Метод А. М. Данілевського

2.1      Метод А. М. Данілевського

Суть методу А. М. Данілевського [1] полягає в приведенні вікового визначника до так званого нормального виду Фробеніуса

. (1)

Якщо нам вдалося записати вікового визначника у формі (1), то, розкладаючи його по елементах першого рядка, матимемо:

Або

. (2)

Таким чином, розгортання вікового визначника, записаного в нормальній формі (1), не представляє труднощів. Позначимо через

дану матрицю, а через

— подібну їй матрицю Фробеніуса, тобто

,

де S - особлива матриця.

Оскільки подібні матриці володіють однаковими характеристичними поліномами, то маємо:

det(A-lE)= det(P-lE). (3)

Тому для обґрунтування методу досить показати, яким чином, виходячи з матриці А, будується матриця Р. Згідно методу А. М. Данілевського, перехід від матриці А до подібної їй матриці Р здійснюється за допомогою т - 1 перетворення подібності, що послідовно перетворюють рядки матриці А, починаючи з останньої, у відповідні рядки матриці Р.

Покажемо початок процесу. Нам необхідно рядок

перевести в рядок 0 0 ... 1 0. Припускаючи, що , розділимо всі елементи (n-1) - го стовпця матриці А на . Тоді її n-й рядок прийме вигляд

.

Потім віднімемо (n-1) - й стовпець перетвореної матриці, помножений відповідно на числа , зі всієї решти її стовпців.

В результаті одержимо матрицю, останній рядок якої має бажаний вигляд 0 0 ... 1 0. Вказані операції є елементарними перетвореннями, що здійснюються над стовпцями матриці А. Виконавши ці ж перетворення над одиничною матрицею, одержимо матрицю

Де

 при і ≠ n - 1(4)

І

 .(4')

Звідси робимо висновок, що проведені операції рівносильні множенню справа матриці  на матрицю А, тобто після вказаних перетворень одержимо матрицю

. (5)

Використовуючи правило множення матриць, знаходимо, що елементи матриці В обчислюються за наступними формулами:

 (6)

 (6')

Проте побудована матриця  не буде подібна матриці А. Для того щоб мати перетворення подібності, потрібно обернену матрицю  зліва помножити на матрицю В:

.

Безпосередньою перевіркою легко переконатися, що обернена матриця  має вигляд

(7)

Нехай

Отже

 (8)

Оскільки, очевидно, множення зліва матриці  на матрицю В не змінює перетвореного рядка останньої, то матриця C має вигляд

(9)

Перемножуючи матриці  (7) і B (5), матимемо:

 (10)

І

 (10')

Таким чином, множення  на матрицю В змінює лише (n - 1) -й рядок матриці В. Елементи цього рядка знаходяться за формулами (10) і (10'). Одержана матриця C подібна матриці А і має один зведений рядок. Цим закінчується перший етап процесу.

Далі, якщо , то над матрицею C можна повторити аналогічні операції, узявши за основу (n - 2) -й її рядок. В результаті одержимо матрицю

з двома зведеними рядками. Над останньою матрицею проробляємо ті ж операції. Продовжуючи цей процес, ми, нарешті, одержимо матрицю Фробеніуса

якщо, звичайно, всі n - 1 проміжних перетворень можливі. Весь процес може бути оформлений в зручну обчислювальну схему, складання якої покажемо на наступному прикладі.

Приклад. Привести до вигляду Фробеніуса матрицю

.

Розв’язання.

Обчислення розташовуємо в таблицю 1.

Номер рядка		Рядки матриці				Σ	Σ’
		1	2	3	4
1 2 3 4		1 2 3 4	2 1 2 3	3 2 1 2	4 3 2 1	10 8 8 10
І		–2	–1,5	0,5–1	–0,5	–5
5 6 7 8	4 3 2 1	–5 2 1 0	–2,5 –2 0,5 0	1,5 1 0,5 1	2,5 2 1,5 0	–3,5 –1 3,5 1	–5 –2 3 0
7’		–24	–15	11	19	–9
ІІ		–1,600	–0,067 –1	0,733	1,267	–0,600
9	–24	–1	0,167	–0,333	–0,667	–1,833	–2
10	–15	1,2	0,133	–0,467	–0,533	0,333	0,2
11	11	0	1	0	0	1	0
12	19	0	0	1	0	1	1
10’		6	5	34	24	69
ІІІ		0,167–1	–0,833	–5,667	–4,000	–11,500
13	6	–0,167	1	5,333	3,333	9,500	9,667
14	5	1	0	0	0	1	0
15	34	0	1	0	0	1	1
16	24	0	0	1	0	1	1
13’		4	40	56	20	120

У рядках 1-4 таблиці 1 розміщуємо елементи даної матриці і контрольні суми . Відзначаємо елемент , що належить третьому стовпцю (відмічений стовпець). У рядку 1 записуємо елементи третього рядка матриці , що обчислюються за формулами (4) і (4'):

Сюди ж (рядок 1 таблиці 1) поміщаємо елемент

що одержується аналогічним прийомом з контрольного стовпця Σ. Число -5 повинно співпасти з сумою елементів рядка I, що не входять в контрольний стовпець (після заміни елементу на -1). Для зручності число -1 записуємо поряд з елементом , відокремлюючи від останнього межею.

