Визначення коефіцієнтів фільтра та отримання передаточної функції

2.2 Визначення коефіцієнтів фільтра та отримання передаточної функції

Для визначення коефіцієнтів фільтра використаємо середовище MatLab, при цьому можливості MatLab дозволяють виключити етап розрахунку фільтра прототипу і одразу визначити коефіцієнти фільтра згідно з ТЗ.

 

Wp1z=Wp1/Wd

Wp2z=Wp2/Wd

[b,a]=cheby1(n,Rp,[Wp1z Wp2z]);

Hrz=tf(b,a,1/(Wd*2*pi))

В результаті розрахунків отримуємо:

Вектор коефіцієнтів чисельника

b = 1.0e-008 * [0.0053 0 -0.0480 0 0.1920 0 -0.4481 0 0.6721 0 -0.6721 0 0.4481 0 -0.1920 0 0.0480 0 -0.0053]

a = 1.0e+004 * [0.0001 -0.0014 0.0102 -0.0462 0.1510 -0.3780 0.7496 -1.2033 1.5843 -1.7234 1.5525 -1.1555 0.7054 -0.3486 0.1365 -0.0409 0.0088 -0.0012 0.0001]

Передаточна функція фільтра:

Побудуємо характеристики отриманого фільтра за допомогою MatLab.

[b,a]=cheby1(n,Rp,[Wp1z Wp2z]);

[H,W]=freqz(b,a,'whole');

figure;

plot (W,abs(H));grid on;

Hrz=tf(b,a,1/(Wd*2*pi))

figure;

pzmap(Hrz)

Рис. 10 Діаграма нулів та полюсів фільтра.

Рис. 11 АЧХ смугового фільтра.

Рис. 12. ФЧХ смугового фільтра.

2.3 Моделювання роботи дискретного фільтра

Щоб перевірити правильність розрахунків промоделюємо роботу дискретного фільтра у середовищі MatLab. Для моделювання використаємо тестовий сигнал що складається з трьох гармонічних сигналів різної частоти, фази та амплітуди.

%-----------------Формирование исходного сигнала--------------------------%

k1=10;

k2=9;

k3=12;

phi1=pi;

phi2=pi/4;

phi3=pi/2;

W1=6000;

W2=10976;

W3=24387;

sign_freq=[W1 W2 W3];

sign_phase=[phi1 phi2 phi3];

sign_koeff=[k1 k2 k3];

Fs=Wd/(2*pi);

td=0:1/Fs:0.1;

Signal_digital=0;

for i=1:3

Signal_digital=Signal_digital+sign_koeff(i).*sin(sign_freq(i).*td);

end;

wdd=2*pi*Fs;

wd_mod=0:wdd/2/15671:wdd/2;

Sd_in=fft(Signal_digital);

Signd_out=filter(b,a,Signal_digital);

Sd_out=fft(Signd_out);

figure

hold on

plot(td(1,1:700), Signal_digital(1,1:700),'g-');

plot(td(1,1:700), Signd_out(1,1:700),'b-')

hold off;

grid on;

axis([0 0.08 -35 35]);

xlabel('t, c');

ylabel('Amplitude');

title ('Filtered and NOT filtered signals');

Рис. 13. Вхідний та вихідний сигнали.

2.4 Побудова спектрів вхідного та вихідного сигналів

Побудуємо спектри вхідного та вихідного сигналів. Для побудови ряду використаємо дискретне перетворення Фур’є. Припустимо, що у нас задано функцію дискретної змінної на рівномірній гратці, тобто задані значення функції fk для скінченної послідовності значень аргументу xk = kh – таблиця функції {fk; kh; k = 0::N} . Тут за допомогою  позначено крок гратки – відстань між сусідніми вузлами. Перетворення Фур’є такої функції можна означити, як суму

Наведені вище міркування про властивості значень нескінченного ряду Фур’є свідчать про недоцільність використання суми з кількох членів, більшою за кількість вузлів гратки. Можна також зауважити, що сума з більшою кількістю членів містила б більше інформації про функцію, ніж є в таблиці значень функції. Звичайно ж, обидва ці міркування не є доведеням можливості використання саме такої кількості членів – необхідно побудувати правило обчислення коефіцієнтів суми Фур’є і довести існування єдиного набору таких коефіцієнтів для функції дискретної змінної.

Для дійсних функцій і особливо при використанні програмних засобів, що не підтримують комплексних чисел, може бути доцільним використання дійсної форми перетворення Фур’є поданням функції у вигляді ряду по синусах та косинусах:

Для побудови спектрів використаємо середовище MatLab

k1=10;

k2=9;

k3=12;

phi1=pi;

phi2=pi/4;

phi3=pi/2;

W1=6000;

W2=10976;

W3=24387;

sign_freq=[W1 W2 W3];

sign_phase=[phi1 phi2 phi3];

sign_koeff=[k1 k2 k3];

Fs=Wd/(2*pi);

td=0:1/Fs:0.1;

Signal_digital=0;

for i=1:3

Signal_digital=Signal_digital+sign_koeff(i).*sin(sign_freq(i).*td);

end;

wd_mod=0:Wd/1000:Wd/2;

Sd_in=fft(Signal_digital);

Signd_out=filter(b,a,Signal_digital);

Sd_out=fft(Signd_out);

if size(wd_mod,2)<size(Sd_in,2)

dim=size(wd_mod,2);

else

dim=size(Sd_in,2);

end

figure;

plot(wd_mod(1,1:dim),abs(Sd_in(1,1:dim)),wd_mod(1,1:dim),abs(Sd_out(1,1:dim)));

grid on;

legend('Input signal','Output signal');

xlabel('Frequency');

ylabel('Amplitude');

title ('Amplitude spectrum signals before and after filtration by the digital filter');

Рис. 14. Спектри вхідного та вихідного сигналів.

Висновки

 

У результаті виконання курсового проекту «Проектування аналогових та цифрових фільтрів» я набув навичок у розробці аналогових та цифрових фільтрів, формуванні математичних моделей на основі перетворень Лапласа та z-перетворення, побудові та порівняльному аналізі частотних характеристик цифрових та аналогових фільтрів, застосуванні перетворення Фур’є до спектрального аналізу сигналів, застосуванні методики трансформації узагальненого фільтра нижніх частот до конкретного типу фільтра (ФВЧ, СФ, РФ) при різних способах їх реалізації (фільтри Баттерворта, Чебишева першого та другого роду, а також еліптичний фільтр).

В ході виконання курсового проекту була створена програма на мові середовища MatLab для моделювання роботи аналогового та цифрового смугового фільтра Чебишева ІІ роду, виконано моделювання та побудова графіків амплітудно-частотних характеристик(АЧХ), фазочастотних характеристик (ФЧХ) і діаграм нулів і полюсів.