Линии вектора напряжённости

2. Линии вектора напряжённости.

линии, направления которых в каждой точке совпадают с вектором напряжённости.

Количество линий, пересекающих единичную перпендикулярную поверхность должно быть равно модулю вектора напряжённости.

(Рисунок)

3. Поток вектора напряжённости.

Количество линий напряжённости пронизывающих данную поверхность:

(по поверхности)

(Рисунок)

Если и = const, то .

Теорема Гаусса.

Поток вектора напряжённости через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охваченных этой поверхностью, делённых на электрическую постоянную.

(Рисунок)

- принцип суперпозиции.

Результирующий вектор напряжённости равен векторной сумме векторов напряжённости входящих зарядов.

Расчёт напряжённости с помощью теории Гаусса.

Можно выбрать расчёт dS так, чтобы E можно было вынести за знак интеграла.

Напряжённость поля однородно заряженного шара.

(Рисунок)

а) если r > R,

то

б) если r < R,

(Рисунок)

то

,

(Рисунок)

Замечание.

При неоднородном распределении заряда (но сохраняется сферическая симметрия):

, где

(Рисунок)

Если заряда внутри нет, то и поля внутри нет. Если имеется поле, то внутри поле отсутствует.

(Рисунок)

Расчёт напряжённости бесконечной плоскости (заряженной).

(Рисунок)

Поток через замкнутую поверхность цилиндра равен потоку основания и боков поверхности.

,

(Рисунок)

Поле однородно заряженного бесконечного цилиндра.

(Рисунок)

,

r > R,

,

(Рисунки)

Для цилиндрической оболочки поле внутри отсутствует.

Для получения используют теорему Остроградского.

- дивергенция.

, где

Потенциал электрического поля.

 - отношение потенциальной энергии точечного пробного заряда, помещённого в другую точку поля, к величине этого заряда.

Докажем консервативность сил и потенциальность электрических сил поля.

(Рисунок)

Связь между напряжённостью и потенциалом.

Рассмотрим в дифференциальном виде:

(Рисунки)

Элементы математической теории поля.

Полем называется волна, зависящая от положения в пространстве (является функцией координат). Поле называется стационарным, если оно не меняется с течением времени.

Скалярное поле – это такое поле, которое в каждой точке пространства характеризуется одним единственным числом (например, температурное поле).

Векторное поле – это такое поле, которое в каждой точке пространства характеризуется вектором (например, поле скоростей в потоке жидкости).

Градиент.

Скорость изменения некоторой величины во времени можно описать, задавая её производную по времени t. Если же мы хотим узнать скорость изменения некоторой величины в пространстве, то, очевидно, мы должны взять её производную по координатам x, y, z.

(Рисунок)

В трёхмерном случае:

или , где - намбла.

- векторный дифференциальный оператор.

Поверхностью уровня – называется геометрическое место точек, в которых скалярная величина имеет одно и тоже значение.

В двумерном случае поверхность уровня называется линией уровня.

Градиент устанавливает связь между скалярными и векторными характеристиками поля.

Дивергенция. Теорема Гаусса.

(Рисунок)

Рассмотрим поле вектора несжимаемой жидкости. Если поток жидкости в объем V через поверхность S 0, то внутри объёма имеется источник (через который жидкость попадает в объём) или стоки (через которые жидкость исходит из объёма). Преобладание источников над стоками даёт положительный поток жидкости через поверхность. Преобладание стоков – отрицательный.

Характеристикой стоков и источников служит величина, называемая дивергенцией – расхождение вектора скорости.

, где - поток вектора скорости через замкнутую поверхность.

Таким образом, дивергенция представляет собой удельную мощность источника в точке P и является скалярной функцией координат.

(Рисунки)

Найдём выражение для декартовой системы координат, для чего рассмотрим поток через элементарный кубик.

(Рисунок)

Поток из кубика наружу будет равен:

; где - поток через i грань.

