Экономико-математическое моделирование анализа ресурсов

1. Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный – 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. Ед., а улучшенный – 4 ден. Ед. какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?

Решение:

Условие задачи:

стоимость	3	4
Состав удобрения	Количество удобрений		Необходимый минимум
	обычное	улучшенное
Азотное	3	2	10
Фосфорное	4	6	20
Калийное	1	3	7

1 составим математическую модель:

Обозначим через x_jколичество кг удобрения

x₁- количество кг обычного удобрения;

x₂- количество кг улучшенного удобрения.

Цель – наименьшая стоимость удобрения,

F= 3x₁+4x₂ →min

Ограничения:

По азотным удобрениям  3х₁+2х₂≥10

По фосфорным удобрениям 4х₁+6х₂≥20

По калийным удобрениям  1х₁+3х₂≥7

По смыслу х₁≥0 х₂≥0

Решим графическим способом.

Первое ограничение (по азоту) имеет вид 3х₁+2х₂≥10 найдем пересечение с осями координат, т. е. 3х₁+2х₂=10 – l₁

Х1	0	10/3
Х2	5	0

0<10, верно, выбираем полуплоскость по направлению к (.) О

Второе ограничение 4х₁+6х₂=20 – l₂

Х1	0	5
Х2	10/3	0

0<20, верно, выбираем полуплоскость по направлению к (.) О

Третье ограничение х₁+3х₂=7- l₃

Х1	0	7
Х2	7/3	0

0<7 верно, выбираем полуплоскость по направлению к (.) О

Для определения направления движения к оптиму построим вектор – градиента Їс (с₁;с₂), координаты которого являются частными производными целевой функции, т. е. с (3;4).

Построим линию уровня l_0, приравняем целевую функцию к 0

3х₁+4х₂=0

Х1	0	-4
Х2	0	0

Передвигая линию уровня l0 в направлении обратном направлению вектора – градиента, т. к задача на минимум, достигнем минимальную точку целевой функции. Найдем координаты этой точки, решая систему из двух уравнений прямых, дающих в пересечении точку минимума:

(.) А = l₁∩l₃

3х₁+2х₂=10, *3 «-»

4х₁+6х₂=20

5х₁=10

х₁=2

Подставим в первое уравнение 3*2+2х₂=10,

2х₂=10-6,

2х₂=4,

х₂=2.

Fmin=3*2+4*2=6+8=14 ден. ед.

График:

Ответ: чтобы обеспечить эффективное питание почвы при минимизированной стоимости, которая составила 14 ден ед, необходимо купить 2 набора обычного удобрения и 2 набора улучшенного. Если данную задачу решать на максимум, то задача не имеет решения, так как целевая функция не ограничена сверху, т. е Fmax=+∞

2. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

тип сырья	норма расхода сырья на одно изделие				запасы сырья
	А	Б	В	Г
1	2	1	3	2	200
2	1	2	4	8	160
3	2	4	1		170
цена изделия	5	7	3	

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теории двойственности.

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

-   Проанализировать использования ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

-   Определить, как изменяется выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья 1 и2 вида на 8 и 10 единиц соответственно и уменьшении на 5 единиц запасов сырья 3 вида;

-   Оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 единиц, на изготовление которой расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Решение:

Сформулируем экономико – математическую модель задачи.

Переменные:

х₁- количество единиц продукции А,

х₂- количество единиц продукции Б,

х₃- количество единиц продукции В,

х₄- количество единиц продукции Г.

Целевая функция: F=5х₁+7х₂+3х₃+6х₄ →max,

Цель максимизировать выручку от реализации готовой продукции

Ограничение:

По 1 типу ресурса:  2х₁+х₂+3х₃+2х₄≤200,

По 2 типу ресурса:  х₁+2х₂+4х₃+8х₄≤160,

По 3 типу ресурса: 2х₁+4х₂+х₃+х₄≤170,

По смыслу х₁;х₂;х₃;х₄ ≥0.

Решение задачи выполним с помощью надстройки Excel Поиск Решения. Выбираем результат поиска решения в форме отчета Устойчивости.

Полученное решение означает, что максимальную выручку 460 ден ед, можем получит при выпуски 80 ед продукции А и 10 ед продукции Г. При это ресурсы 2 и 3 типа будут использоваться полностью, а из 200 ед сырья 1 типа будет использоваться 180 ед сырья.

