Рівняння рівноваги

3.3 Рівняння рівноваги

У відповідності, з малюнком 3.1 складемо рівняння рівноваги

 (3.3.1)

.

3.4 Визначення виду стаціонарного розподілу

Стаціонарний розподіл представимо у формі добутку множників вузли, що характеризує; кожний множник є стаціонарний розподіл вузла, тобто

.

Стаціонарний розподіл вузла має вигляд

,

де

, .

Таким чином, стаціонарний розподіл має такий вигляд

. (3.4.1)

Позначимо через

, , .

Тоді в цих позначеннях формула (3.4.1) запишеться в наступному виді

. (3.4.2)

Підставляючи формулу (3.4.2) у рівняння рівноваги (3.3.1), одержимо

 (3.4.3)

.

Розділимо обидві частини рівняння (3.4.3) на , одержимо

 (3.4.4)

.

Через  запишемо рівняння трафіка (3.1.12) – (3.1.17)

, (3.4.5)

, (3.4.6)

, (3.4.7)

, (3.4.8)

, (3.4.9)

. (3.4.10)

Тому що , ( ), те одержимо наступні співвідношення

, (3.4.11)

, (3.4.12)

. (3.4.13)

Розглянемо всілякі випадки числа заявок у марковської моделі мережі із трьома вузлами й різнотипними заявками. Тобто наступні випадки

1) , , ;

2) , , ;

3) , , ;

4) , , ;

5) , , ;

6) , , ;

7) , , ;

8) , , ;

Підставляючи значення  в рівняння (3.4.4), з огляду на рівняння (3.4.5) – (3.4.13), перевіримо, задовольняє стаціонарний розподіл (3.4.1) рівнянням рівноваги (3.3.1). Розглянемо кожний з випадків 1) - 8) окремо.

Розглянемо перший випадок , ,

.

Відповідно до формули (3.4.6) , формулі (3.4.8) , , формулі (3.4.10) , формулі (3.4.9) , одержимо

,

.

Відповідно до формули (3.4.5) , формулою (3.4.12) , формулою (3.4.13) . З формул (3.4.9), (3.4.10) , тоді маємо

,

.

Відповідно до формули (3.4.9) , формулі (3.4.10) . З формул (3.4.7) і (3.4.8) , одержимо

,

.

А це є формула (3.4.11), тобто випадок 1) виконується.

Розглянемо другий випадок , ,

,

Відповідно до формули (3.4.5) , формулі (3.4.6) , формулі (3.4.8) , , формулі (3.4.10) , формулі (3.4.10) . З формул (3.4.5) і (3.4.6) . Розкриємо дужки й перенесемо все в праву частину, одержимо

.

Відповідно до формули (3.4.13) , формулою (3.4.12). З формул (3.4.9), (3.4.10) , тоді

.

Відповідно до формули (3.4.11) , ,формулі (3.4.12) . З формул (3.4.7) і (3.4.8) , одержимо

.

, тобто випадок 2) виконується.

Аналогічно виконуються 3) - 8).

Таким чином, випадки 1) – 8) перетворюються у вірну рівність. Тобто стаціонарний розподіл (3.4.1) є рішення рівняння рівноваги (3.3.1), якщо виконується умова ергодичності , .

Висновок

У роботі проведене дослідження відкритих марковских і полумарковских мереж масового обслуговування із трьома вузлами й циклічною маршрутизацією.

Отримано наступні основні результати:

Для марковської моделі мережі із трьома вузлами, записані рівняння рівноваги (формула 1.1.3), отримана достатня умова ергодичності (формула 1.3.1) і знайдена стаціонарний розподіл (формула 1.2.9).

Для полумарковської моделі мережі із трьома вузлами, визначений вид диференційно-різницевих рівнянь Колмогорова (формула 2.1.4), знайдений стаціонарний розподіл (формула 2.2.1) і доведена інваріантність (див. 2.3).

Для марковської моделі мережі із трьома вузлами й різнотипними заявками, складені рівняння рівноваги (формула 3.3.1), знайдений стаціонарний розподіл (формула 3.4.1) і отримана достатня умова ергодичності (формула 3.2.15).

Результати роботи можуть бути застосовані при проектуванні й експлуатації мереж передачі даних, інформаційно-обчислювальних мереж, мереж ЕОМ і багатьох інших технічних об'єктів.

Список використаних джерел

Малинковський Ю.В. Теорія масового обслуговування. – К., 2003

Буриков А.Д., Малинковський Ю.В., Маталицкий М.А. Теорія масового обслуговування. – К., 2004

Івченко Г.И., Каштанів В.А., Коваленко И.Н. Теорія масового обслуговування. – К., 2004

Прохоров А.В., Ушаков В.Г., Ушаков Н.Г. Задачі по теорії ймовірностей: Основні поняття. Граничні теореми. Випадкові процеси. – к., 2003

Кениг Д., Штоян Д. Методи теорії масового обслуговування// Під ред. Г.П. Климова. – К., 2001

Гнеденко Б.В., Коваленко І.М. Введення в теорію масового обслуговування. – К., 2003

Ширяев О.М. Імовірність. – К., 2005

Gelenbe E. Product Form Queueing Networks with Negative and Positive Customers // J. Appl. Probab. - 1991. - V. 28. - P. 656 - 663.

Gelenbe E., Shassberger R. Stability of Product-Form G-networks // Probab. in Eng. and Inform. Sci. - 1992. - No. 6. - P. 271 - 276.

Додаток 1. Список опублікованих робіт

Гарбуза И.В. Марковська й полумарковська моделі відкритої мережі із трьома вузлами// Матеріали V міжнародної межвузовской науково-технічної конференції студентів, магістрантів і аспірантів «Дослідження й розробка в області машинобудування, енергетики й керування 2005» Гомель, 2005 р.

Гарбуза И.В. Стаціонарний розподіл і його інваріантність для моделі відкритої мережі із трьома вузлами// Творчість молодих'2005 Збірник наукових праць студентів і аспірантів Гомельського Державного університету ім. Ф. Скорини. Гомель, 2005 р.