Определение ускорений точек и звеньев механизма

1.2.2 Определение ускорений точек и звеньев механизма

Для определения ускорений точек и звеньев механизма воспользуемся методом планов ускорений. Построение планов ускорений начинаем с ведущего звена механизма AB. Поскольку wAB = const , то ускорение точки А :

aA=w AB ²×lAB = 89² ×0,034 = 269,3 м/с² (1.2.20).

Ускорение точки A направлено вдоль звена АB к центру его вращения. С любой произвольной точки, в дальнейшем называемой полюсом плана ускорений П_а, отложим вектор длиной 134,65 мм параллельно звену АВ. Конец вектора обозначим точкой а’. Масштабный коэффициент ускорений m_а найдём таким образом:

m_а=a_А / П_аа’ = 269,3 /134,65 = 2 м/мм×с² (1.2.21),

где ПАВ – длина вектора AB на плане ускорений.

Ускорение точки C можно найти из условия принадлежности этой точки двум звеньям: АС и СD. Оба звена выполняют плоско-параллельное движение. Запишем уравнение плоско-параллельного движения звена АС :

 

аС=aА+aⁿАС+a^tАС (1.2.22).

 

В этой векторной сумме первое составляющее известно, а ускорение aⁿАС - направлено из точки А в точку С вдоль звена и численно равно:

aⁿАС=V²АС/lAC=(m_V ×ac)²/ lAC=(0,02 × 12)²/0,09 = 0,64 м/с² (1.2.23).

Длина соответствующего отрезка на плане ускорений:

nАС=aⁿАС/m_а= 0,64/2 = 0,32 мм (1.2.24).

 

На плане ускорений проводим вектор из точки а’ вдоль звена АС длиной nАС = 0,32 мм. Про третье составляющее векторного уравнения, так называемое ускорение звена АС тангенциальное, известно лишь его направление - перпендикулярно звену. Потому на плане ускорений перпендикулярно звену nАС из его конца проводим перпендикуляр.

Принадлежность точки С звену СD дает возможность записать уравнение:

аС=aD+aⁿСD+a^tСD (1.2.25).

 

Точка D является неподвижной, ее ускорение равно 0, на плане ускорений точка d’ находится в полюсе П_а.

Скалярное значение вектора aⁿСD определяется из соотношения:

aⁿСD=V²CD/lCD=(m_V ×cd)²/ lCD=(0,02 × 152)²/0,06 = 154,02 м/с² (1.2.26).

 

Длина соответствующего отрезка на плане ускорений:

nСD=aⁿDС/m_а= 154,02/2 = 77 мм (1.2.27).

К точке d’, которая находится в полюсе, достраивается вектор длиной nСD= 77мм, по направлению параллельный звену СD, а из его конца проводится вектор, который перпендикулярен ему, и соответствует третьей составляющей векторного уравнения - a^tСD. На пересечении линий a^tАС и a^tСD находится точка с’. Чтобы найти ускорение точки с’ соединим ее с полюсом П_а. Численно значение ускорения точки С равно:

 

аС = m_а · П_а c’ = 2 · 86 = 172 м/с² (1.2.28).

 

где П_а c’ - длина вектора, который соединяет полюс с точкой с’.

Точку е’ можно найти на отрезке a’c’ из соотношения:

l_АС / l_ЕС = а’с’ / е’с’. (1.2.29),

е’с’ = 30 · 54 / 90 = 18 мм .

где l_ЕС - длина звена ЕС;

е’с’ - длина вектора на плане ускорений.

Соединим найденную точку е’ с полюсом, чтобы получить ее численное значение:

аЕ = m_а · П_а е’ = 2 · 100 = 200 м/с² (1.2.30),

 

где П_а е’ - длина вектора, который соединяет полюс с точкой е’.

Найдем местоположение на плане ускорения точки F. Для этого составим уравнение плоско-паралельного движения звена EF относительно точки Е:

аF=aE+aⁿEF+a^tEF (1.2.31).

