Навигация
ДРУГИЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
29910
знаков
19
таблиц
2
изображения
6. ДРУГИЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
В этом разделе мы рассмотрим два метода определения собственных значений, имеющие большое практическое значение. Оба разработаны в последние 20 лет и наиболее эффективны в тех случаях, когда требуется найти все собственные значения произвольной матрицы действительных или комплексных чисел. В обоих используются преобразования, позволяющие получить последовательность подобных матриц, сходящуюся к матрице блочной треугольной формы:
| X1 | * | … | … | * | * | * | |
| x2 | * | … | … | * | * | * | |
| x3 | … | … | * | * | * | ||
| … | … | * | * | * | |||
| … | * | * | * | ||||
| … | * | * | |||||
| 0 | … | * | |||||
| * |
где блоки Хm, представляют собой матрицы размерности 2 х 2, расположенные на главной диагонали. Собственные значения блоков Хm, являются в то же время собственными значениями исходной матрицы размерности п x п. Такая форма удобна, так как детерминант второго порядка блоков Хm позволяет определять комплексные собственные значения, не вводя комплексных элементов в окончательную матрицу. Если все собственные значения исходной матрицы действительные, то в окончательном виде она будет треугольной, причем собственные значения будут расположены на диагонали.
Метод LR
Этот метод первоначально был разработан Рутисхаузером в 1958 г. Метод основан на представлении матрицы A в виде произведения
А = LR,
где L — левая треугольная матрица с единичными диагональными элементами, а R — правая треугольная. Применяя преобразование подобия L-1 A R, видим, что,
A2 = L-1 A R = L-1 (RL)L = R L.
Следовательно,
Am-1 = L m-1 Rm-1,
Am = R m-1 Lm-1.
Этот процесс повторяется до тех пор, пока Ls не превратится в единичную матрицу Е, а Rs не приобретет квазидиагональную форму. Хотя этот метод очень удобен, он не всегда устойчив. Поэтому предпочтение часто отдают другому методу.
Метод QR
Метод QR. предложен Фрэнсисом в 1961 г. Соответствующий ему алгоритм определяется соотношением
Am = Q m Rm.
где Q m — ортогональная матрица, а Rm — верхняя треугольная матрица. При использовании метода последовательно получаем
Am+1 = Q mT Am Q m = Q mT Q m Rm Q m = Rm Q m.
В пределе последовательность матриц А стремится к квазидиагональной форме. Этот метод сложнее предыдущего и требует больших затрат машинного времени. Однако его устойчивость,обусловленная использованием ортогональных преобразующих матриц, обеспечила ему прочную репутацию лучшего метода решения задач самой общей формы.
Пример 3
Пусть требуется найти все собственные значения произвольной матрицы размерности 6 x 6
| 2,3 | 4,3 | 5,6 | 3,2 | 1,4 | 2,2 |
| 1,4 | 2,4 | 5,7 | 8,4 | 3,4 | 5,2 |
| 2,5 | 6,5 | 4,2 | 7,1 | 4,7 | 9,3 |
| 3,8 | 5,7 | 2,9 | 1,6 | 2,5 | 7,9 |
| 2,4 | 5,4 | 3,7 | 6,2 | 3,9 | 1,8 |
| 1,8 | 1,7 | 3,9 | 4,6 | 5,7 | 5,9 |
Сделаем это в два приема, приведя сначала матрицу с помощью преобразования подобия к виду Гсссенберга, затем с помощью разновидности метода QR найдем собственные значения. В приведенной ниже программе использованы две подпрограммы из пакета программ для научных исследований фирмы IВМ. Подпрограмма НSВС преобразует матрицу размерности 6 x 6 к форме Гессенберга, а подпрограмма АТЕIG позволяет найти собственные значения.
{**********************************************************************}
Программа определение всех собственных значений произвольной матрицы размерности 6х5. Используются подпрограммы НSВС и АТЕIG из пакета программ для научных исследований фирмы IBM
{**********************************************************************}
DIMENSION A(6,6),RR(6),RI(6),IANA(6)
READ(5,100)((A(I,J),J=1,6),I=1,6)
WRITE(6,104)
104 FORMAT(///lX,’THE ORIGINAL MATRIX IS AS FOLLOWS’)
WRITE(6,103)
103 FORMAT(1X,65(-'--'))
WRITE(6,101)((A(I,J),J=1,6),I=1,6)
WRITE(6,103)
FORMAT(6(1X,F10.5))
100 FORMAT(6F10.5)
CALL HSBG(6,A,6)
WRITE(6,105)
105 FORMAT(///1X,'THE MATRIX W HESSENBUR5 FORM IS') WRITE(6,103)
WRITE(6,101)((A(I,J),J=1,6),I=1,6)
WRITE(6,103)
CALL ATEIG(6,A,RR,RI,IANA,6)
WRITE(6,106)
FORHAT(///1X,'THE EIGENVALUES ARE AS FOLLOUS')
WRITE(6,107)
Похожие работы
... решения системы. Метод Данилевского Простой и изысканный метод нахождения характеристического многочлена предложил А.М.Данилевский. Рассмотрим идею метода. Рассмотрим матрицу A Для которой находится характеристический многочлен, при помощи подобных преобразований преобразуется к матрице , которая имеет нормальную форму Фробениуса, то есть матрица имеет в явном виде в последнем ...
... , заданного матрицей P= в пространстве R2. Решение. Составим характеристическое уравнение: |P – λ·E|== λ2-5 λ+4=0 Из квадратного уравнения найдем собственные значения линейного оператора λ1=1, λ2=4. Чтобы найти собственные векторы, решим матричные уравнения: (P – λ1 E) X=0 и (P – λ2 E) X=0 В развернутом виде и Соответствующие однородные системы ...
... может быть, четыре или пять, собственных значений. Нахождение всех собственных пар разреженной матрицы представляет собой достаточно сложную вычислительную проблему. Итерационные методы позволяют находить собственные значения и векторы, минуя процедуру построения характеристического полинома. Отличительной чертой этих методов является то, что собственные значения находятся лишь после определения ...
... В.В. О построении собственных значений и функций одной газодинамической задачи Франкеля // Математическое моделирование. 1990. Т. 2. № 10. С. 100-109. Моисеев Е.И. о решении вырождающихся уравнений с помощью биортогональных рядов // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27. № 1. С. 94-103. Мамедов Я.Н. О некоторых задачах на собственные значения для уравнения смешанного типа // Дифференц. уравнения
0 комментариев