Случайные величины

Случайные величины

 

Оглавление

 

Случайные величины.. 2

Функция распределения вероятностей.. 3

Основные свойства функции распределения вероятностей.. 5

Функция распределения вероятностей дискретной случайной величины 6

Плотность распределения вероятностей.. 7

Плотность распределения вероятностей дискретной случайной величины 9

Примеры плотностей и функций распределения вероятностей.. 10

Сингулярные случайные величины.. 13

Математическое ожидание случайной величины.. 15

Примеры вычисления математического ожидания случайной величины.. 17

Свойства математического ожидания. 19

Дисперсия случайной величины.. 20

Моменты случайной величины.. 22

Неравенство Чебышева. 23

Коэффициент асимметрии.. 25

Коэффициент эксцесса. 26

Среднеквадратическая ошибка. 27

Характеристическая функция. 28

Основные свойства характеристической функции.. 29

Примеры вычисления характеристической функции.. 30

Моменты, кумулянты и характеристическая функция. 31

 

Случайные величины

Выше рассматривались эксперименты, результаты которых являются случайными событиями. Однако часто возникает необходимость количественного представления результатов эксперимента в виде некоторой величины , которая называется случайной величиной. Случайная величина является вторым (после случайного события) основным объектом изучения теории вероятностей и обеспечивает более общий способ описания опыта со случайным исходом, чем совокупность случайных событий.

Рассматривая эксперименты со случайным исходом, мы уже имели дело со случайными величинами. Так, число успехов  в серии из  испытаний - пример случайной величины. Другими примерами случайных величин являются: число вызовов на телефонной станции за единицу времени; время ожидания очередного вызова; число частиц с заданной энергией в системах частиц, рассматриваемых в статистической физике; средняя суточная температура в данной местности и т.д.

Случайная величина характерна тем, что невозможно точно предсказать ее значение, которое она примет, но с другой стороны, множество ее возможных значений обычно известно. Так для числа успехов в последовательности из  испытаний это множество конечно, поскольку число успехов может принимать значения . Множество значений случайной величины, может совпадать с вещественной полуосью , как в случае времени ожидания и т.д.

Рассмотрим примеры экспериментов со случайным исходом, для описания которых обычно применяются случайные события и введем эквивалентное описание с помощью задания случайной величины.

1). Пусть результатом опыта может быть событие  или событие . Тогда этому эксперименту можно поставить в соответствие случайную величину , которая принимает два значения, например,  и  с вероятностями  и , причем имеют место равенства:  и . Таким образом, опыт характеризуется двумя исходами  ис вероятностями  и , или этот же опыт характеризуется случайной величиной , принимающей два значения  и  с вероятностями  и .

2). Рассмотрим опыт с бросанием игральной кости. Здесь исходом опыта может быть одно из событий , где  - выпадение грани с номером . Вероятности , . Введем эквивалентное описание этого опыта с помощью случайной величины , которая может принимать значения  с вероятностями , .

3). Последовательность  независимых испытаний характеризуется полной группой несовместных событий , где  - событие, состоящее в появлении  успехов в серии из  опытов; причем вероятность события  определяется формулой Бернули, т.е. . Здесь можно ввести случайную величину  - число успехов, которая принимает значения  с вероятностями . Таким образом, последовательность независимых испытаний характеризуется случайными событиями  с их вероятностями  или случайной величиной  с вероятностями того, что  принимает значения : , .

4). Однако, не для всякого опыта со случайным исходом существует столь простое соответствие между случайной величиной и совокупностью случайных событий. К примеру, рассмотрим эксперимент, в котором точка наугад бросается на отрезок . Здесь естественно ввести случайную величину  - координату на отрезке , в которую попадает точка. Таким образом, можно говорить о случайном событии , где  - число из . Однако вероятность этого события . Можно поступить иначе - отрезок  разбить на конечное число непересекающихся отрезков  и рассматривать случайные события, состоящие в том, что случайная величина  принимает значения из интервала . Тогда вероятности  - конечные величины. Однако и этот способ имеет существенный недостаток, поскольку отрезки  выбираются произвольным образом. Для того, чтобы устранить этот недостаток рассматривают отрезки вида , где переменная . Тогда соответствующая вероятность

(29.1)

является функцией аргумента . Это усложняет математическое описание случайной величины, но при этом описание (29.1) становится единственным, устраняется неоднозначность выбора отрезков .

Для каждого из рассмотренных примеров несложно определить вероятностное пространство , где  - пространство элементарных событий,  - - алгебра событий (подмножеств ),  - вероятность, определенная для любого . Например, в последнем примере , - - алгебра всех отрезков , содержащихся в .

Рассмотренные примеры приводят к следующему определению случайной величины.

Пусть  - вероятностное пространство. Случайной величиной  называется однозначная действительная функция , определенная на , для которой множество элементарных событий вида  является событием (т.е. принадлежат ) для каждого действительного числа .

Таким образом, в определении требуется, чтобы для каждого вещественного  множество , и это условие гарантирует, что для каждого  определена вероятность события . Это событие принято обозначать более краткой записью .

Функция распределения вероятностей

Функция

, , (30.1)

называется функцией распределения вероятностей случайной величины .

