2.3 Пример 3

 

Рассмотрим пример: найдём приближенно объём, ограниченный поверхностями

Искомый объём численно равен величине интеграла

(3.7)

Так как в области V , вводим новую переменную , в результате чего интеграл (3.7) переходит в интеграл


 (3.8)

где область, ограниченная поверхностями

т.е.  принадлежит единичному кубу .

Берём теперь три равномерно распределенные на отрезке  последовательности случайных чисел и записываем их в качестве координат  случайных точек в табл. 3.2. Затем проверяем, какие из этих точек принадлежат области .

Таблица 3.2

1 0.577 0.116 0.077 0.384 0.147 1 0.667 1 1
2 0.716 0.930 0.216 0.430 0.232 0.993 0.193 0.231 0
3 0.737 0.930 0.237 0.430 0.241 1 0.242 1 1
4 0.701 0.428 0.201 0.072 0.045 0.940 0.140 0.122 1
5 0.170 0.529 0.330 0.029 0.110 1 0.610 1 1
6 0.533 0.095 0.033 0.405 0.165 1 0.131 1 1
7 0.432 0.996 0.068 0.496 0.251 0 0.352 1 0
8 0.263 0.699 0.237 0.199 0.096 1 0.645 1 1
9 0.059 0.313 0.441 0.187 0.229 1 0.646 1 1
10 0.663 0.270 0.163 0.230 0.080 1 0.680 1 1
11 0.355 0.653 0.145 0.153 0.046 1 0.577 1 1
12 0.094 0.934 0.406 0.434 0.353 0 0.716 1 0
13 0.303 0.058 0.197 0.442 0.234 1 0.737 1 1
14 0.552 0.003 0.052 0.497 0.250 1 0.701 1 1
15 0.640 0.882 0.140 0.382 0.165 1 0.169 1 1
16 0.205 0.986 0.295 0.486 0.323 0 0.533 1 0
17 0.002 0.521 0.498 0.021 0.248 1 0.432 1 1
18 0.557 0.918 0.057 0.418 0.178 1 0.263 1 1
19 0.870 0.071 0.370 0.429 0.318 0 0.059 1 0
20 0.313 0.139 0.187 0.361 0.185 1 0.663 1 1

=15

Заполним табл. 3.2 по правилу:

1)  выделяем точки, у которых , и полагаем для них

2)  среди выделенных точек области  принадлежат те, для которых выполняется неравенство .

Для этих точек , для остальных

3)  вычисляем . Области  принадлежат те точки, для которых

4)  среди точек, у которых , области  принадлежат те точки, координаты которых удовлетворяют неравенству

Для этих точек .

В примере общее количество точек , а число точек, принадлежащих области , равно 15. По формуле (3.6) получаем

, а точное значение объёма  равно

Погрешность формулы (3.6) обратно пропорциональна корню из числа испытаний, т.е. .

Это означает, что для обеспечения большой точности число точек  должно быть очень велико. Но так как приближенные формулы (3.3), (3.6) не зависят от размерности интеграла, метод Монте-Карло оказывается выгодным при вычислении интегралов большой размерности.


Заключение

Процесс выполнения данной работы представлял большой интерес и послужил хорошей возможностью для приобретения новых знаний и навыков, а также закрепления уже полученных.

Были рассмотрены основные свойства метода Монте-Карло и создана программа, показывающая возможности данного метода при использовании ЭВМ.

Было выяснено, что методом Монте-Карло можно решать разнообразные задачи, в том числе вычисление интегралов, не прибегая к сложным математическим вычислениям. Простота алгоритма метода Монте-Карло позволяет успешно реализовывать их на ЭВМ.


Список литературы

1.  Бусленко Н.П. Метод статистического моделирования – М.: Статистика, 1970. – 112 с.

2.  Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Наука, 1966. – 664 с.

3.  Епанешников А.М., Епанешников В.А. Программирование в среде TURBO PASCAL 7.0 – М.: Диалог-МИФИ, 1998. – 288 с.

4.  Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы – М.: Наука, 1975–472 с.

5.  Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. – М.: Наука, 1972. – 367 с.

6.  Соболь И.М. Метод Монте-Карло – М.: Наука, 1985. – 80 c.


