Метод Эйлера

5.1 Метод Эйлера

Простейшим численным методом решения задачи Коши для ОДУ является метод Эйлера. Рассмотрим уравнение  в окрестностях узлов  (i=1,2,3,…) и заменим в левой части производную  правой разностью. При этом значения функции  узлах  заменим значениями сеточной функции :

Полученная аппроксимация ДУ имеет первый порядок, поскольку при замене

на

допускается погрешность .

Будем считать для простоты узлы равноотстоящими, т.е.

Тогда из равенства

получаем

Заметим, что из уравнения

следует

.

Поэтому

представляет собой приближенное нахождение значение функции  в точке  при помощи разложения в ряд Тейлора с отбрасыванием членов второго и более высоких порядков. Другими словами, приращение функции полагается равным её дифференциалу.

Полагая i=0, с помощью соотношения

находим значение сеточной функции  при :

.

Требуемое здесь значение  задано начальным условием , т.е. .

Аналогично могут быть найдены значения сеточной функции в других узлах:

Построенный алгоритм называется методом Эйлера.

Геометрическая интерпретация метода Эйлера дана на рисунке14.

Рисунок 14 . Метод Эйлера.

На рисунке 14. изображены первые два шага, т.е. проиллюстрировано вычисление сеточной функции в точках . Интегральные кривые 0,1,2 описывают точные решения уравнения . При этом кривая 0 соответствует точному решению задачи Коши, так как она проходит через начальную точку А(x0,y0). Точки B,C получены в результате численного решения задачи Коши методом Эйлера. Их отклонения от кривой 0 характеризуют погрешность метода. При выполнении каждого шага мы фактически попадаем на другую интегральную кривую. Отрезок АВ – отрезок касательной к кривой 0 в точке А , ее наклон характеризуется значением производной. Погрешность появляется потому, что приращение значения функции при переходе от х0 к х1 заменяется приращением ординаты касательной к кривой 0 в точке А. Касательная ВС уже проводится к другой интегральной кривой 1. таким образом , погрешность метода Эйлера приводит к тому, что на каждом шаге приближенное решение переходит на другую интегральную кривую.

4.2 Модификация метода Эйлера: Усовершенствованный метод Эйлера

Рассмотрим уравнение  в окрестностях узлов

.

В левой части уравнения  заменим производную центральной разностью

,

а правую часть оставим без изменений:

.

Приближенное значение функции  в точке  вычислим с помощью метода Эйлера:

.

Выразим  из

,

заменив  его приближением :

Данный метод имеет второй порядок точности.

Похожие работы

Численные методы линейной алгебры

Скачать

18618

0

16

... уравнений (2) сводится к последовательному решению двух следующих систем уравнений с треугольными матрицами коэффициентов L Y = B; (6) U X = Y (7) линейный алгебраический уравнение численный где Y =  - вектор вспомогательных переменных. Такой подход позволяет многократно решать системы линейных ...

Сравнительный анализ методов оптимизации

Скачать

42464

5

31

... 4 - график унимодальной, но не выпуклой функции Таким образом, кроме перечисленных свойств, выпуклые функции обладают также и всеми свойствами унимодальных функций. 2. Прямые методы безусловной оптимизации Для решения задачи минимизации функции f (х) на отрезке [а; b] на практике, как правило, применяют приближенные методы. Они позволяют найти решение этой задачи с необходимой точностью ...

Численное интегрирование функций

Скачать

7913

0

3

... – остаточный член, характеризующий погрешность формулы. Заметим, что формулы вида (2) называют квадратурными формулами. Геометрический смысл численного интегрирования состоит в вычислении площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(х), осью абсцисс и двумя прямыми х = а и х = b. Приближенное вычисление площади приводит к отбрасыванию в квадратурных формулах остаточного члена ...

Автоматизированный анализ проектирования на микроуровне

Скачать

47503

2

14

... задачи, а именно: 1. Создана расчетная схема анализа на основании сравнительного анализа численных методов, а также программных и технических средств их осуществления; 2. Создан выбор метода автоматизированного анализа объекта проектирования; 3. Спланирован и проведен эксперимент, анализируя результаты которого, приходим к выводу, что данная модель может использоваться с параметрами: r = 5 R = ...