Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

5. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

5.1 3x2 + 2bx + c = - (2mn)11( 2mn)21

-→ 3x2 - 2∙(6.85)∙ x + 13.425 = (2.5)∙(2.65) -> 3x2 – 13.7x + 6.8 = 0.

-→ X₁ = 4 – это один из корней исходного уравнения!

 

6. Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X₁ = 4, и

кроме того, известны значения (2mn)₁₁ ÷ (2mn)₃₂. Этих данных достаточно для

определения двух остальных корней.

6.1 Пусть (2mn)₁₁ = 2.5 = (X₁ - X₂) -→ X₂ = X₁ – 2.5 = 4 – 2.5 = 1.5 . Это второй корень!

6.2 Пусть (2mn)₁₂ = - 2.5 = (X₁ - X₂) -→ X₂ = X₁ +2.5 = 4 + 2.5 = 6.5. Это не корень.

6.3 Пусть (2mn)₂₁ = 2.65 = (X₁ - X₃) -→ X₃ = X₁ – 2.65= 4 – 2.65 = 1.35. Это третий корень!

Решением исходного уравнения будет X₁ = 4, X₂ = 1.5, X₃ = 1.35.

Расчет закончен !

Неприводимый случай формулы Кардана

 

Если для кубического уравнения имеет место случай одного действительного и двух мнимых сопряженных корней, то такой вариант называют неприводимым случаем формулы Кардана.

Рассмотрим неприводимый случай формулы Кардана с позиций системы mn параметров.

Задача "Задано кубическое уравнение вида ax3 + bx2+ cx + d = 0. Известно, что нули этого уравнения имеют один действительный и два мнимых сопряженных корня . Используя формулы системы mn параметров предложить метод определения нулей исходного уравнения ".

Пусть а = 1.

 

Решение

Ранее было показано, что для любого кубического уравнения имеют место формулы

D₁ = - (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32

D₂ = - [(2mn)12 + ( 2mn)22 + ( 2mn)32],

где

- (2mn)j - разность любой пары корней исходного уравнения

- D₁ = -

- D₂ = - 2( 3c – b² )

- ( b,c,d) – коэффициенты исходного уравнения.

По условиям задачи имеем один действительный корень ( обозначим его X₁ = g₁) и два сопряженных мнимых корня X₂ = ( g₂ - hi), X₃ = ( g₂ + hi). Тогда

(2mn)₁ = ( X₁ - X₂ ) = (g₁ - g₂ ) + hi

(2mn)₂ = ( X₁ - X₃ ) = (g₁ - g₂ ) – hi

(2mn)₃ = ( X₂ - X₃ ) = g₂ - hi - g₂ – hi = - 2hi

-→ D₁ = - ( 2mn)₁² ∙ ( 2mn)₂² ∙ ( 2mn)₃² = - [(g₁ - g₂ ) + hi]² ∙ [(g₁ - g₂ ) - hi]² ∙ [2 hi]²

-→ D₁ = [(g₁ - g₂ )² + h² ]² ∙ 4h²

Обратим внимание на то, что в этой формуле в квадратных скобках имеют место

- знак “ + “

- только действительные числа.

Таким образом, метод решения поставленной задачи заключается в следующем

 

1. На основании значений коэффициентов исходного уравнения по формулам

 

D₁ = -

D₂ = - 2( 3c - b² )

определяются значения D₁ и D₂.

 

2. Определяются D₁ - как произведение двух квадратов

D₂ - как удвоенная сумма двух квадратов.

 

3. Определяются значения g₁, g₂,h.

 

4. Определяются значения (2mn)₁₁, (2mn)₂₁, (2mn)₃₁

 

5. Определяются значения корней исходного уравнения.

Пример 5 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 9x2 + 73x – 265 = 0

 

где a =1, b = - 9, c = 73, d = - 265

В этом уравнении имеет место неприводимый случай формулы Кардана.

 

Решение

1. Определяем значение D₁ = -

-→D₁ = - [4(219 – 81)3+(- 1458 + 5913 – 7155)2]/27 = - [ 10512288 + 7290000]/27= - 659344

 

2. Для дальнейших расчетов общий знак “ - “ не имеет значения, поэтому будем рассматривать D₁ как положительную величину.

