Навигация
Для получения второго уравнения используем свойство корней исходного уравнения
26979
знаков
0
таблиц
0
изображений
5. Для получения второго уравнения используем свойство корней исходного уравнения
Из исходного уравнения b = - (X1 + X2 + X3 ) → b = - (g1 + g2 - ih + g2 + ih )
→ b = - ( g1 + 2g2 )
6. X1 = g1 = 
- b )
→ X11 = g11 = 
- b )
→ X12 = g12 = 
- b )
7. → g2 = - 
→ g21 = - 
→ g22 = - 
8. Определяем два остальных корня
X21 = g21 + h
X22 = g22 + h
X31 = g21 – h
X32 = g22 – h
Пример 9 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 - 6x2 + 58x – 200 = 0
где a =1, b = - 6, c = 58, d = - 200
Решение
1. Определяем значение D1 = - 
-→D1 = - [4(174 – 36)3+(- 432 + 3132 – 5400)2]/27 = - [ 10512288 + 7290000 ]/27= 659344
-→ D1 = [(g1 - g2 )2 - h2 ]2 ∙ 4h2 = 659344 = 4∙22∙72∙292 = 4∙142∙292 = 4∙72∙582 = 4∙22∙2032
-→ 
= 2032∙22 = 582∙72 = 292∙142
Пусть h12= 72
→ X1 = g11 = 
- b ) = 
+ 6) = 
= 4
→ X1 = 4
→ g21 = - = - 
= 1
→ X2,3 = g21 + ih1 = 1 ± 7i → X2 = 1 - 7i, X3 = 1 + 7i
Задача решена!
Пример 10 Дано уравнение
x3 - 6x2 + 21x – 52 = 0
где a =1, b = - 6, c = 21, d = - 52
Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
Решение
1. Определяем значение D1 = -
-→D1 = - [4(63 – 36)3+(- 432 + 1134 – 1404)2]/27 = - [ 78732 + 492804 ]/27= 21168
→ D1 =[(g1 - g2 )2 - h2 ]2 ∙ 4h2 = 21168 = 4∙22∙72 ∙ 
= 4∙142∙ = 4∙
→ D1 = 
Пусть h12=
→ X1 = g11 = - b ) = 
+ 6) = = 4
→ X1 = 4
→ g21 = - = - = 1
→ X2,3 = g21 + ih1 = 1 ± 2i
→ X2 = 1 + 2i
, X3 = 1 - 2i
Сравните метод решения и результат с первоисточником.
[И.Н.Бронштейн. К. А.Семендяев .Справочник по математике. М. Наука.1980. Стр. 220 ]
Вывод новых формул
Основные свойства корней квадратного и кубического уравнений выражаются известными формулами Виета. Использование системы mn параметров дает возможность получения новых, ранее неизвестных, формул отражающих свойства корней указанных уравнений.
Рассмотрим кубическое уравнение и проведем анализ формулы (1)
(2mn)2 + ( 3x + b )(2mn) + 3x2 + 2bx +с = 0
Если в это уравнение подставить значение любого из корней исходного кубического уравнения, то получим
(2mn)2 + ( 3xi + b )(2mn) + 3xi2 + 2bxi +с = 0
→ (2mn)2 + ( 3x1 + b )(2mn) + 3x12 + 2bx1 +с = 0
→ (2mn)2 + ( 3x2 + b )(2mn) + 3x22 + 2bx2 +с = 0
→ (2mn)2 + ( 3x3 + b )(2mn) + 3x32 + 2bx3 +с = 0
Таким образом, исходное кубическое уравнение распадается на три квадратных уравнения. При этом для каждого положительного значения (2mn)Iобязательно найдется отрицательное значение (2mn)j. Поэтому общая сумма всех корней вида (2mn) будет равна нулю.
→ ( 3x1 + b ) + ( 3x2 + b ) + ( 3x3 + b ) = 0 → 3( x1 + x2 + x3 ) = - 3 b
→ ( x1 + x2 + x3 ) = - b.
Таким образом получили строгое доказательство одного из уравнений Виета.
Рассмотрим любых два уравнения, например,
→ (2mn)2 + ( 3x1 + b )(2mn) + 3x12 + 2bx1 +с = 0
(2mn)2 + ( 3x2 + b )(2mn) + 3x22 + 2bx2 +с = 0.
Здесь в качестве свободных членов имеем 3x12 + 2bx1 +с и 3x22 + 2bx2 +с. Их сумма равна
→ Σ = 3(x12 + 3x22 ) + 2b(x1 + x2 ) + 2 с. Расчеты показывают, что
3(x12 +x22 ) + 2b( x1 + x2 ) + 2 с = ( x1 - x2 )2
→ (x1 + x2 )2 + b( x1 + x2 ) + с - x1∙ x2 = 0
Тогда для трех корней исходного уравнения будем иметь
→ (x1 + x2)2 + b( x1 + x2 ) + с - x1∙ x2 = 0
→ (x1 + x3)2 + b( x1 + x3 ) + с - x1∙ x3 = 0
→ (x2 + x3)2 + b( x2 + x3 ) + с - x2∙ x3 = 0
Это новые формулы, отражающие свойства корней исходного кубического уравнения!
