Уравнения второго рода для консервативной системы

6 Уравнения второго рода для консервативной системы

 

Предположим, что на рассматриваемую механическую систему наряду с силами, имеющими потенциал (консервативными силами), действуют силы, не имеющие потенциала (неконсервативные силы). При этом условии обобщенную силу  удобно представить в виде суммы обобщенной силы , соответствующей консервативным силам , и обобщенной силы , соответствующей неконсервативным силам :

=+.

Если на рассматриваемую систему действуют только консервативные силы, то обобщенная сила определяется формулой:

= = (j=1,2,…, s).

В этом случае уравнения Лагранжа второго рода принимают следующий вид:

= (j = 1,2,…, s). (11)

Уравнения (12) можно преобразовать путем введения функции Лагранжа L = Т – П, называемой кинетическим потенциалом.

П = П (t).

Следовательно, кинетический потенциал L является функцией обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени:

Потенциальная энергия является функцией только обобщенных координат и времени, а потому

 (j=1,2,…, s).

Пользуясь этим условием, получим

,

Подставим эти частные производные в уравнения Лагранжа (11):

или

 (j=1,2,…, s). (12)

Уравнения (12) называются уравнениями Лагранжа второго рода для консервативной системы.

7 Применение уравнений Лагранжа II рода к исследованию движения механической системы

 

Массы тел механической системы m= 2m; m= 6m; m=m. Начальные условия:,,,.

Найти уравнения движения системы в обобщенных координатах ,.

Для решения задачи применим уравнения Лагранжа II рода:

 (13)

Здесь T – кинематическая энергия; – потенциальная энергия; и– обобщенные силы, соответствующие неконсервативным силам.

Для данной системы  (14)

Введем переменную

Выразим скорости центров масс твердых тел системы через обобщенные скорости:

Угловая скорость тела 4

Момент инерции тела 4

Кинематическая энергия тел 1 – 4:

Подставляя эти величины в (14), получим

+++=

Тогда

 (15)

Потенциальную энергию системы находим как работу сил тяжести твердых тел 1 и 3 при их перемещении из данного положения, характеризуемого координатами x и , в некоторое исходное нулевое, например то, от которого ведется отсчет обобщенных координат:

Тогда

 (16)

Обобщенные силы = 0 и =0 (т. к. на механическую систему не действуют силы ).

Подставляя (15) и (16) в (13), получаем дифференциальные уравнения движения системы:

 (17)

Выражая x из (18), получаем

 (18)

Интегрируя (19), получаем

 (19)

 (20)

Для определения постоянных  и , используя начальные условия: при t=0 x=0; x=0.

Из (19) и (20) следует =0 и =0.

Тогда

 (21)

Уравнение (21) является уравнением движения системы, описывающим изменение первой обобщенной координаты.

Чтобы получить второе уравнение движения, находим из (17)

 (22)

Интегрируя (23), получаем

 (23)

 (24)

Для определения постоянных  и , используя начальные условия: при t=0 =0;=0.

Из (24) и (25) следует =0 и =0.

Тогда

 (25)

Уравнение (25) является уравнением движения системы, описывающим изменение второй обобщенной координаты.

Заключение

 

Итак, уравнения Лагранжа II рода применяются для исследования движения механической системы с двумя степенями свободы. Чтобы для данной механической системы составить уравнения Лагранжа, необходимо установить число степеней свободы системы и выбрать обобщённые координаты; изобразить систему в произвольном положении и показать все действующие силы; вычислить обобщённые силы; определить кинетическую энергию системы в её абсолютном движении и выразить её через обобщённые скорости; составить уравнения Лагранжа.

Уравнения Лагранжа дают единый метод решения задач динамики, они не зависят от числа и количества точек, входящих в рассматриваемую систему, от движения самой системы. Уравнения Лагранжа представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщённых координат. Число уравнений Лагранжа определяется только числом степеней свободы системы.

Список использованной литературы

 

1. С.М. Тарг «Краткий курс теоретической механики» – М.: Высшая школа, 1986 г., 416.

2. А.А. Яблонский «Курс теоретической механики» – М.: Высшая школа, 1984 г., 436.