Для одной грани:

Проекции векторов и связаны соотношениями:

Поток через первую и вторую грани будет равен:

Аналогично получим:

Полный поток:

,

Отсюда:

Дивергенция связывает векторную величину, характеризующую поле, со скалярной величиной.

Зная в любой точке пространства, можно вычислить её значение через любую замкнутую поверхность конечных размеров.

- / теорема Гаусса /.

Опыт показывает, что к кулоновским силам применим, рассмотренный в механике, принцип независимости действия сил, т.е. результирующая сила , действующая со стороны поля на приобретённый заряд равна векторной сумме сил , приложенных к нему со стороны каждого из зарядов .

(8)

(2)

(3)

(5)

(6)

(7)

Согласно (2): и ,

Где - напряжённость результирующего поля.

- напряжённость поля, создаваемого зарядом .

Подставим последнее выражение в (8):

(9)

Принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей заключается в том, что наложенность напряжённости результирующего поля, создаваемого системой заряда, равна геометрической сумме напряжений полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности.

Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме.

В соответствии с (7), поток вектора напряжённости сквозь сферическую поверхность радиуса R, охватывающую сферический заряд q, находившийся в её центре:

(Рисунок)

(10)

Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы. Рассмотрим общий случай для произвольной поверхности, окружающей n зарядов.

В соответствии с принципом суперпозиции . Поэтому

,

(11)

(11) – выражает теорему Гаусса для электростатического поля:

Поток вектора напряжённости электростатического поля в вакууме через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключённых внутри этой поверхности зарядов, делённых на электрическую постоянную.

Если заряд распределён с объёмной плотностью , то

(12)

или (13)

Применение теоремы Гаусса к расчёту поля.

Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости с поверхностной плотностью заряда .

(Рисунок)

В качестве замкнутой поверхности возьмём цилиндр, ось которого перпендикулярна плоскости. Поток через боковые стенки цилиндра равен нулю, так как линии напряжённости перпендикулярны оси цилиндра и его образующей. Полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков через его основания .

Заряд внутри цилиндра согласно теореме Гаусса:

, откуда .

Поле равномерно заряженной сферической поверхности.

(Рисунок)

Если r >R, то по теореме Гаусса получим:

, где, откуда .

Если < R, то замкнутая поверхность не содержит электрического заряда. Следовательно E = 0.

Дивергенция и ротор электростатического поля.

Заменяя по теореме Гаусса поверхностный интеграл объёмным, получим:

Подставив вместо его значение из (13), получим:

Интегралы равны, следовательно равны и подынтегральные выражения. Так получим теорему Гаусса для вектора напряжённости электростатического поля:

(14)

(14) – первое фундаментальное уравнение электростатики. Так как , то

(15)

(15) - второе основное уравнение электростатики.

Оба основных уравнения электростатики эквивалентны закону Кулона, так как сила поля изменяется по закону .

Для любой радиальной силы выполняемая работа не зависит от пути и существует потенциал.

Потенциал электростатического поля.

Из механики известно, что .

В нашем случае заряд перемещается в поле заряда q из точки А в точку В.

(Рисунок).

Тогда можно записать

Криволинейный путь ab можно представить следующим образом.

(Рисунок)

На участке работа равна нулю, так как вектор силы перпендикулярен вектору перемещения.

На участке элементарная работа равна:

(16)

Откуда следует, что потенциальная энергия заряда в поле заряда q равна:

(17)

Потенциальная энергия, как и в механике, определяется не однозначно, а с точностью до производной константы C . Если принять, что при , , то . Тогда

(18)

Для одноимённых зарядов потенциальная энергия U положительна (отталкивание).

Для разноимённых зарядов потенциальная энергия U отрицательна (притяжение).

Если поле создаётся системой точечных зарядов, то вследствие принципа суперпозиции:

(19)

Из формул (18) и (19) вытекает, что отношение U к не зависит от поэтому и является энергетической характеристикой поля - потенциал.

