Розрахунок та дослідження аналогового фільтра

1. Розрахунок та дослідження аналогового фільтра

 

1.1 Визначення порядку аналогового фільтра та його частоти зрізу

Параметри фільтра та його частота зрізу визначаються на основі бажаного вигляду амплітудно-частотної характеристики, параметри якої задаються технічним завданням на проектування (п.1). У нашому випадку параметри бажаної АЧХ задаються відповідними межами – границями смуг пропускання та затримки, мінімальним затуханням та максимальним рівнем пульсацій. Області в яких має лежати бажана АЧХ зображені на рис. 1.

Рис. 1. Бажана АЧХ згідно з ТЗ.

Для визначення порядку та частоти зрізу фільтра застосуємо обчислювальне середовище MatLab

%Початкові дані

Wp1=8442; %Нижня межа смуги пропускання рад/сек

Wp2=12940; %Верхня межа смуги пропускання рад/сек

Ws1=7914; %Нижня межа смуги затримки рад/сек

Ws2=13468; %Верхня межа смуги затримки рад/сек

Rp=2; %Коэфіцієнт пульсацій дБ

Rs=37; %Затухання дБ

[n,Wn]=cheb1ord([Wp1 Wp2],[Ws1 Ws2],Rp,Rs,'s'); % обчислюємо порядок фільтра

За результатами розрахунків маємо:

Порядок фільтра n = 9

Частоти зрізу смугового фільтра Wn = [ 8442 12940]

1.2 Розрахунок фільтра прототипу

Фільтром прототипом надівають ФНЧ із частотою зрізу 1рад/сек.

Змінним параметром при розрахунку фільтра прототипу виступає порядок фільтра. Згідно із ТЗ розрахуємо як фільтр прототип фільтр Чебишева І роду, його АЧХ описується наступною формулою.

У цьому виразі - частота зрізу, - поліном Чебишева n порядку, n - порядок фільтра. Коефіцієнти фільтра прототипу розраховуємо в обчислювальному середовищі MatLab

[z,p,k]=cheb1ap(n,Rp); % визначаємо параметри передавальної ф-ції для фільтру Чебишева 1р.

[b,a]=zp2tf(z,p,k); % отримуємо коефіцієнти передавальної ф-ції

В результаті обчислень маємо:

Коефіцієнт підсилення k = 0.0051

Передаточна функція фільтра:

Побудуємо характеристики фільтра-прототипу за допомогою MatLab:

figure(1);

plot(p,'x') % малюємо діаграму полюсів

hold on;

plot(z,'o')

grid on;

xlabel('Im(z)'); ylabel('Re(z)');

title('Pole diagram');

Рис. 2. Графік нулів і полюсів фільтра прототипу.

Рис. 3. АЧХ фільтра прототипу.

Рис. 4. ФЧХ фільтра прототипу.

1.3 Перетворення частоти зрізу та АЧХ фільтра

Наступним етапом розробки аналогового фільтра є перетворення фільтра прототипу з метою отримання фільтра заданого типу з необхідними частотами зрізу.

Перетворення фільтра прототипу у смуговий фільтр вимагає достатньо складної трансформації частотної вісі. Так, нульова та нескінченна частоти повинні трансформуватись у повинні трансформуватись у нескінченне значення на частотній вісі ФНЧ-прототипа (там, де його коефіцієнт передачі наближається до нуля). Частоти, що відповідають краям смуги пропускання, повинні після перетворення давати значення +1 або -1, рівні частоті зрізу ФНЧ-прототипа. Нарешті перетворення має виконуватись за допомогою дробово-раціональної функції, щоб зберегти дробово-раціональний вигляд передаточної функції.

Переліченим вимогам відповідає наступне перетворення:

Де , ,  - відповідно верхня і нижня границі полоси пропускання фільтра.

Для проведення перетворення застосуємо середовище MatLab:

% Початкові дані

Wp1=8442; % Нижня межа смуги пропускання рад / сек

Wp2=12940; % Верхня межа смуги пропускання рад / сек

Ws1=7914; % Нижня межа смуги затримки рад / сек

Ws2=13468; % Верхня межа смуги затримки рад / сек

Rp=2; % Коефіцієнт пульсацій дБ

Rs=37; %Затухання дБ

[n,Wn]=cheb1ord([Wp1 Wp2],[Ws1 Ws2],Rp,Rs,'s'); % обчислюємо порядок фільтра

[z,p,k]=cheb1ap(n,Rp); % визначаємо параметри передавальної ф-ції для фільтру Чебишева 1р.

W1=Wn(1);

W2=Wn(2);

W0=sqrt(W1*W2);

Bw=(W2-W1);

[b1 a1]=lp2bp(b,a,W0,Bw); % перетворимо перед. ф-цію прототипу в потрібну

Hrez=tf(b1,a1) % передавальна функція СФ

В результаті обчислень отримуємо передаточну функцію смугового фільтра Чебишева І роду:

Побудуємо характеристики фільтра за допомогою середовища MatLab

[h1,w1]=freqs(b1,a1,1000);

figure(4); %---АЧХ СФ

plot(w1,abs(h1));

axis([0 20000 0 1.2]);

xlabel('w'); ylabel('Amplitude');

title('AFC of bandpass filter');

grid on

figure(5); %---ФЧХ СФ

plot(w1,unwrap(angle(h1)));

axis([0 20000 -30 5]);

title('PFC of bandpass filter');

grid on

xlabel('w'); ylabel('Phase');

figure(6);

pzmap(Hrez);

Рис. 7. діаграма нулів та полюсів передаточної функції фільтра.

Рис. 5. АЧХ смугового фільтра Чебишева І роду.

Рис. 6. ФЧХ смугового фільтра Чебишева І роду.

Рис. 7. АЧХ фільтра в порівнянні з бажаною АЧХ.