Сформулируем экономико–математическую модель двойственной задачи

Переменные:

у1- двойственная оценка ресурса 1 типа, или цена 1 ресурса,

у2- двойственная оценка ресурса 2 типа, или цена 2 ресурса,

у3- двойственная оценка ресурса 3 типа, или цена 3 ресурса.

Целевая функция двойственной задачи: необходимо найти такие «цены» у на ресурсы, чтобы общая стоимость используемых ресурсов была минимальной. G=b₁*y₁+b₂*y₂+…→min

G=200у₁+160у₂+170у₃→min

Ограничения:

Вы исходной задачи четыре переменных, следовательно в двойственной задаче четыре ограничения.

a_11*y₁+a₁₂*y₂+…≥c₁

a₁₂*y₁+a₂₂*y₂+…≥c₂

по виду продукции А: 2у₁+у₂+2у₃≥5,

по виду продукции Б:  у₁+2у₂+4у₃≥7,

по виду продукции В:  3у₁+4у₂+у₃≥3,

по виду продукции Г:  2у₁+8у₂+у₃≥6

по смыслу у₁; у₂; у₃≥0

Найдем оптимальный план двойственной задачи, используя теоремы двойственности:

По 2 теореме- y_i*(∑a_ij*x_j-b_i)=0 и x_j(∑a_ij*y_i-c_j)=0,

у₁*(2х₁+х₂+3х₃+2х₄-200)=0 → у₁(2*80+0+3*0+2*10-200)=0 180<200, то у₁=0

у_2*(х₁+2х₂+4х₃+8х₄-160)=0 → у₂(80+2*0+4*0+8*10-160)=0 ,

у₃*(2х₁+4х₂+х₃+х₄-170)=0 → у₃*(2*80+4*0+0+10-170)=0.

В нашей задачи х1=80>0 и х4=10>0, поэтому первое и четвертое ограничение двойственной задачи обращаются в равенство:

2у₁+у₂+2у₃=5,

2у1+8у₂+у₃=6,

у₁=0,

у₂+2у₃=5,

8у₂+у₃=6,

Выразим через у₂=5-2у_3,

 

8*(5-2у₃)+у₃=6,

40-16у₃+у₃=6

-15у₃=-34,

у₃=34/15,

у₂=5-2*34/15=7/15,

у₁=0; у₂=7/15; у₃=34/15

G=200*0+160*7/15+170*34/15=460

Проверим выполняемость первой теоремы двойственности:

Fmax=Gmin=460

В нашей задачи в план выпуска не вошла продукция Б и В, потому что затраты по ним превышают цену на 3 ден ед (10-7=3) и 1,133 ден ед (4,1333-3=1,133) соответственно.

Подставим в ограничения двойственной задачи оптимальные значения у:

2*0+7/15+2*34/15=5=5,

0+2*7/15+4*34/15=10≥7,

3*0+4*7/15+34/15=4,133≥3,

2*0+8*7/15+34/15=6=6.

Так как запас ресурсов 1, 2 типа сырья изменяться на 8 и 10 единицы (увеличиться) и 3 типа уменьшаться на 5 единиц. Из теоремы об оценках известно, что колебание величины b_i приводит к увеличению или уменьшению F.

F=∆b_i*y_i

F=8*0+10*7/15+(-5)*34/15=-6,667, следовательно, увеличение запасов ресурсов 1 и 2 типа на 8 и 10 ед. и уменьшение 3 типа на 5 ед приведет к уменьшению значения целевой функции на -6,667 ден ед.

По условию задачи для изготовления изделия Д используется:

Сырье 1 типа а*₁=2,

Сырье 2 типа а*₂=2,

Сырье 3 типа а*₃=2

Ожидаемая прибыль от данного изделия Д с*=10 ден ед.

Для оценки целесообразности продукта Д, рассчитаем чистый доход

е=с*-∑а*_i*y_i

е=10-(2*0+2*7/15+2*34/15)=4,533

следовательно, целесообразно включать в план изделие Д, т.к. е=4,533>0.

3. Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие – продукции второго вида, третье предприятие – продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление) остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителями, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки a_ij(i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов уi вектора конечной продукции У.

Требуется:

1.  Проверить продуктивность технологической матрицы А=(а_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).