Способ домножения обеих частей иррационального неравенства на некоторое число, либо выражение

9. Способ домножения обеих частей иррационального неравенства на некоторое число, либо выражение.

Этот способ мы можем использовать, основываясь на теоремах 19 и 20 из параграфа «Неравенства и их основные свойства».

Пример 1. Решить неравенство:

(1)

Решение. Уединение радикала и возведение обеих частей полученного неравенства в квадрат привело бы к громоздкому неравенству. В то же время, если проявить некоторую наблюдательность, то можно заметить, что заданное неравенство легко сводится к квадратному. Предварительно найдем ОДЗ неравенства:

2х² – 3х + 2  0

откуда получаем х – любое действительное число. Домножим обе части неравенства (1) на 2 получим

и далее

Полагая , получим у² – 2у - 8  0, откуда у  -2, у  4.

Значит, неравенство (1) равносильно следующей совокупности неравенств:

Второе неравенство системы имеет решения х  -2, х  3,5, а первое – не имеет решений, так левая часть неравенства неотрицательна, а правая отрицательна, это противоречит смыслу неравенства.

Все решения второго неравенства принадлежат ОДЗ неравенства (1) и получены при переходах к равносильным неравенствам.

Ответ: х  -2, х  3,5.

Пример 2. Решить неравенство

(1)

Решение. ОДЗ неравенства:

Домножим обе части неравенства на выражение

, имеющее ту же ОДЗ , что и неравенство (1).

Получим:

или:

Последнее неравенство всегда истинно на ОДЗ, т. к. –3 всегда будет меньше положительной правой части неравенства.

Ответ: х  1.

Пример 3. Решить неравенство

Решение. Найдем ОДЗ неравенства

Домножим обе части неравенства на :

Последнее неравенство равносильно совокупности:

Из первой системы получаем x

Объединяя их получаем:

Ответ:

10. Метод выделения полного квадрата в подкоренных выражениях при решении иррациональных неравенств, либо разложения подкоренного выражения на множители.

Пример 1. Решить неравенство

Попробуем отметить какие – либо особенности заданного неравенства, которые могли бы указать путь к решению. Такие особенности есть, а именно:

Решение. Найдем ОДЗ исходного неравенства

На промежутке [-1;4] третье и четвертое неравенства системы истинны.

Значит, ОДЗ х  [-1;4].

Перепишем заданное неравенство так:

откуда

Но и , поэтому получаем:

или:

В ОДЗ правая часть неравенства всегда положительна, поэтому возведем в квадрат обе части неравенства

решение этого неравенства х  [0; 3]. Этот промежуток принадлежит ОДЗ.

Ответ: х  [0; 3].

Пример 2. Решить неравенство:

Решение. Найдем ОДЗ неравенства:

откуда получаем x  1, х  5, х = 2

Перепишем наше неравенство следующим образом:

Поскольку обе части неравенства положительны и имеют смысл на ОДЗ, возведем в квадрат обе части этого неравенства, получим:

Правая часть полученного неравенства на ОДЗ всегда положительна, поэтому имеем право возвести обе части его в квадрат и получим равносильное неравенство:

(х – 2)²(х – 5)(х – 1)  9(х – 2)²(х – 1)²

или:

(х – 2)²(х – 1) (х – 5 – 9х + 9) 0

(х – 2)²(х – 1) (4 – 8х) 0

откуда методом интервалов получаем: х  Ѕ, х ≥ 1

Учитывая ОДЗ, получаем

Ответ: х  Ѕ, х = 1, х ≥ 5, х = 2

Похожие работы

Психолого-педагогическое обоснование внеклассной работы по математике

Скачать

113174

0

0

... говоря о том, что некоторые виды технических средств обладают исключительно большими возможностями наглядного показа материала обучения. Олимпиада одна из основных форм организации внеклассной работы по математике. Термин «олимпиада» проявился давно, хотелось бы вспомнить об истории отечественной математической олимпиады. Сначала о ней говорили в единственном числе, поскольку она организовывалась ...

Специальная педагогика

Скачать

899509

4

0

... и устойчивых требований, которые определяют характер и особенности организации коррекционно-образовательного процесса и управления познавательной деятельностью лиц с особыми образовательными потребностями. Специальная педагогика опирается на соответствующие обще- педагогические принципы организации образования и управления познавательной деятельностью, однако их реализация в системе специального ...

Исторические экскурсы в курсе алгебры 7 класса как средство развития познавательного интереса

Скачать

70672

3

3

... труде - все это формирует и развивает познавательный интерес и превращает его в важный стимул учебной деятельности учащихся [20,46]. Существуют различные средства развития познавательного интереса: решение занимательных, логических задач, игра, исторические экскурсы и другие. Наиболее подробно остановимся на исторических экскурсах. Знакомство с историей науки полезно для каждого человека, а для ...

Подготовка к Единому государственному экзамену по математике через элективные курсы

Скачать

45824

3

0

... учащихся к ЕГЭ, учителя математики СОШ №26 г.Якутска используют перечень вопросов содержания (кодификатор) школьного курса математики, усвоение которых проверяется при сдачи единого государственного экзамена 2007г. Элективный курс по подготовке к Единому Государственному Экзамену основан на повторении, систематизации и углублении знаний полученных ранее. Занятия проходят в форме свободного ...