Навигация
3.1. Мощность множества
Понятие “мощность множества” введено основателем теории множеств Г. Кантором (1878), который установил, что мощность множества действительных чисел больше 
, и тем самым показал, что бесконечные множества могут быть расклассифицированы по их мощности.
Мощность множества в математике есть обобщение на произвольные множества понятия «число элементов». Мощность множества определяется методом абстракции как то общее, что есть у всех множеств, эквивалентных (количественно) данному; при этом два множества называемых эквивалентными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. Мощности называются часто кардинальными (т. е. количественными) числами.
3.2. Множество натуральных чисел
Определение натурального множества. Всякое множество, удовлетворяющее свойствам
1N
n, nN Þ n + 1N
n, nN, n1 Þ $ yN, n = y +1
называется множеством натуральных чисел.
Множество N удовлетворяет аксиомам Пеано:
1N.
n, nN Þ n’N.
nN Þ n’1.
nN, mN, n’=m’ Þ n=m.
.
Где n’ = n+1.
Данное множество – множество натуральных чисел N = {1, 2, 3, …}.
Замечание. Множество ={0, 1, 2, 3…} называют расширением натурального множества.
Стандартные обозначения некоторых множеств.
N – множество всех натуральных чисел.
Z – множество всех целых чисел.
Z+ – множество целых неотрицательных чисел.
Z– – множество целых неположительных чисел.
Q – множество всех рациональных чисел.
R – множество всех действительных чисел.
R+ – множество неотрицательных действительных чисел.
R– – множество неположительных действительных чисел.
3.3. Конечные и бесконечные множества
Конечное множество - множество, состоящее из конечного числа элементов.
Пример. A = {1, 2, 3, 4, 5}.
Основной характеристикой конечного множества является число его элементов. Теория конечных множеств изучает правила: как, зная количество элементов некоторых множеств, вычислить количество элементов других множеств, которые составлены из первых с помощью некоторых операций.
Бесконечное множество - непустое множество, не являющееся конечным.
Пример. Множество натуральных чисел является бесконечным.
3.4. Счетные множества и их свойства
Определение взаимнооднозначного соответствия. Пусть А и В два множества. Правило j которое каждому элементу а множества А соотносит один и только один элемент b множества В, причем каждый элемент bВ оказывается соотнесенным одному и только одному аА, называется взаимнооднозначным соответствием между множеством А и множеством В.
Определение эквивалентности множеств. Если между множеством А и множеством В можно установить взаимно однозначное соответствие, то говорят, что эти множества эквивалентны или, что они имеют одинаковую мощность, и обозначают этот факт следующим образом: А ~ В.
Определение счетного множества. Пусть N множество всех натуральных чисел N={1, 2, 3, . . .}, тогда всякое множество А эквивалентное множеству N будет называться исчислимым, или счётным множеством.
Пример. А={1, 4, 9, 16, . . . ,n, . . .}; B={3, 6, 9, 12, . . . ,3n, . . . }.
Наименьшей бесконечной мощностью является (алеф ноль) — мощность множества натуральных чисел.
Теорема (необходимое и достаточное условие счетности множества). Для того чтобы множество Х было счётным необходимо и достаточно, чтобы его можно было представить в форме последовательности:
Х={x, x, x, …, x, …} (*).
Доказательство необходимости. Пусть множество Х счетное, то из определения счётного множества следует существование взаимно однозначного соответствия j между множеством Х и множеством натуральных чисел N. Достаточно обозначить через х, тот из элементов множества Х, который в соответствии с j отвечает числу n,чтобы получить представление множества Х в форме (*).
Доказательство достаточности. Если множество Х представлено в форме (*), то достаточно каждому его элементу х, соотнести индекс n этого элемента, чтобы получить взаимно однозначного соответствия j между множеством Х и множеством натуральных чисел N, так что из определения счётного множества следует, что множество Х счётное.
Замечание. Все счетные множества эквивалентны между собой.
Свойства счетных множеств:
Всякое подмножество счетного множества конечно либо счетно.
Объединение конечного либо счетного множества счетных множеств конечно либо счетно.
Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
Если к бесконечному множеству А присоединить конечное либо счетное множество В, то от этого мощность множества не изменится: АВ ~ А.
Похожие работы
... проверить знания студента из первой части курса, которая излагается в первых четырёх модулях. Во вторых вопросах билета проверяются знания классической предельной проблемы теории вероятностей и математической статистики, которые излагаются в следующих пяти модулях. 1. Вероятностная модель с не более чем счётным числом элементарных исходов. Пример: испытания с равновозможными исходами. 2. ...
... , почему именно эти аксиомы оказались настолько успешными и достойными специального внимания. Соответственно самая большая слабость формализма состоит в невозможности объяснить, почему аксиомы теории множеств, предположительно не отражающие никакой реальности, способны доказывать арифметические утверждения, не доказуемые с помощью более финитистских средств. Слабость, которую, как я полагаю, ...
... вующий класс (предложение 4), то из аксиомы S следует, что для любого множества х класс всех его элементов, удовлетворяющих данной предикативной формуле A(у), есть множество. Однако для полного развития теории множеств потребуется аксиома, более сильная, чем аксиома S. Введем предварительно несколько определений. Определения Un (X) означает xyz ( X & X y = z). (X однозначен.) ...
... монету второй раз не бросают), в четвертом — второму. Шансы игроков на выигрыш относятся как 3 к 1. В этом отношении и надо разделить ставку. Глава II. Элементы теории вероятностей и статистики на уроках математики в начальной школе (методика работы) Первый шаг на пути ознакомления младших школьников с миром вероятности состоит в длительном экспериментировании. Эксперимент повторяют много раз при ...
0 комментариев