-→D₁ = [(g₁ - g₂ )² + h² ]² ∙ 4h² = 659344 = 2∙2∙2∙2∙7∙7∙29∙29 = 4∙2∙2∙7∙7∙29∙29= 4∙7² ∙ 58²

Здесь число 659344 представлено в виде всех сомножителей с целью наглядности формирования множителей в соответствии с формулой [(g₁ - g₂ )² + h² ]² ∙ 4h² . Тогда можно записать

h = 7, (g₁ - g₂ )² + h² = 58 -→ (g₁ - g₂ )² = 58 – 49 = 9 -→( g₁ - g₂ ) = ± 3

 

3. Для определения g₁ и g₂ воспользуемся свойством корней исходного уравнения

- b = X₁+X₂+X₃ -→ - ( - 9) = g₁ + g₂ + hi + g₂ – hi = g₁ + 2 g₂ -→ 9 = g₁ + 2g_2.

 

4. Теперь, имея два уравнения ( g₁ - g₂ )= ± 3 и (g₁ + 2 g₂) = 9, можно определить значения g₁ и g₂

Пусть ( g₁ - g₂ )= 3 -→ g₂ = g₁ – 3 -→ g₁ + 2(g₁ – 3) = 9 -→ 3g₁ = 15 -→ g₁ = 5 -→ g₂ = 2.

-→ X₁ = 5, X₂ = 2 + 7i , X₃ = 2 – 7i

Расчет закончен !

 

Пример 6 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 30x2 + 322x – 1168 = 0

где a =1, b = - 30, c = 322, d = - 1168

В этом уравнении имеет место неприводимый случай формулы Кардана.

 

Решение

1. Определяем значение D₁ = -

-→D₁ = - [4(966 – 900)3+(- 54000 + 86940 – 31536)2]/27 = - [ 1149984 + 1971216]/27= - 115600

2. Для дальнейших расчетов общий знак “ - “ не имеет значения, поэтому будем рассматривать D₁ как положительную величину.

-→D₁ = [(g₁ - g₂ )² + h² ]² ∙ 4h² = 115600 = 2∙2∙2∙2∙5∙5∙17∙17 = 4∙2∙2∙5∙5∙17∙17= 4∙ 5² ∙34²

Здесь число 115600 представлено в виде всех сомножителей с целью наглядности формирования множителей в соответствии с формулой [(g₁ - g₂ )² + h² ]² ∙ 4h² . Тогда можно записать

h = 5, (g₁ - g₂ )² + h² = 34 -→ (g₁ - g₂ )² = 34 – 25 = 9 -→( g₁ - g₂ ) = ± 3

3. Для определения g₁ и g₂ воспользуемся свойством корней исходного уравнения

- b = X₁+X₂+X₃ -→ - ( - 30) = g₁ + g₂ + hi + g₂ – hi = g₁ + 2 g₂ -→ 30 = g₁ + 2g_2.

4.Теперь, имея два уравнения ( g₁ - g₂ )= ± 3 и (g₁ + 2 g₂) = 30, можно определить значения g₁ и g₂

Пусть ( g₁ - g₂ )= - 3 -→ g₂ = g₁ – 3 -→ g₁ + 2(g₁ – 3) = 30 -→ 3g₁ = 24 -→ g₁ = 8 -→ g₂ = 11.

-→ X₁ = 8, X₂ = 11 + 5i , X₃ = 2 – 5i

Расчет закончен !

 

Новый метод решения кубических уравнений

Из анализа результатов вышеприведенных примеров можно предложить новый метод решения кубических уравнений..Для корней кубического уравнения могут

иметь место следующие случаи

- три корня имеют одинаковые действительные значения

- три корня имеют действительные значения, при этом два из них являются сопряженными, т.е. если X₁ = g + h, то X₂ = g – h или X₁ = (g + h), то X₂ = (g – h), Наличие множителя  обусловлено численным значением коэффициента b при X для X³ + bX² + cX + d = ( X – X₁)∙( X² + bX + c) = 0.

- один корень имеет действительное значение, два других- комплексные и сопряженные, т.е. если X₁ = g + ih, то X₂ = g – ih.

Первый случай – тривиальный . (x – a )³ = x³ – 3ax²+3a²x – a³= 0. Определение корней для остальных случаев является непростой задачей.

