Уравнения Максвелла для электростатики. Векторные операторы в различных системах координат

2921
знак
14
таблиц
0
изображений

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря

Уравнения Максвелла для электростатики имеют вид:

div\vec{D}

= ρ

rot\vec{E}

=

\vec{0}

При этом

\vec{D} = \varepsilon_0\varepsilon \vec{E}, \vec{E} = -\nabla\varphi

(4)

В вакууме ε = 1, так что

div\vec{D}=\varepsilon_0 div \vec{E} = -\varepsilon_0 div grad \varphi = -\varepsilon_0 \Delta \varphi (\Delta - {\rm оператор Лапласа})

(5)

Потенциал φ считается равным нулю на бесконечности, если не оговорено иное.

Векторные операторы (grad, div, rot), фигурирующие в уравнениях Максвелла, по-разному записываются в различных системах координат:

grad \varphi = \nabla\varphi

=

\frac{\partial \varphi} {\partial x}\vec{i} + \frac{\partial \varphi}{\partial y}\vec{j} + \frac{\partial \varphi}{\partial z}\vec{k} - {\rm декартова}

(6)

\frac{\partial\varphi}{\partial r}\vec{e}_r - {\rm цилиндрическая}

(7)

\frac{\partial\varphi}{\partial r}\vec{e}_r - {\rm сферическая система}

(8)

div \vec{A} = \nabla\cdot\vec{A}

=

\frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} +\frac{\partial A_z} {\partial z} - {\rm декартова}

(9)

\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(rA_r \right) - {\rm цилиндрическая}

(10)

\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2A_r \right) - {\rm сферическая система}

(11)
Δ φ =

\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 \varphi} {\partial z^2} - {\rm декартова}

(12)

\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial \varphi} {\partial r} \right) - {\rm цилиндрическая}

(13)

\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial \varphi}{\partial r}\right) - {\rm сферическая система}

(14)

Для цилиндрической и сферической систем выписана лишь радиальная часть соответствующих операторов. Этого достаточно для решения задач, в которых электрические величины зависят только от r.

rot \vec{A}

=

\left(\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}\right) \vec{i} + \left( \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z} {\partial x}\right)\vec{j} + \left(\frac{\partial A_y} {\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\right) \vec{k}

(15)

Задача. Электрическое поле зависит только от координаты x согласно формуле \vec{E} = \alpha x \exp(-\beta x^2)\vec{i}. Требуется вычислить распределение заряда ρ(x) и распределение потенциала φ(x). При нахождении φ(x) принять φ|x = 0 = 0.

Решение: Распределение заряда находится непосредственно из уравнения Максвелла:

ρ =

div\vec{D} = \varepsilon_0 div\vec{E}

ρ =

\varepsilon_0 \frac{{\rm d}E_x}{{\rm d}x} = \varepsilon_0 \alpha \exp(-\beta x^2)(1-2\beta x^2)

Для нахождения потенциала φ(x) необходимо интегрирование уравнения (4), причем с обоснованно взятыми пределами, а именно от точки x = x*, в которой φ(x*) = 0 до точки x, в которой ищется потенциал:

\varphi(x) = -\int\limits_{x^*, \varphi(x^*)=0}^x E_x(\tilde{x}){\rm d}\tilde{x}

В условии сказано, что φ(0) = 0 - это и диктует выбор нижнего предела:

\varphi(x) = -\int\limits_{0}^x E_x(\tilde{x}){\rm d}\tilde{x}

В качестве переменной интегрирования мы используем \tilde{x}, чтобы избежать путаницы с x. Теперь мы проводим вычисление и приходим к окончательному ответу:

φ(x) =

-\int\limits_{0}^x \alpha \tilde{x} \exp(-\beta \tilde{x}^2){\rm d}\tilde{x} =

=

\left.\frac{\alpha}{2\beta}\cdot \exp(-\beta \tilde{x}^2)\right|_0^x = -\frac{\alpha}{2\beta}\left(1- \exp(-\beta x^2)\right)

Задача. В некоторой области распределение потенциала является цилиндрически-симметричным и подчиняется закону φ = α r5, где r - расстояние от оси. Найти Er(r) и ρ(r) для этой области.

Ответ: Er(r) = –5α r4, ρ(r) = –25ε0α r3

Задача. Потенциал внутри шара зависит от координаты r как φ(r) = ar2+b (a, b - константы). Найти ρ(r).

Решение Мы имеем дело со сферической системой и должны работать в ней. Ввиду симметрии, электрическое поле направлено от центра шара (или, вообще говоря, к нему - это зависит от знака a). Поле находим как градиент потенциала:

\vec{E} = E_r\vec{e_r} = -\nabla \varphi = -\frac{{\rm d}\varphi}{{\rm d}r} \vec{e_r} = -2ar\vec{e_r}

После этого сразу записывается \vec{D}(у нас ε = 1):

\vec{D} (= D_r\vec{e_r}) = \varepsilon_0 \cdot \vec{E}

Далее используем уравнение Максвелла для нахождения заряда:

\rho = div\vec{D} = \frac{1}{r^2}\frac{{\rm d}} {{\rm d}r}\left(r^2D_r\right) = \frac{1}{r^2}\frac{{\rm d}} {{\rm d}r}\left(-\varepsilon_0\cdot 2ar^3\right) = -6\varepsilon_0a

Задача. В цилиндрической системе имеется электрическое поле \vec{E} = Ar\exp(-\alpha r)\vec{e}_r, α>0. Выяснить, какому распределению заряда ρ(r) и какому потенциалу φ(r) такое поле соответствует.

Ответ: ρ(r) = Aε0exp(–α r)(2–α r), \varphi(r) = \frac{A}{\alpha^2} \exp(-\alpha r)(1+\alpha r)

Задача. Проверить, выполняется ли критерий потенциальности (rot \vec{E}=\vec{0}) для поля \vec{E} = 2axy\vec{i} + a(x^2+y^2) \vec{j}и для поля \vec{E} = 2axy^2\vec{i} + a(x^2+y^2) \vec{j}.

Ответ: Для первого поля - да, для второго - нет.

Список литературы

1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://edu.ioffe.ru/r


Информация о работе «Уравнения Максвелла для электростатики. Векторные операторы в различных системах координат»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 2921
Количество таблиц: 14
Количество изображений: 0

Похожие работы

Скачать
58731
18
33

... эквипотенциальных линий магнитного поля. Расчет силы магнитного поля на нижний магнит устройства методами программной системы конечно-элементного анализа ANSYS. Исследование сходимости методов расчета силы магнитного поля в зависимости от величина воздушного пространства, окружающего магнитную систему. Исследование сходимости методов расчета силы магнитного поля в зависимости от количества ...

Скачать
123987
0
72

... даёт для пустого пространства , потому что  в пустоте нет. Нарушается симметрия, то есть, вообще говоря, здесь было бы неплохо, если бы циркуляция по равнялась бы потоку от производной . Какая физика стоит за этим уравнением? Переменное магнитное поле создаёт электрическое поле, а переменное электрическое поле – ничего не создаёт. Вот, соображения симметрии в нынешней физике очень популярны, ну, ...

Скачать
36581
0
2

... уравнений магнитного поля для плоской поперечной магнитной волны показал, что теория магнетизма дает описание поперечных радио- и световых волн более простыми средствами, чем теория электромагнетизма, но, в отличии от последней, обладает непротиворечивой физической моделью процесса распространения магнитных волн. 2. Расчет Э.Д.С. магнитной индукции во вторичной обмотке катушки индуктивности при ...

0 комментариев


Наверх