Приложения

1. Таблица 400 случайных цифр

86615 90795 66155 66434 56558 12332 94377 57802
69186 03393 42505 99224 88955 53758 91641 18867
41686 42163 85181 38967 33181 72664 53807 00607
86522 47171 88059 89342 67248 09082 12311 90316
72587 93000 89688 78416 27589 99528 14480 50961
52452 42499 33346 83935 79130 90410 45420 77757
76773 97526 27256 66447 25731 37525 16287 66181
04825 82134 80317 75120 45904 75601 70492 10274
87113 84778 45863 24520 19976 04925 07824 76044
84754 57616 38132 64294 15218 49286 89571 42903

2. Таблица 40 случайных чисел, равномерно распределенных на отрезке

0.57705 0.35483 0.11578 0.65339
0.71618 0.09393 0.93045 0.93382
0.73710 0.30304 0.93011 0.05758
0.70131 0.55186 0.42844 0.00336
0.16961 0.64003 0.52906 0.88222
0.53324 0.20514 0.09461 0.98585
0.43166 0.00188 0.99602 0.52103
0.26275 0.55709 0.69962 0.91827
0.05926 0.86977 0.31311 0.07069
0.66289 0.31303 0.27004 0.13928

3. Листинг программы

Вычисляются значения кратных интегралов из примера 2–3.

program pmk;

uses crt;

var

w, u, h, k, v, y, p, s, g, x, x2, y2, z2, niu, Integral, Integral2:real;

n, m, i, a, b, e1, e2, e, e3, e4, e5:integer;

begin

clrscr;

writeln ('vychisleniye dvoynogo integrala iz primera 1');

writeln ('vvedite kolichestvo sluchaynykh tochek:');

readln(n);

for i:=1 to n do

begin

g:=random;

p:=random;

x:=g;

y:=p;

if ((0.5<=x) and (x<=1)) then e1:=1

else e1:=0;

if ((0<=y) and (y<=2*x-1)) then e2:=1

else e2:=0;

e:=e1*e2;

if e=1 then s:=s+x*x+y*y;

if e=1 then a:=a+1;

v:=1/4;

delay(1000);

end;

Integral:=(v/a)*(s);

writeln ('summa=', s:5:5);

writeln ('dvoynoy integral iz 1 primera =', Integral:5:5);

writeln ('vychisleniye troynogo integrala iz primera 2');

writeln ('vvedite kolichestvo sluchaynykh tochek:');

readln(m);

for i:=1 to m do

begin

w:=random;

u:=random;

h:=random;

x2:=w;

y2:=u;

niu:=h;

if niu<=0.8 then e3:=1;

if (x2–0.5)*(x2–0.5)+(y2–0.5)*(y2–0.5)<=(0.5)*(0.5) then e4:=1

else e4:=0;

e5:=e3*e4;

if (((0.8<niu) and (niu<1)) and ((x2–0.5)*(x2–0.5)+(y2–0.5)*(y2–0.5)+6.25*(niu-0.8)*(niu-0.8)<=(0.5)*(0.5))) then e5:=1;

if e5=1 then b:=b+1;

delay(1000);

end;

Integral2:=2.5*(b/m);

writeln ('kvo pod t =', b:5);

writeln ('troynoy integral iz 2 primera =', Integral2:5:5);

readln;

end.

4. Пример работы программы при 10000 случайных точек


Информация о работе «Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 26423
Количество таблиц: 6
Количество изображений: 2

Похожие работы

Скачать
21420
5
0

... частности, разрабатываются способы уменьшения дисперсии используемых случайных величин, в результате чего уменьшается ошибка, допускаемая при замене искомого математического ожидания а его оценкой а*. §2. Оценка погрешности метода Монте-Карло. Пусть для получения оценки a* математического ожидания а случайной величины Х было произведено n независимых испытаний (разыграно n возможных значений Х) ...

Скачать
12333
4
20

... в особенности многомерных, для решения систем алгебраических уравнений высокого порядка, для исследования различного рода сложных систем (автоматического управления, экономических, биологических и т.д.). Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину X, математическое ожидание которой а: (1) ...

Скачать
19446
2
2

етка – одно из простейших средств получения случайных чисел с хорошим равномерным распределением, на использовании которых основан этот метод. Метод Монте – Карло это статистический метод. Его используют при вычислении сложных интегралов, решении систем алгебраических уравнений высокого порядка, моделировании поведения элементарных частиц, в теориях передачи информации, при исследовании сложных ...

Скачать
24305
0
0

... опыт», учится на своих и чужих ошибках и постепенно выучиваться принимать правильные решения – если не оптимальные, то почти оптимальные. Попробуем проиллюстрировать процесс имитационного моделирования через сравнение с классической математической моделью.  Этапы процесса построения математической модели сложной системы: 1.            Формулируются основные вопросы о поведении ...

0 комментариев


Наверх