У рядках 5-8 в графі М^-1 виписуємо третій рядок матриці М^-1, яка в силу формули (7) співпадає з четвертим рядком початкової матриці А. У рядках 5-8 у відповідних стовпцях виписуємо елементи матриці

B = АМ₃,

що обчислюються за двочленними формулами (6) для невідмічених стовпців і по одночленній формулі (6') для відміченого стовпця. Наприклад, для першого стовпця маємо:

і т.д.

Перетворені елементи третього (відміченого) стовпця отримуються за допомогою множення початкових елементів на = 0,5. Наприклад,

Відмітимо, що останній рядок матриці В повинен мати вигляд

0 0 1 0.

Для контролю поповнюємо матрицю В перетвореними по аналогічних двочленних формулах з  відповідними елементами стовпця Σ. Наприклад,

Отримані результати записуємо в стовпці Σ' у відповідних рядках. Додавши до них елементи третього стовпця, одержимо контрольні суми

для рядків 5-8 (стовпець Σ).

Перетворення ,що проведене над матрицею і що дає матрицю , змінює лише третій рядок матриці В, тобто сьомий рядок таблиці. Елементи цього перетвореного рядка 7' виходять по формулі (10), тобто є сумами парних добутків елементів стовпця , що знаходяться в рядках 5-8, на відповідні елементи кожного із стовпців матриці В. Наприклад

і т. д.

Такі ж перетворення проводимо над стовпцем Σ:

В результаті одержуємо матрицю C, що складається з рядків 5, 6, 7', 8 з контрольними сумами Σ, причому матриця C подібна матриці А і має один зведений рядок 8. Цим закінчується побудова першого подібного перетворення .

Далі, прийнявши матрицю C за вихідну і виділивши елемент (другий стовпець), продовжуємо процес аналогічним чином. В результаті одержуємо матрицю , елементи якої розташовані в рядках 9, 10', 11, 12, що містить два зведені рядки. Нарешті, відправляючись від елементу  (перший стовпець) і перетворюючи матрицю D в подібну їй, одержуємо шукану матрицю Фробеніуса Р, елементи якої записані в рядках 13', 14, 15, 16. На кожному етапі процесу контроль здійснюється за допомогою стовпців Σ і Σ'.

Таким чином, матриця Фробеніуса буде мати вигляд:

Звідси віковий визначник, приведений до нормального виду Фробеніуса, запишеться так:

або

.

Виняткові випадки в методі А. М. Данілевського.

Процес А. М. Данілевського [1] відбувається без жодних ускладнень, якщо всі елементи, що виділяються, відмінні від нуля. Ми зупинимося зараз на виняткових випадках, коли ця вимога порушується.

Припустимо, що при перетворенні матриці А в матрицю Фробеніуса Р ми після декількох кроків пришли до матриці вигляду

,

причому виявилось, що .

Тоді продовжувати перетворення по методу А. М. Данілевського не можна. Тут можливі два випадки.

1. Нехай якийсь елемент матриці D, що стоїть ліворуч нульового елемента , відмінний від нуля, тобто , де. Тоді цей елемент висуваємо на місце нульового елементу , тобто переставляємо (k-1) -й і k -й стовпці матриці D і одночасно переставляємо її (k-1) -й і l-й рядки. Можна довести, що одержана нова матриця D' буде подібна колишній. До нової матриці застосовуємо метод А.М.Данілевського.

2. Нехай , тоді D має вигляд

У такому разі віковий визначник det(D - lЕ) розпадається на два визначники

det (D - lЕ) = det (D₁ - lЕ) det (D₂ - lЕ).

При цьому матриця D₂ вже приведена до канонічної форми Фробеніуса і тому det (D₂ - lЕ) обчислюється відразу. Залишається застосувати метод А. М. Данілевського до матриці D₁.

Обчислення власних векторів по методу А. М. Данілевського.

Метод А. М. Данілевського [1] дає можливість визначати власні вектори даної матриці А, якщо відомі її власні значення. Неай l — власне значення матриці А, а отже, і власне значення подібної їй матриці Фробеніуса Р.

Знайдемо власний вектор  матриці Р, відповідний даному значенню l: Ру = lу. Звідси (Р - lЕ) у = 0 або

Перемножуючи матриці, одержимо систему для визначення координат  власного вектора у:

 (1)

Система (1) — однорідна. З точністю до коефіцієнта пропорційності розв’язки її можуть бути знайдені таким чином. Покладемо y_n=1. Тоді послідовно одержимо:

(2)

Таким чином, шуканий власний вектор є

.

Позначимо тепер через х власний вектор матриці А, що відповідає значенню l. Тоді, очевидно, маємо:

.

Перетворення M₁, здійснене над y, дає:

Таким чином, перетворення М₁ змінює лише першу координату вектора. Аналогічно перетворення М₂ змінить лише другу координату вектора М₁у і т.д. Повторивши цей процес n-1 разів, одержимо шуканий власний вектор х матриці А.