ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

3. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ.

Пожалуй, наиболее очевидным способом решения задачи на собственные значения является их определение из системы уравнений

(A - lE) Х == 0,

которая имеет ненулевое решение лишь в случае, если det(A - lE)=0. Раскрыв определитель, получим многочлен п-й степени относительно l, корни которого и будут собственными значениями матрицы. Для определения корней можно воспользоваться любым из методов, описанных в гл. 2. К сожалению, в задачах на собственные значения часто встречаются кратные корни. Так как итерационные методы, в этих случаях не гарантируют получение решения, то для определения собственных значений следует пользоваться другими итерационными методами.

Определение наибольшего собственного значения методом итераций

На рис. 1 показана блок-схема простейшего итерационного метода отыскания наибольшего собственного значения системы

AХ = lХ.

Процедура начинается с пробного нормированного вектора X(0). Этот вектор умножается слева на матрицу A, и результат приравнивается произведению постоянной (собственное значение) и нормированному вектору X(0).. Если вектор X(0) совпадает с вектором X(0), то счет прекращается. В противном случае новый нормированный вектор используется в качестве исходного и вся процедура повторяется. Если процесс сходится, то постоянный множитель соответствует истинному наибольшему собственному значению, а нормированный вектор — соответствующему собственному вектору. Быстрота сходимости этого итерационного процесса зависит от того насколько удачно выбран начальный вектор. Если он близок к истинному собственному вектору, то итерации сходятся очень быстро. На быстроту сходимости влияет также и отношение величин двух наибольших собственных значений. Если это отношение близко к единице, то сходимость оказывается медленной.

Рис. 1. Блок-схема алгоритма иитерационного метода решения задач на собственные значения.

Пример 1

Исследуем трехосное напряженное состояние элемента тела, представленного на рисунке 2. Матрица напряжений для него имеет вид

10	5	6
5	20	4	* 106 Н/м2
6	4	30

Рисунок 2.Трехосное напряженное состояние элемента тела.

Если исходить из того, что разрушение произойдет при максимальном напряжении, то необходимо знать величину наибольшего главного напряжения, которое соответствует наибольшему собственному значению матрицы напряжений. Для нахождения этого напряжения воспользуемся методом итерации Ниже приведена программа для ЭВМ, с помощью которой итерационная процедура осуществляется до тех пор, пока разность между собственными значениями, вычисленными в последовательных итерациях, не станет менее 0,01%. В программе использованы две подпрограммы — GMPRD из пакета программ для научных исследований фирмы IВМ, служащая для перемножения матриц и NORML, нормирующая собственные векторы по наибольшему элементу.

{**********************************************************************}

Программа определения собственных значений Программа позволяет определить наибольшее главное напряжение (собственное значение) для данного трехосного напряженного состояния. Применяется метод итераций. Счет прекращается, когда изменение собственного значения становится менее 0,01 процента или число итераций превышает 50.

{**********************************************************************}

DIMENSION S(3,3),X(3),R(3)

S(1,1) = 10.E06

S(1,2) = 5.ЕО6

S(2,1) = S(1,2)

S(1,3) = 6.E06

S(3,1) = S(1,3)

S(2,2) = 20.E06

S(2,3) = 4.E06

S(3,2) = S(2,3)

S(3,3) = З0.Е06

X(1) = 1.

Х(2) = 0.0

Х(3) = 0.0

XOLD = 0.0

I = 0

WRITE(6 100)

WRITE(6 101)

WRITE(6 102)

WRITE(6 100)

WRITE(6 104) I,X(1),X(2),X(3)

DO 1 1=1,50

CALL GMPRD (S, X, R, 3, 3, 1)

DO 2 J=1,3

2 X(J) = R(J)

CALL NORML(XLAM,X)

WRITE(6,103) I,XLAM,X(1),X(2),X(3)

IF(ABS((XOLD-XLAM)/XLAM).LE.0.0001) GO TO 3

XOLD = XLAM

3 WRITE(6,100)

100 FORMAT (1X 54C'-''))

FORMAT (2X ‘ITERATION’, ЗХ ‘ITERATION’, 11X,‘EIGENVECTOR')

FORMAT (3X 'NUMBER", 6X ,'(N/M**2)’, 5X, ‘X(1)’,

 6X,'X(2)',6X,’X(3)’)

103 FORMAT (1X,I5,7X,E12.5,3F10.5)

104 FORMAT (1X,I5,19X,3F10.5)

STOP

END

{**********************************************************************}

SUBROUTINE NORML(XL,X)

DIMENSION X(3)

{**********************************************************************}

Подпрограмма norml.

