Навигация
Метод максимальної правдоподібності
31115
знаков
4
таблицы
3
изображения
7. Метод максимальної правдоподібності
Метод максимальної провдоподібності використовуються для знаходження статистичних оцінок параметрів розподілів випадкових величин (як дискретних, розподіл яких задається аналітичним виразом, так і неперервних випадкових величин).
Нехай X – випадкова величина з розподілом (якщо вона дискретна) або густиною розподілу ймовірностей (якщо вона неперервна) 
, який (яка) однозначно визначається параметром
, і який невідомий. Для його визначення здійснюється n експериментів. Результати кожного з експериментів є випадковими величинами 
. Очевидно, що розподіли цих випадкових величин співпадають з функцією 
випадкової величини X. Експерименти незалежні, тому за теоремою множення ймовірностей незалежних подій можна записати
.
Функція
(2.1)
називається функцією максимальної правдоподібності. Точка 
, в якій функція максимальної правдоподібності досягає максимуму є значенням статистичної оцінки 
параметра розподілу . Така статистична оцінка називається оцінкою найбільшої правдоподібності.
Функції 
та 
досягають максимуму в одинакових точках. Тому замість точки максимуму функції шукають точку максимуму функції , що значно зручніше. З математичного аналізу відомо, що точку максимума функції можна знайти за таким алгоритмом:
1) знаходять похідну і прирівнюють до нуля: 
;
2) розв’язують одержане рівняння і знаходять екстремальні точки ;
3) знаходять другу похідну 
; якщо друга похідна в екстремальній точці від’ємна, то така точка є точкою максимума функції, якщо додатня, то – мінімуму.
Методом максимальної правподібності одержані важливі для практики результати:
1) статистична оцінка параметра 
розподілу Пуассона
;(2.2)
2) статистична оцінка параметра p біноміального розподілу є
,(2.3)
n1 кількість експериментів у першій серії, X1 - кількість успіхів; : n2 кількість експериментів у другій серії, X2 - кількість успіхіву другій серії;
3) статистичною оцінкою параметра експоненціального розподілу є обернена величина до вибіркового середнього:
.(2.4)
Якщо розподіл випадкової величини однозначно визначається не одним параметром, а декількома, то функція максимальної правподобності є функцією багатьох змінних:
.
В цьому випадку для знаходження точок максимуму необхідно розв’язати систему нелінійних рівнянь
(2.5)
Саме цим користуються для знаходження статистичних оцінок параметрів нормального розподіл у теорії похибок вимірювання фізичних величин.
8. Теорія похибок вимірювання фізичних величин
Кількісні результати при спостереженнях одержують, як правило, шляхом вимірювання. Якщо істинне значення деякої фізичної величини a, а в результаті вимірювання одержане значення x, то похибка вимірювання визначається як різниця між ними: 
. Розрізняють три види похибок: промахи, систематичні похибки та випадкові похибки.
Промахи виникають через грубе порушення умов вимірювання (неправильні дії лаборанта, несправність вимірювальної аппаратури, різка зміна зовнішніх умов) і зазвичай характеризуються порівняно великими похибками.
Систематичні похибки є результатом впливу не врахованих факторів (підвищена температура, електромагнітні завади, тощо) або недоліками вимірювальних приладів (похибка градуювання, недосконалість методу вимірювання) Промахи та систематичні похибки можуть бути виявлені і враховані як при обробці вимірювань, так і при організації вимірювань. Але як би не були добре організовані вимірювання, завжди залишається багато не врахованих факторів, вплив яких приводить до випадкових похибок.
Похожие работы
... ія розподілення експоненціального закону: , а імовірність попадання у інтервал (a,b) безперервної випадкової величини Х, розподіленою за експоненціальним законом дорівнює: . 2. Види типових задач з математичної статистики Тип 1 Ланка дослідів дала певну послідовність результатів. Вирахувати середнє значення виміряння, дисперсію, похибки, а також встановити закони розподілення ...
... необхідності допускається застосування байєсівських процедур. Байєсівський підхід стає все більш популярним в області фармакокінетики. Можна сказати, що клінічні дослідження мають ще тривалішу історію, ніж математична статистика. Клінічні дослідження в тому розумінні, що ми звикли вкладати в це поняття, в основному одержали розвиток після другої світової війни, хоча відомі і більш ранні приклади. ...
... ідому р і. Знайти функцію розподілу випадкової величини F(Х) та побудувати її графік. Обчислити математичне сподівання М(Х), дисперсію D(Х) та середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х. Х 11 13 15 19 Р 0,18 0,32 0,4 ? Розв’язання Згідно з умовою нормування розподілу ймовірностей випадкової величини Звідси знаходимо : Функцію розподілу знаходимо на основі ...
... яким чином досягти певного рівня обслуговування (максимального скорочення черги або втрат вимог) при мінімальних витратах, пов'язаних з простоєм обслуговуючих устроїв. математичне моделювання економічний аналіз 2. Прийоми економічного аналізу на базі математичної статистики Застосування методів моделювання в аналітичному дослідженні господарської діяльності підприємств та їхніх структурних ...
0 комментариев