Функция  иногда называется кратко – функция распределения, а также – интегральным законом распределения вероятностей случайной величины . Функция  является полной характеристикой случайной величины, то есть представляет собой математическое описание всех свойств случайной величины и более детального способа описания этих свойств не существует.

Отметим следующую важную особенность определения (30.1). Часто функцию  определяют иначе:

, . (30.2)

Согласно (30.1) функция  является непрерывной справа. Этот вопрос подробнее будет рассмотрен ниже. Если же использовать определение (30.2), то  - непрерывна слева, что является следствием применения строгого неравенства в соотношении (30.2). Функции (30.1) и (30.2) представляют собой эквивалентные описания случайной величины, поскольку не имеет значения каким определением пользоваться как при изучении теоретических вопросов, так и при решении задач. Для определенности в дальнейшем будем использовать только определение (30.1).

Рассмотрим пример построения графика функции . Пусть случайная величина  принимает значения , ,  с вероятностями , , причем . Таким образом, другие значения кроме указанных данная случайная величина принимает с нулевой вероятностью: , для любого , . Или как говорят, других значений кроме , ,  случайная величина  не может принимать. Пусть для определенности . Найдем значения функции  для  из интервалов: 1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) , 7) . На первом интервале , поэтому функция распределения . 2). Если , то . Очевидно случайные события  и  несовместны, поэтому по формуле сложения вероятностей . По условию событие  невозможное и , а . Поэтому . 3). Пусть , тогда . Здесь первое слагаемое , а второе , поскольку событие  - невозможное. Таким образом  для любого , удовлетворяющего условию . 4). Пусть , тогда . 5). Если , то . 6) При  имеем . 7) Если , то . Результаты вычислений представлены на рис. 30.1 графиком функции . В точках разрыва , ,  указана непрерывность функции справа.

Рис. 30.1. График функции распределения вероятностей.

Основные свойства функции распределения вероятностей

Рассмотрим основные свойства функции распределения, следующие непосредственно из определения:

. (31.1)

1. Введем обозначение: . Тогда из определения следует . Здесь выражение  рассматривается как невозможное событие с нулевой вероятностью.

2. Пусть . Тогда из определения функции  следует . Случайное событие  является достоверным и его вероятность равна единице.

3. Вероятность  случайного события , состоящего в том, что случайная величина  принимает значение из интервала  при  определяется через функцию  следующим равенством

. (31.2)

Для доказательства этого равенства рассмотрим соотношение

. (31.3)

События  и  несовместны, поэтому по формуле сложения вероятностей из (31.3) следует

, (31.4)

что и совпадает с формулой (31.2), поскольку  и .

4. Функция  является неубывающей. Для доказательства рассмотрим . При этом справедливо равенство (31.2). Его левая часть , поскольку вероятность принимает значения из интервала . Поэтому и правая часть равенства (31.2) неотрицательна: , или . Это равенство получено при условии , поэтому  - неубывающая функция.

5. Функция  непрерывна справа в каждой точке, т.е.

, (31.5)

где  - любая последовательность, стремящаяся к  справа, т.е.  и .

Для доказательства представим функцию  в виде:

. (31.5)

Отсюда

. (31.6)

Теперь на основании аксиомы счетной аддитивности вероятности выражение в фигурных скобках равно , таким образом

 , что и доказывает непрерывность справа функции .

Таким образом, каждая функция распределения вероятностей обладает свойствами 1-5. Верно и обратное утверждение: если , , удовлетворяет условиям 1-5 ,то она может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины.

Функция распределения вероятностей дискретной случайной величины

Случайная величина  называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетно.

Для полного вероятностного описания дискретной случайной величины , принимающей значения , достаточно задать вероятности

, (32.1)

того, что случайная величина  принимает значение . Если заданы  и , , тогда функцию распределения вероятностей  дискретной случайной величины  можно представить в виде:

. (32.2)

Здесь суммирование ведется по всем индексам , удовлетворяющим условию: .

Функцию распределения вероятностей дискретной случайной величины иногда представляют через так называемую функцию единичного скачка

(32.3)

При этом  принимает вид

, (32.4)

если случайная величина  принимает конечное множество значений , и верхний предел суммирования в (32.4) полагается равным , если случайная величина принимает счетное множество значений.

Пример построения графика функций распределения вероятностей дискретной случайной величины был рассмотрен в п.30.

Плотность распределения вероятностей

Пусть случайная величина  имеет дифференцируемую функцию распределению вероятностей , тогда функция

(33.1)

называется плотностью распределения вероятностей ( или плотностью вероятности) случайной величины , а случайная величина  - непрерывной случайной величиной.

Рассмотрим основные свойства плотности вероятности.

Из определения производной следует равенство:

. (33.2)

Согласно свойствам функции  имеет место равенство . Поэтому (33.2) принимает вид:

. (33.3)

Это соотношение объясняет название функции . Действительно, согласно (33.3) функция  - это вероятность , приходящаяся на единицу интервала , в точке , поскольку . Таким образом, плотность вероятности, определяемая соотношением (33.3), аналогична определениям плотностей других величин, известных в физике, таких как плотность тока, плотность вещества, плотность заряда и т.д.

2. Поскольку  - неубывающая функция, то ее производная  - функция неотрицательная:

. (33.4)