Эта подпрограмма находит наибольший из трех элементов собственного вектора и нормирует собственный вектор по этому наибольшему элементу.

{**********************************************************************}

# FIND THE LARGEST ELEMENT

XBIG = X(1)

IF(X(2).GT.XBIG)XBIG=X(2)

IF(X(3).GT.XBIG)XBIG=X(3)

# Нормирование по XBIG

X(l) = X(1)/XBIG

X(2) = X(2)/XBIG

X(3) = X(3)/XBIG

XL = XBIG

RETURN

END

{**********************************************************************}

Результат работы программы получаем в виде:

Номер Итерации	Собственное Значение ( N / M ** 2 )	Собственный вектор
		X (1)	X (2)	X (3)
0.		1.00000	0.	0.
	0.10000 Е 08	1,00000	0.50000	0.60000
	0.26000Е 08	0.61923	0.66923	1.00000
	0.36392Е 08	0.42697	0.56278	1.00000
	0.34813Е 08	0.37583	0.49954	1.00000
	0.34253Е 08	0.35781	0.46331	1.00000
	0.34000Е 08	0.34984	0.44280	1.00000
	0.33870Е 08	0.34580	0.43121	1.00000
	0.33800Е 08	0.34362	0.42466	1.00000
	0.33760Е 08	0,34240	0.42094	1.00000
	0.33738Е 08	0.34171	0.41884	1.00000
	0.33726Е 08	0.34132	0.41765	1.00000
	0.33719Е 08	0,34110	0.41697	1.00000
	0.33714Е 08	0.34093	0.41658	1.00000
	0.33712Е 08	0.34091	0.41636	1.00000

Отметим, что для достижения требуемой точности потребовалось 14 итераций.

Определение наименьшего собственного значения методом итераций

В некоторых случаях целесообразно искать наименьшее, а не наибольшее собственное значение. Это можно сделать, предварительно умножив исходную систему на матрицу, обратную A:

А-1АX=lА-1X.

Если обе части этого соотношения умножим на 1/l, то получим

1/l Х = A-1X.

Ясно, что это уже иная задача на собственное значение, для которой оно равно 1/l, а рассматриваемой матрицей является A-1. Максимум 1/l, достигается при наименьшем l. Таким образом, описанная выше итерационная процедура может быть использована для определения наименьшего собственного значения новой системы.

Определение промежуточных собственных значений методом итераций

Найдя наибольшее собственное значение, можно определить следующее за ним по величине, заменив исходную матрицу матрицей, содержащей лишь оставшиеся собственные значения. Используем для этого метод, называемый методом исчерпывания. Для исходной симметричной матрицы A с известным наибольшим собственным значением l1 и собственным вектором X1 можно воспользоваться принципом ортогональности собственных векторов, т. е. записать

ХiT Хj =0 при i<>j и ХiT Хj =1 при i=j.

Если образовать новую матрицу A* в соответствии с формулой

A* =A-l1Х1 Х1T,

то ее собственные значения и собственные векторы будут связаны соотношением

А*Xi =liXi.

Из приведенного выше выражения для матрицы A* следует, что

A* Хi = AХi -lХ1 Х1TXi.

Здесь при i = 1 свойство ортогональности позволяет привести правую часть к виду

A Х1 - l1 Х1.

Но по определению собственных значений матрицы A это выражение должно равняться нулю. Следовательно, собственное значение l1 матрицы A* равно нулю, а все другие ее собственные значения совпадают с собственными значениями матрицы A. Таким образом, матрица A* имеет собственные значения 0, l2, l3,. . ., ln и соответствующие собственные векторы Х1, Х2, Хз,. . . .... Хn. В результате выполненных преобразований наибольшее собственное значение l1 было изъято, и теперь, чтобы найти следующее наибольшее собственное значение l2, можно применить к матрице A* обычный итерационный метод. Определив l2 и Х2, повторим весь процесс, используя новую матрицу A**, полученную с помощью A*, l2 и Х2. Хотя на первый взгляд кажется, что этот процесс должен быстро привести к цели, он имеет существенные недостатки. При выполнении каждого шага погрешности в определении собственных векторов будут сказываться на точности определения следующего собственного вектора и вызывать накопление ошибок. Поэтому описанный метод вряд ли применим для нахождения более чем трех собственных значений, начиная с наибольшего или наименьшего. Если требуется получить большее число собственных значений, следует пользоваться методами преобразования подобия.