Три разных действительных корня

Пусть имеем один действительный корень ( обозначим его X₁ = g₁) и два сопряженных действительных корня. Если исходное уравнение разделить на разность ( X – g₁ ), то получим квадратное уравнение вида

[ X – (g₂ + h)]∙[ X – (g₂ - h)] = 0

-→ X² – 2g₂X + (g₂² – h²) = 0

-→ X₁ = g₁, X_2,3 = g₂ ± h -→ X₂ = ( g₂ - h), X₃ = ( g₂ + h)

-→ (2mn)₁ = ( X₁ - X₂ ) = (g₁ - g₂ ) + h

(2mn)₂ = ( X₁ - X₃ ) = (g₁ - g₂ ) – h

(2mn)₃ = ( X₂ - X₃ ) = g₂ - h - g₂ – h = - 2h

-→ D₁ = - ( 2mn)₁² ∙ ( 2mn)₂² ∙ ( 2mn)₃² = - [(g₁ - g₂ ) + h]² ∙ [(g₁ - g₂ ) - h]² ∙ [2h]²

-→ D₁ = [(g₁ - g₂ )² - h² ]² ∙ 4h² (3)

-→ D₂ = - [ (2mn)₁² + (2mn)₂² + (2mn)₃² ] = - [(g₁ - g₂ ) + h]² + [(g₁ - g₂ ) - h]² + 4h²

→ D₂ = - [(g₁ - g₂ )² + 2(g₁ - g₂ )∙ h + h² + (g₁ - g₂ )² - 2(g₁ - g₂ )∙ h + h² + 4h²]

→ D₂ = - [ 2(g₁ - g₂ )² + 6h²] = - 2[(g₁ - g₂ )² +3h²] (8)

На основании формул системы mn параметров имеем

D₁ = -  (4)

D₂ = - 2( 3c - b² ), (5)

 

где b,c,d- коэффициенты исходного кубического уравнения.

Три действительных корня и два одинаковых

Пусть имеем один действительный корень ( обозначим его X₁ = g₁) и два равных действительных корня. Тогда имеем h =0 и (2mn)_I = 0

При (2mn)_I = 0 на основании уравнения (1) будем иметь

3x² + 2bx +с = 0 (6)

→ X₂ = ( g₂ - h), X₃ = ( g₂ + h) → X₂ = X₃ = g₂

→ (2mn)₁ = ( X₁ - X₂ ) = (g₁ - g₂ )

(2mn)₂ = ( X₁ - X₃ ) = (g₁ - g₂ )

(2mn)₃ = ( X₂ - X₃ ) = g₂ - g₂ = 0

→ D₁ = - ( 2mn)₁² ∙ ( 2mn)₂² ∙ ( 2mn)₃² = 0

→ D₂ = - [ (2mn)₁² + (2mn)₂² + (2mn)₃² ] = - [ (2mn)₁² + (2mn)₂² ]

→ D₂ = 2 (2mn)₁² = 2 (g₁ - g₂ )² = - 2( 3c – b² ) = 2( b² – 3c )

→ (g₁ - g₂ )² = ( b² - 3c )

На основании свойств корней исходного уравнения можно записать - b = X₁ + 2X₂

→ g₁ + 2g₂ = - b

Решая систему из двух уравнений будем иметь g₂ = -

→ X_11,12 = g_11,12 = [ - b ±  ]

→ X_21,22 = g_21,22 = [ - b ±  ]

Расчет закончен !

Пример 7 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 41x2 + 475x – 1083 = 0

где a =1, b = - 41, c = 475, d = - 1083

1. X_11,12 = g_11,12 = [ - b ±  ] → X_11,12 = [ 41 ±  ] = [ 41 ±  ]

→ X₁₁ =  , X₁ = 3

X_21,22 = g_21,22 = [ - b ±  ] → g_21,22 = [ 41 ±  ]= [ 41 ±  ]

→ X₂₁ = 19, X₂₂ =  → X₂ = X₃ = 19

Расчет закончен !

Вывод основных формул

Задано исходное уравнение x3 + bx2+ cx + d = 0 . Необходимо найти значения корней.

 

1. Определяем значение D₁ = -

 

2. Разделим

 

3. Представляем число  в виде произведения двух квадратов  = [(g₁ - g₂ )² - h² ]² ∙ h².

 

4. Меньший множитель принимаем за h²→ [(g₁ - g₂ )² - h² ]² =

→ (g₁ - g₂ ) =  (6)