В общем случае эта формула имеет вид
( xi + xj )2 + b( xi + xj ) + с - xi∙ xj= 0 ( 10 )
Пример 11 Проверить формулу ( 10 )
x3 - 20x2+ 113x - 154 = 0
где a =1, b = - 20, c =113, d = -154
Здесь X1 = 7, X2 = 2, X3 = 11.
→ (x1 + x2)2 + b( x1 + x2 ) + с - x1∙ x2 = 0 → (7 + 2)2 - 20( 7 + 2 ) + 113 - 7∙ 2= 0
→ (x1 + x3)2 + b( x1 + x3 ) + с - x1∙ x3 = 0 → (7 + 11)2 - 20( 7 + 11 ) + 113 - 7∙ 11= 0
→ (x2 + x3)2 + b( x2 + x3 ) + с - x2∙ x3 = 0 → (2 + 11)2 - 20( 2 + 11 ) + 113 - 2∙ 11= 0
Расчет подтверждает верность формулы ( 10 ).
Три действительных корня и два одинаковых
При наличии двух одинаковых корней имеет место нулевая разность, т.е. (2mn) = 0.
Тогда из уравнения (2) следует 3x12 + 2bx1 +с = 0. Подставив значения коэффициентов b и с и решив это уравнение получим значение корня- дубля.
Пример 12 Пусть имеем в качестве исходного уравнение x3 – 25x2 + 203x – 539 = 0. Необходимо найти решения данного уравнения.
Решение Допустим, что для данного уравнения имеют место два одинаковых корня. Тогда имеем 3x12 + 2bx1 +с = 0 → 3x12 - 50x1 + 203 = 0 → x1,2 = 
) → x1 = 
, x2 = 7.
Подставив значение x = 7 в исходное уравнение, убеждаемся, что это один из корней- дубля исходного уравнения. Определить третий корень исходного уравнения не представляет особого труда. Таким образом, решением заданного исходного уравнения является
X1 = X2 = 7, X3 = 11
Три действительных и одинаковых корня
В этом случае имеем для всех (2mn) = 0. Из уравнений (46), (47), (48) получим 3x12 + 2bx1 +с = 0.
→ x1,2 = 
). При равенстве трех корней имеем 
= 0
→ x1,2,3 = - 
.
Эту формулу можно получить и более просто. На основании формулы Виета
→ ( x1 + x2 + x3 ) = - b. При x = x1 = x2 = x3 → 3 x = - b → x = - .
Пример 12 Дано уравнение
x3 – 24x2 + 183x – 448 = 0 → b= - 24, с = 183, d = - 448
Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
Решение
1. Определяем значение D1 = -
-→D1 = - [4(549 – 576)3+(- 27648 + 39528 – 12096)2]/27 = - [- 78732 + 46656 ]/27= 1188
-→ 1188= 4∙9∙33 = 4∙36∙
2. Пусть h2= 
→ = [(g1 - g2 )2 - h2 ]2 ∙ h2 → [(g1 - g2 )2 + h2 ]2 = 36 → [(g1 - g2 )2 - h2 ] = ± 6
→ (g1 - g2 )2 = - 6 + = 
→ g1 - g2 = ± 
.
Второе уравнение ( x1 + x2 + x3 ) = - b → (g1 + g2 + h + g2 – h) = - b → g1 + 2g2 = 24
Таким образом, имеем два уравнения g1 - g2 = ± 
и g1 = 24 - 2g2 .
→ 24 - 2g2 - g2 = ± → g2 = 
= 
→ g2 = 
→ g1 = 24 - 2g2 → g1 = 24 – 17→ g1 = 7
→ X1 = 7, X2 = 
( 17 + 
), X3 = ( 17 - )
Задача решена!
Внимание! В данном примере имеет место множитель в значениях X2 и X3. Этот случай обусловлен следующим
1. Разделим исходное уравнение x3 – 24x2 + 183x – 448 = 0 на (x – 7)
→ 
= - x2 + 17x – 64→ x3 – 24x2 + 183x – 448= (x – 7)∙( x2 - 17x + 64)=0.
кубическое уравнение формула кардан
2. В уравнении x2 - 17x + 64=0 при x имеем нечетный коэффициент равный 17. Поэтому ранее и принято значение 1188= 4∙36∙ .
Автор с благодарностью примет конкретные предложения, замечания и оценки.
E- Mail: fgg-fil1@narod.ru
Похожие работы
... в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, • в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений. . Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения , В “Арифметике” Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится ...
... решения от численных методов расчёта. Для определения корней уравнения не требуется знания теорий групп Абеля, Галуа, Ли и пр. и применения специальной математической терминологии: колец, полей, идеалов, изоморфизмов и т.д. Для решения алгебраического уравнения n - ой степени нужно только умение решать квадратные уравнения и извлекать корни из комплексного числа. Корни могут быть определены с ...
... «проявляется» лишь в процессе преобразований. Очевидность и «завуалированность» новой переменной мы рассмотрим на конкретных примерах во второй главе данной работы. 2. Возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений В этой главе выявим возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений в стандартных и нестандартных ...
... рассмотреть лишь два варианта: , и . Подставляя эти пары значений в остальные уравнения, убеждаемся, что первая из них дает искомое разложение: . Этот способ решения называется методом неопределенных коэффициентов. Если уравнение имеет вид , где и - многочлены, то замена сводит его решение к решению двух уравнений меньших степеней: и . Возвратные уравнения Возвратным алгебраическим ...
0 комментариев