Навигация
8.1 Основна гіпотеза
Випадкові похибки є результатом дії великої кількості різних факторів , кожна з яких вносить малу похибку, і жодна з них не має домінуючого впливу (похибки зумовлені домінуючими факторами можна віднести до систематичних похибок). У відповідності до теореми Ляпунова є всі підстави вважати , що похибка є випадковою величиною D з нормальним розподілом (це суть основної гіпотези).Ця величина може приймати значення похибки 
. Є також всі підстави вважати, що відхилення результатів вимірювання рівноймовірні в обидві сторони від істинного значення фізичної величини. Тому математичне сподівання випадкової похибки 
, а значить її густина розподілу та інтегральна функція матимуть вигляд
,(6.1.1)
.(6.1.2)
Результати вимірювання фізичної величини є випадковою величиною X. Якщо похибка вимірювання розподілена нормально, то і розподіл випадкової величини X є нормальним:
(6.1.3)
з математичним сподіванням, яке дорівнює істинному значенню a фізичної величини, та дисперсією 
. Результат окремого вимірювання є елементом з нескінченної множини можливих результатів вимірювань в одинакових умовах (такі вимірювання називають рівноточними). Нескінченна множина значень випадкової величини X є генеральною сукупністю з нормальним законом розподілу, середньоарифметичне значення якої дорівнює математичному сподіванню, яке, в свою чергу, дорівнює істинному значенню фізичної величини. Це означає, що для одержання істинного значення фізичної величини необхідно виконати нескінченну кількість вимірювань. Але на практиці кількість вимірювань обмежена, і тому знайти істинне значення фізичної величини у результаті вимірювань принципово неможливо. Можна лише поставити задачу знайти наближене значення фізичної величини і оцінити її похибку. А ця задача за основною гіпотезою зводиться до знаходження статистичних оцінок параметрів нормального розподілу.
8.2 Статистичні оцінки параметрів нормального розподілу
Результати вимірювання фізичної величини є випадковою величиною X. Якщо похибка вимірювання розподілена нормально, то і розподіл випадкової величини X є нормальним
(6.2.1)
з математичним сподіванням 
, яке у математичній статистиці називають генеральним середнім і позначають 
, та дисперсією ( у матстатистиці 
).
Методом максимальної правдоподібності можна довести, що точковими статистичними оцінками параметрів 
нормального розподілу (6.2.1) є:
,(6.2.2)
,(6.2.3)
Оцінка (6.2.3) є зміщеною і тому статистичною оцінкою параметра 
є корінь квадратний із “виправленної” дисперсії (1.4) – “виправлене” середньоквадратичне відхилення:
.(6.2.4)
Довірчий інтервал
(6.2.5)
покриває невідоме значення математичного сподівання із надійностю (ймовірністю) 
. Параметр 
знаходиться як розв’язок рівняння 
, 
- інтеграл Лапласа. Величина
(6.2.5a)
характеризує точність оцінки (6.2.2). З її використанням довірчий інтервал можна записати у вигляді
(6.2.5b)
Приклад 6.2.1. Випадкова величина має нормальний параметр з відомим середньоквадратичним відхиленням 
. Знайти довірчі інтервали для оцінки невідомого математичного сподівання по вибірковому середньому 
, якщо об’єм вибірки 
і задана надійність оцінки 
.
Розв’язування. Згідно (6.2.5) довірчий інтервал для оцінки математичного сподівання нормального розподілу є
Параметр задовольняє рівнянню 
. Розв’язок рівняння З 
. Точність оцінки математичного сподівання 
. Довірчий інтервал для оцінки математичного сподівання 
з надійністю 0.9
Якщо параметр невідомий, то довірчий інтервал, який покриває 
з надійністю , матиме вигляд
.(6.2.6)
Параметр 
є розв’язком рівняння 
, 
- густина розподілу Стьюдента,
(6.2.6a)
точність оцінки (6.2.2) за Стьюдентом.
Приклад 6.2.2. Кількісна ознака генеральної сукупності розподілена нормально. Для вибірки об’єму 
знайдено вибіркове середнє 
та “виправлене” середньоквадратичне відхилення 
.Знайти довірчий інтервал для оцінки математичного сподівання з надійністю .
Розв’язування. Згідно (2.6) довірчий інтервал, який необхідно знайти,
,
Параметр 
задовільняє рівнянню 
. При 
розв’язок рівняння 
. Точність оцінки математичного сподівання за Стьюдентом 
. Отже, довірчий інтервал для оцінки математичного сподівання 
з надійністю 0.9
Нехай 
, де 
визначається рівністю 
. Якщо 
, то довірчий інтервал
для оцінки середньоквадратичного відхилення нормального розподілу з надійністю має вигляд
.(6.2.7a)
Значення q знаходиться як розв’язок рівняння
,(6.2.8a)
де 
, 
.
Якщо 
, то довірчий інтервал
,(6.2.7b)
а значення q знаходиться як розв’язок рівняння
.(6.2.8b)
Функція
(6.2.9)
густина розподілу величини “хі”
.(6.2.10)
Приклад 6.2.3. Кількісна ознака генеральної сукупності розподілена нормально. Для вибірки об’єму 
знайдено “виправлене” середньоквадратичне відхилення .Знайти довірчий інтервал для оцінки середньоквадратичного відхилення із надійністю .
Розв’язування. При та розв’язок рівняння (6.2.8a) 
. Згідно із (2.7a) довірчий інтервал, який шукається у задачі
.
Приклад 6.2.4. Кількісна ознака генеральної сукупності розподілена нормально. Для вибірки об’єму 
знайдено “виправлене” середньоквадратичне відхилення 
. Знайти довірчий інтервал для оцінки середньоквадратичного відхилення із надійністю 
Розв’язування. При та розв’язок рівняння (6.2.8b) 
. Згідно із (2.7b) довірчий інтервал, який шукається у задачі
.
Похожие работы
... ія розподілення експоненціального закону: , а імовірність попадання у інтервал (a,b) безперервної випадкової величини Х, розподіленою за експоненціальним законом дорівнює: . 2. Види типових задач з математичної статистики Тип 1 Ланка дослідів дала певну послідовність результатів. Вирахувати середнє значення виміряння, дисперсію, похибки, а також встановити закони розподілення ...
... необхідності допускається застосування байєсівських процедур. Байєсівський підхід стає все більш популярним в області фармакокінетики. Можна сказати, що клінічні дослідження мають ще тривалішу історію, ніж математична статистика. Клінічні дослідження в тому розумінні, що ми звикли вкладати в це поняття, в основному одержали розвиток після другої світової війни, хоча відомі і більш ранні приклади. ...
... ідому р і. Знайти функцію розподілу випадкової величини F(Х) та побудувати її графік. Обчислити математичне сподівання М(Х), дисперсію D(Х) та середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х. Х 11 13 15 19 Р 0,18 0,32 0,4 ? Розв’язання Згідно з умовою нормування розподілу ймовірностей випадкової величини Звідси знаходимо : Функцію розподілу знаходимо на основі ...
... яким чином досягти певного рівня обслуговування (максимального скорочення черги або втрат вимог) при мінімальних витратах, пов'язаних з простоєм обслуговуючих устроїв. математичне моделювання економічний аналіз 2. Прийоми економічного аналізу на базі математичної статистики Застосування методів моделювання в аналітичному дослідженні господарської діяльності підприємств та їхніх структурних ...
0 комментариев