(20)

Из формул (19) и (20) следует принцип суперпозиции для потенциала:

(21)

Из формул (18) и (20) следует, что потенциал поля, создаваемого точечным зарядами q будет:

(22)

Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда из точки А в точку В, может быть представлена как

Если , то, следовательно можно записать , откуда (23)

Таким образом потенциал есть физическая величина, определяемая работой по перемещению единичного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность.

[1 В] - потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1Кл обладает энергией в 1Дж.

Напряжённость как градиент потенциала. Эквивалент потенциальной поверхности.

Найдём взаимосвязь между напряжённостью электростатического поля (его силовая характеристика) и потенциалом (энергетическая характеристика).

(Рисунок)

Работа по перемещению единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2.

(24)

(25)

Для трехмерного случая получим:

(26)

где - единичные векторы координат x, y, z.

Выражение (26) можно представить в виде:

(27)

Знак минус показывает, что вектор напряжённости направлен в сторону меньшего потенциала.

В большинстве случаев найти потенциал поля, а затем рассчитать вектор напряжённости.

Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля пользуются эквипотенциальными поверхностями, в большинстве точек которых потенциал постоянен.

(Рисунок)

Вектор напряжённости всегда перпендикулярен касательной эквипотенциальных поверхностей в точках их пересечения.

(Рисунок)

Чем гуще распределены эквипотенциальные поверхности, тем больше величина напряжённости электростатического поля.

У острия напряжённость больше, поэтому заряды стекают с острия.

Примеры расчёта потока в вакууме.

Поле двух бесконечно параллельных пластин, которые заряжены разноимённо, определяется по формуле:

, где - поверхностная плотность заряда.

(Рисунок)

- разность потенциалов между плоскостями.

Поле равномерно заряженное сферическими поверхностями радиуса R, заряда q вычисляется по формуле:

при .

Разность потенциалов между произвольной точкой поля и поверхностью сферы будет равна:

Типы диэлектриков. Поляризация диэлектриков.

Электрический диполь – система двух равных по модулю разноимённых точечных зарядов, расстояние между которыми меньше расстояния до рассматриваемых точек поля.

(Рисунок)

, где - электрический момент диполя (дипольный момент)

- плечо диполя.

Поляризацией диэлектриков называется явление поляризации диполя или появление под воздействием электрического поля ориентированных по полю диполей.

Различают три вида поляризации диэлектриков:

электронная (деформационная) поляризация диэлектриков с неполярными молекулами (N₂, H₂, O₂).

(Рисунок)

Возникает за счёт деформации электрических полей.

ориентационная (дипольная) поляризация. Заключается в ориентации имеющихся дипольных моментов молекул (H₂O, NH₃, CO).

(Рисунок)

ионная поляризация диэлектриков с ионными кристаллами – заключается в том, что происходит смещение от кристаллической решётки положительных ионов вдоль поля, а отрицательных против поля, приводящих к возникновению дипольного момента (NaCl, KCl).

(Рисунок)

Жидкие кристаллы.

Вещество является текучим, то есть является жидкостью и в то же время её свойства анизотронны - подобны кристаллам.

Рисунок	Рисунок
Нематического типа (дальняя упорядочность чисто ориентационная)	Смектического типа (одно- или двумерная упорядочность в расположении центра масс молекул)

Жидкокристаллические свойства присущи диэлектрикам, характеризующихся вторым типом поляризации.

Проводники в электростатическом поле.

Вектор напряжённости электростатического поля в проводнике равен нулю (). Если бы поле не равнялось нулю, то в проводнике возникло бы упорядоченное движение зарядов без затраты энергии от внешнего источника, что противоречит закону сохранения энергии.

(Рисунок)

На одном конце проводника избыток положителен, на другом – отрицателен. Это индуцирует заряды.

