций  и  нормальной случайной величины. Для обозначения того, что случайная величина  имеет нормальное распределение с параметрами  и  часто используется запись .

Рис. 35.2. Графики плотности и функции распределения

 нормальной случайной величины.

35.3. Случайная величина  имеет плотность распределения вероятностей Коши, если

. (35.6)

Этой плотности соответствует функция распределения

.

(35.7)

 

35.4. Случайная величина  называется распределенной по экспоненциальному закону, если ее плотность распределения вероятностей имеет вид:

(35.8)

Определим ее функцию распределения вероятностей. При  из (35.8) следует . Если , то

. (35.9)