 

Нормальное ускорение aⁿEF звена ED найдем следующим образом:

aⁿEF=V²EF/lEF=(m_V×ef)²/ lEF=(0,02 × 136)²/0,11 = 67,25 м/с² (1.2.32),

длина соответствующего вектора на плане ускорений составляет:

nEF=aⁿEF/m_а= 67,25/2 = 33,62 мм (1.2.33).

На плане ускорений из точки е’ проводим вектор nEF, параллельный звену EF и направленный от E к F, а с конца этого вектора перпендикуляр, который соответствует направлению a^tEF . Для исследования движения ползуна необходимо использовать точку F₀ на неподвижной направляющей. Тогда уравнение движения точки F:

аF=aF₀+aFF₀ (1.2.34).

Так как точка F₀ неподвижна, то на плане ускорений точка f₀’ находится в полюсе. Про ускорение aFF₀ известно лишь то, что оно параллельно направляющей. Потому на плане через точку f₀’ строится горизонтальная линия. На пересечении этой линии и линии a^tEF находится точка f’. Численное значение ускорения точки F:

аF = m_а · П_а f’ = 2 · 63 = 126 м/с², (1.2.35),

 

где П_а f’ - длина вектора, который соединяет полюс с точкой f’.

Расставим на плане ускорений центры масс каждого звена данного механизма. Для звена BA вектор центра масс S1’ на плане скоростей будет направлен из полюса вдоль вектора b’a’ величиной равной его половине.

Численное значение ускорения аS₁ равно:

 

аS₁ = m_а · П_а S1’ = 2 · 67 = 134 м/с² (1.2.36).

 

Для звена АС вектор его центра масс S₂ на плане ускорений будет направлен из полюса в точку соответствующую середине отрезка а’с’.

Численное значение ускорения аS₂ равно:

аS₂ = m_а · П_а S2’ = 2 · 109 = 218 м/с² (1.2.37).

Вектор центра масс S₃ звена ЕF на плане ускорений будет направлен из полюса в точку соответствующую середине отрезка е’f’ на плане ускорений.

Численное значение ускорения аS₃ равно:

аS₃= m_а · П_а S3’ = 2 · 82 = 164 м/с² (1.2.38).

 

Для звена DC вектор центра масс S4 на плане ускорений будет направлен из полюса вдоль вектора d’c’ величиной равной его половине.

Численное значение ускорения аS₄ равно:

аS₄= m_а · П_а S4’ = 2 · 43 = 86 м/с² (1.2.39).

С помощью плана ускорений можно определить угловые ускорения звеньев механизма. Угловое ускорение звена АС равно:

ε_АС = а^t_AC/ l_AC = m_а · t_AC/ l_AC = 2 · 53/ 0,09 = 1177,77 рад/с²(1.2.40)

где l_AC - длина звена; а_AC- ускорение движения точки А относительно точки С. Аналогично для звена EF вычислим его угловое ускорение ε_EF:

ε_EF = а^t_EF/ l_EF = m_а · t_EF/ l_EF = 2 · 35/ 0,11 = 636,36 рад/с²(1.2.41)

Таким же образом для звена СD вычислим его угловое ускорение ε_CD:

ε_CD = а^t_CD/ l_CD = m_а · t_CD/ l_CD = 2 · 37/ 0,06 = 1233,33 рад/с²(1.2.42).

 

Угловое ускорение звена АВ ε_АВ = 0.

Полученные при построении плана ускорений данные сведем в таблицу 1.2.

Таблица 1.2

аA = 269,314 м/с2	aS1 = 134 м/с2	εАВ = 0 рад/с2
аС = 172 м/с2	aS2 = 218 м/с2	εАС = 1177,77 рад/с2
аЕ = 200 м/с2	aS3 = 164 м/с2	εСD = 1233,33 рад/с2
aF = 66 м/с2	aS4 = 84 м/с2	εEF = 636,36 рад/с2