Явление перераспределения поверхностных зарядов на проводнике во внешнем электростатическом поле называется электростатической индукцией.

Электрические заряды располагаются на поверхностном слое толщиной в 1-2 атомных слоя. На этом явлении основана электростатическая защита от влияния внешних электростатических полей.

Электростатика.

Электростатика – это учение о свойствах и взаимодействии электрических зарядов, неподвижных по отношению к избранной инерциальной системе отсчёта.

Закон сохранения электрического заряда. Проводники, диэлектрики, полупроводники.

Существуют два типа заряда: положительный и отрицательный. Опытным путём было установлено, что элементарный заряд дискретен, то есть заряд любого тела составляет целое, кратное от некоторого электрического заряда. Электрон и протон являются носителями элементарных отрицательного и положительного зарядов. Из обобщённых опытных данных был установлен фундаментальный закон природы, впервые сформулированный английским физиком Фарадеем.

Закон сохранения электрического заряда: алгебраическая сумма электрических зарядов любой замкнутой системы остаётся неизменной, какие бы процессы не проходили внутри этой системы.

Система называется замкнутой, если она не обменивается электрическими зарядами с внешними телами.

Электрический заряд – величина релятивистская, инвариантная, то есть не зависит от выбранной системы отсчёта. А значит, не зависит от того, движется этот заряд или покоится.

Наличие носителя заряда (электронов и ионов) является условием того, что тело проводит электрический ток. В зависимости от способности проводить электрический ток, тела делятся на:

проводники

диэлектрики

полупроводники.

Проводники – тела, в которых электрический заряд может перемещаться по всему его объёму. Проводники делятся на две группы:

проводники первого рода (металлы) – перенос в них электрических зарядов (свободных электронов) не сопровождается химическими превращениями;

проводники второго рода (расплавы солей, растворы солей и кислот и другие) – перенос в них зарядов (положительно и отрицательно заряженных ионов) ведёт к химическим изменениям.

Диэлектрики (стекло, пластмасса) – тела, которые не проводят электрический ток, если к этим телам не приложено сильное внешнее электрическое поле; в них практически отсутствуют свободные заряды.

Полупроводники (германий, кремний) – занимают промежуточное положение между проводниками и диэлектриками. Их проводимость сильно зависит от внешних условий (температура, ионизирующее излучение и т.д.).

Единица электрического заряда – Кулон (Кл) – электрический заряд, проходящий через поперечное сечение проводника при токе в 1 ампер за время 1 секунда.

Электрический заряд и его свойства. Электрическое поле и его характеристики. Закон Кулона. Электрическое поле точечного заряда. Принцип суперпозиции.

Электрическим зарядом называется величина, характеризующая взаимодействия между частицами и телами посредством электрических и магнитных полей (электромагнитное взаимодействие).

Особенностью электромагнитных взаимодействий является то, что они являются более интенсивными, чем гравитационные. Они занимают второе место (после ядерных сил) по взаимодействию.

1 – ядерные взаимодействия 1

2 – электромагнитные взаимодействия 0,1

3 – слабо ядерные взаимодействия

4 – гравитационные взаимодействия

Электрический заряд является неотъемлемым свойством элементарных частиц. Все элементарные частицы являются носителями положительного или отрицательного электрических зарядов. Кл. Заряд любого тела обусловлен суммой электрических зарядов, входящих в него.

Появление зарядов у тел происходит в результате взаимодействия тел между собой или со средой (передача электрических зарядов от заряженных тел – электризация; передача электрических зарядов между разнородными телами, при этом они заряжаются положительно или отрицательно; передача электрических зарядов на расстояние – электрическая индукция).

В замкнутой системе суммарный заряд не изменяется входе любых химических и физических процессов.

Электрический заряд – инвариантная физическая характеристика (не зависит от выбора системы отсчёта).

Взаимодействие электрических зарядов осуществляется посредством электромагнитных полей. Движущиеся электрические заряды создают в пространстве электрические и магнитные поля, что приводит к возникновению электрических и магнитных сил и взаимодействий (Кулоновские силы и силы Лоренца). Наиболее простое взаимодействие осуществляется для неподвижных по отношению друг к другу – статическое взаимодействие.

Поля, которые создают заряды – электростатические. Характеристиками электростатических полей являются напряжённость и потенциал.

Напряжённость электростатического поля – величина, равная отношению силы, действующей на пробный заряд, помещённый в другую точку поля к величине этого заряда.

, где - пробный заряд.

Потенциалом называется величина, равная отношению потенциальной энергии пробного заряда, помещённого в данную точку поля к величине этого заряда.

Электростатическое поле – потенциальное поле, а электростатическая сила – консервативная сила.

Модели заряженных тел.

1 – модель точечного заряда – любое заряженное физическое тело. Если поле определяется на расстоянии то оно больше, чем размеры тела.

2 – модели распределения зарядов:

Линейный заряд:

,

- поверхностная плотность заряда.

- объёмная плотность распределения заряда.

Закон Кулона в поле точечного заряда.

Два тела взаимодействуют между собой с силами, пропорциональными произведению этих зарядов и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними.

(Рисунок)

Закон Кулона является экспериментальным законом и он также вытекает из другого закона.

Эксперименты Кулона проводились на специальных крутильных весах.

- векторная форма записи закона Кулона.

(Рисунок)

- напряжённость поля точечного заряда.

Если q > 0 (рисунок)

Для упрощения графического изображения векторного поля вводится параллельные линии вектора напряжённости (силовые линии). Линии напряжённости – линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с вектором напряжённости.

Число линий, которое используется для изображения этого поля, численно равно значению напряжённости в данной точке.

(рисунок)

Если q

(рисунок)

Линии напряжённости начинаются на положительных и отрицательных зарядах или уходит в бесконечность.

Электростатическое поле диполя.

Диполь – система положительных и отрицательных зарядов, находящихся в этом поле.

(Рисунок)

- дипольный момент данной системы.

Вода

(Рисунок)

Принцип суперпозиции: напряжённость результирующего поля находится путём определения геометрической суммы простых полей.

(Рисунок)

Энергия взаимодействия системы зарядов.

Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов определяется по формуле:

(30)

Для системы из N зарядов можно записать:

(31)

или

Здесь , так как заряд сам с собой не взаимодействует. Множитель учитывает тот факт, что .

Представим последнее выражение в виде:

Учитывая, что представляет собой потенциал, создаваемый всеми зарядами, кроме в той точке, где помещается заряд , получим энергию взаимодействия системы зарядов:

(32)

Энергия заряженного проводника.

Поверхность проводника – эквипотенциальна, поэтому потенциалы тех точек, в которых находятся точечные заряды , одинаковы и равны потенциалу про водника. Используя (32), получим:

Учитывая, что , получим:

Энергия электростатического поля.

Принимая во внимание, что , запишем выражение для энергии заряженного конденсатора:

(32)

Энергию можно выразить из величины, характеризующей электростатическое поле в зазоре между обкладками. Учитывая, что , получим:

Так как , а (объём конденсатора), то получим:

(33¹)

Формула (33) связывает энергию поля с зарядом на его обкладках, а формула (33¹) – с напряжённостью поля. В электростатике дать однозначный ответ на вопрос, где сосредоточена (локализована) энергия, невозможно, так как поля и создавшие их заряды могут существовать отдельно друг от друга.

Из (33¹) получим выражение для плотности движения однородного электростатического поля:

(34)

или, учитывая, что для изотропного поля, получим:

или, принимая :

(35)

Здесь первое слагаемое представляет плотность энергии в вакууме, а второе – энергию, затрачиваемую на поляризацию диэлектрика (в единицах объёма).

В случае неоднородности поля, его энергию можно определить по формуле: